对《突出基本结构落实核心素养》一文的补充

2019-08-07陕西省西安建筑科技大学附属中学710055刘志勇

中学数学研究(广东) 2019年14期

陕西省西安建筑科技大学附属中学(710055) 刘志勇

本刊2018年第12 期(下)第17 页刊文《突出基本结构落实核心素养—一道平面几何试题的教学和反思》，就一道平面几何试题的教学进行了研究，引导学生从复杂的图形中分离出基本几何结构，从而构造与问题相关的方程模型进行求解，进而落实数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养的培养，下面笔者将对该文做一些补充.

一、原题

如图1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，则AD=____.

图1

二、补充思路

思路一如图2，由AD是△ABC的高想到作另外两条高，利用”三角形三条高交于一点”.

图2

1.由勾股定理，得BG2-BD2=CG2-CD2，即2x2-32=2y2-22，即x2-y2=，再由BE2+EC2=BC2得x2+(x+联立 ① ②，解得x2=5 或(舍)，所以x2=5.所以GD=再由可得AG=BC=5.所以AD=AG+GD=5+1=6.

2.设GD=m，由△BDG∽△AFG可得即即由△AEG可得即即②，①②得：即解得m=1 或-6 (舍)，所以m=1.再由可得AG=BC=5.所以AD=AG+GD=5+m=5+1=6.

思路二如图3，由∠BAC=45°想到圆周角，于是作△ABC的外接圆，圆心为O.

1.如图3，可推出DE=2，EF=1.再可推出△ABF∽△CAE，于是即解得AD=6或-1(舍)，所以AD=6.

图3

2.如图4，作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接AO.可推出DF=EO=BE=OF√=ED=半径AO=BO=在Rt△AOF中，由勾股定理，得AF所以AD=AF+DF==6.

图4

思路三如图5，由于AD将∠BAC=45°分为∠BAD和∠CAD，这两个角的和为45°，它们的2 倍为90°，于是想到将这两个角分别2 倍，也就想到轴对称.

图5

分别作AD关于AC和AB的对称图形AE,AF，FB与EC交于点G，可得正方形AEGF.设AD=x，则BG=x-3，CG=x-2，在Rt△BCG中，由勾股定理，得(x-3)2+(x-2)2=52，即x2-5x-6=0，解得x=6 或-1 (舍)，所以x=6，即AD=6.

思路四如图6，由∠BAC=45°想到tan∠BAC=tan 45°=1，想到直线y=x.

图6

将△ABC放到平面直角坐标系中，使A在原点，AB在x轴正半轴上，点C在第一象限.显然直线AC的解析式为y=x.设直线AD的解析式为y=kx(k /=0)，C点坐标为(m,m)，由AD⊥BC，则可设直线BC的解析式为y=(x-m)+m，联立可求出D点坐标为作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F.再由△BDF∽△BCE可得DF=m，即又因为所以即解得k=或-3(舍)，所以k=所以tan∠DAB=k=所以推出AD=6.

思路五如图7，受上一个思路的启发，去掉坐标系的背景，用三角函数解决问题.由CE=AE，可设AE=CE=5m，由DF//CE，CD=2，BD=3，可设EF=2n，BF=3n，推出DF=3m.因为∠DAF=∠BDF，所以tan∠DAF=tan∠BDF，所以即即2-3=0，解得或-3(舍)，所以所以tan∠DAF=tan∠BDF=又因为tan∠DAF=所以所以AD=6.

图7

思路六如图8，可以看出∠α+∠β=45°，而tan∠α=tan∠β=因此想到如果能找到tan∠α和tan∠β满足的关系式，就能求出AD的值.

图8

1.构造图形，如图9，∠α+∠β=45°，则有tan∠β=所以tan∠α+所以tan∠α+tan∠β+tan∠α×tan∠β=即：若∠α+∠β=45°，则tan∠α+tan∠β+tan∠α ×tan∠β=1.代入tan∠α和tan∠β的值，可得即AD2-5AD-6=0，解得AD=6 或-1(舍)，所以AD=6.