借助数轴认识假分数，突破单位“1”的局限

张龙昌

[摘 要]分数具有多重意义，教材一般是从分数的“平均分”角度开始，到分数的数字意义煞尾，使得分数的意义得到补充和扩展，教材还引进数轴来拓展分数的概念内涵，但如果使用不当，将不利于学生对假分数的掌握。引入数轴需谨慎，要借助数轴帮助学生正确认识假分数，从而突破单位“1”的局限，疏通思维阻塞。

[关键词]数轴;假分数;单位“1”

一位特级教师执教苏教版教材第十册“真分数和假分数”一课时，引进伸缩性的长条演化成数轴，然后借助数轴來揭示假分数的起源和含义，整个假分数教学过程始终抓住“初等数轴”这个模型。数轴能将所有的数集融合起来，方便学生直观理解。但事与愿违，教学效果却很不理想，学生对数轴始终提不起兴趣，越学越糊涂。那么，学生接纳假分数的切入点在哪里？对于数轴，学生究竟了解多少？为此，笔者从8所同级小学的五年级中各抽调一个教学班（参与调研的学生学习进度还没有到达第十册“认识分数”这一章，他们只是在三年级对分数有初步的接触）进行访谈调研。

一、对假分数掌握情况的测评调研调研试题：

1.用分数表示涂色部分。

2.在直线上画出表示分数[13]、[23]的点。

对于第1题的第（3）问，有相当一部分学生错误地认为答案为[58]。通过访谈，笔者发现学生没有领会大括号连接两个圆盘的深刻用意，也没有正确辨别“大括号”符号与“集合”符号的区别，将示意图⑶与示意图⑷相提并论。他们并不理解，将两个圆盘中的一个视为单位“1”，第二个圆盘则是超出单位“1”的份额，这样来表示分数的话，总份数也就是分母为4，选取的份额也就是分子为5，构成分数[54]。学生普遍感到困惑，分数的分子怎么能比分母大？这时学生的思维阻塞，需要及时疏导。

审视第2题的作答情况，许多学生把分数[13]、[23]错误地标注在数轴上的整数“1”和“2”的坐标处。学生出错的原因主要有两点：一是没有正确认识数轴上的单位“1”，不知道将数轴上一个单位长度（两个相邻整数间距）看作单位“1”;二是简单地将数轴等同于线段，将坐标距离等同于线段长度来表示分数。

二、正确理解单位“1”，疏通思维阻塞

以往教学生探析分数，都是从部分占整体份额比这个角度来定义分数，实际上是把单个物品、一个计量单位或一堆物品构成的集合视为单位“1”，在把单位“1”平均分成若干份，取其中一份或者几份的情况下生成分数。在学生的意识形态里，单位“1”是“整体性”的概念，也就是所有的、全部的囊括所有个体的大全集，拿取的份额封顶也只能达到单位“1”，也就是拿走全部，但是不能超出单位“1”，因为全集之外已经没有多余的了，这种偏见非常顽固。对单位“1”的偏见变成了学生对假分数的认知障碍。对于调研试题第1题（3）问，许多学生都把两个圆盘组合起来，将其整体视为单位“1”，误认为涂色部分是[58]。要让学生正确认识假分数，当务之急就是要矫正和扭转学生对单位“1”的偏见，重新正视单位“1”，理性与包容地看待把单个物品或者一定容量的整体设立为单位“1”，其余部分参照原单位“1”一律作为份额，不再出现第二个单位“1”。否则，学生无法心悦诚服地接受假分数，也无法领会假分数概念的本质内涵，更遑论解放思想，疏通思维阻碍了。

三、引入数轴需谨慎

现行各版本教材统统都是从“数尺”中抽象出“数线”，再将“数线”加工处理成“数轴”，这样的过渡设计，符合学生的认知规律，确立了数轴的地位。但运用数轴表示分数存在弊端，学生除了不能明确判断数轴上的单位“1”外，还有许多更深层次的原因。在数轴上表示分数与分面积、分割实物来表示分数不同，数轴除了表示数量，也就是基数性，还有序数性。用面积、实物模型刻画分数，选取的部分比较随意，没有规定的顺序，可以是其中任意几等份，所表示的份额只是代表具体数量，即单纯的比较大小。而数轴上表示分数，分数除了具备反映份额大小的功能，还能反映顺次。数轴上表示的分数，从左至右依次增大，它们的次序不可调换。

在教学假分数时，应该将数轴作为唯一的直观载体，还是把它作为揭示假分数的辅助手段，教师需谨慎考虑。

（责编 黄春香）