洪水对血吸虫病传播影响的模型分析①

2019-08-08田晶晶齐龙兴

佳木斯大学学报（自然科学版） 2019年4期

周韬，田晶晶，齐龙兴

(1.安徽大学数学科学院，安徽合肥 230601;2.国立首尔大学数学科学学院，韩国首尔 100-744)

0 引言

众所周知，血吸虫病是一种严重的水媒疾病。由于洪水等多种原因，控制或根除血吸虫病并非易事。许多研究表明，洪水可能导致血吸虫爆发[1,2]。在吴开琛等人的论文中，基于临床和流行病学数据，评估了在杨泽河谷洪水对血吸虫病传播的影响且在1998 - 2003年期间，钉螺兹生的总面积和感染钉螺的面积之间有显著的相关性[3]。然而这些解释并没有指出洪灾影响血吸虫病传播严重的直接原因。

1 模型

血吸虫病第一个数学模型源于1965年的George Macdonald[4]。利用该模型研究一些血吸虫病控制措施。从此出现更多血吸虫传播模型[5，6]。血吸虫生命周期中有三个阶段，分别是毛蚴、尾蚴和蠕虫。前两个阶段在水中，最后一个阶段在人体内。事实上，血吸虫病传播依赖于毛蚴、尾蚴和人的数量。具有传染性的人在血吸虫病传播中扮演着一个重要角色。因此，考虑毛蚴、尾蚴、钉螺和人的动力学行为尤为必要。

M(t)和C(t)来表示毛蚴和尾蚴数量。传播过程中血吸虫的寿命与人类寿命相比非常短，故不考虑人出生和死亡。当前，由于国家大量投入和有效治疗措施，因血吸虫病导致死亡率很低，故忽略因病死亡。假设人口总数是常数H，把人分为三类：易感者Sh(t)，感染者Ih(t)和恢复者Rh。当人进去疫水中，一些部分尾蚴会钻进人类皮肤，假设q2C(t)为进入人类身体的尾蚴数量。因此，有βchSh(t)q2C(t)Aw个人被感染并进入Ih(t)。在治疗率为θ的情况下，有θIh个人变为康复者。根据流行病学，仅有一部分康复者Rh具有免疫。假设pRh康复者重新进去了易感者。此时得到了关于人的一个动力学模型：

(1)

在文献[7]中,为研究血吸虫病，确定每克粪便中毛蚴数量随时间在改变。建立一个关于毛蚴数量改变的微分方程,尾蚴也一样。假设感染的病人Ih可以排出g克粪便进入水中。这些粪便中有大量血吸虫卵。假设每克粪便里面产生虫卵有h个。re是虫卵进入并且成功孵化成毛蚴比例。毛蚴的生命周期少于12h。假设毛蚴的死亡率为每小时dm=1/12。毛蚴进去钉螺身体数表示为q1M。得到一个关于毛蚴的微分方程。

(2)

根据血吸虫病传播机制，钉螺分成两类：易感钉螺和感染钉螺，其密度分别记为ss和Is假设钉螺的滋生面积是As。σ表示单位时间内每个被感染钉螺产生尾蚴数量。得到单位时间内新产生的尾蚴的数量为σAsIs。尾蚴的死亡dc=1/24。有q2C个尾蚴穿透人类的皮肤导致人被感染。因此，可以获得一个关于尾蚴的微分方程。

(3)

Shiff对钉螺种群进行研究[8]。发现钉螺繁殖受到拥挤效应的限制。根据文献[8]，假设钉螺的出生符合logistic 增长rsSs[1-(Ss+Is)/As]，As是钉螺栖息面积。其中钉螺被q1M尾蚴以βms概率感染。有dsIs钉螺自然死亡和asIs钉螺由血吸虫病死亡。得到钉螺系统：

(4)

由于人口的总数是常数H，得到一个完整的血吸虫病动态模型如下：