“三教”理念下数学建模素养培育案例研究——幂函数概念教学为例

贵州省贵州师范大学(550001) 杨小煊

一、提出问题

2014年教育部发布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中明确提出学生应具备适应终身发展需要的必备品格和关键能力――核心素养.数学建模是数学六大核心素养之一，对发展学生核心素养具有重要意义.基于此背景，本文旨在结合贵州师范大学吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”(简称“三教”)理念，以课程改革中的教学实施环节为出发点，聚焦于课堂教学活动设计，思考在教学中如何具体落实数学建模核心素养培育问题.

二、“三教”教学理念

“三教”教学理念是由贵州师范大学原副校长吕传汉教授2014年1月提出来的，整合了课程改革十余年来的优秀教学经验.并在贵州多地选取近百余所学校进行了实验，均取得良好效果.

(一)“教思考”，重在培养学生数学思辨能力.

在以往的教学中，老师往往只注重对数学教材中知识和方法的教学，而忽略了教材中蕴含的重要数学思想方法的教学.因此在教学中“教思考”，首先教师得思考两个重要的问题“思考什么? 如何思考? ”.在具体教学设计时教师要着重考虑几个问题：一是教学内容中体现了那些思想方法，如：抽象、概括、归纳、分析、综合判断(从概念的获得、问题解决及数学应用中获得)等，且有关的思想方法在知识和技能中是如何呈现的;二是理清知识的逻辑脉络，把握问题产生的本源;三是从知识的理解中传递比较、分析、抽象、概括、归纳、演绎等思想方法;四是引导学生在解题、实验、实践的反思中，培养学生探究、辩证等思维能力.

(二)“教体验”，重在培养学生获得数学学习体验.

新课改以后，教学开始由注重结果转向注重过程.结合“教体验”的思想，在教学中不仅应注重学生参与到完整的知识学习过程中，更要注重学生在学习过程中获得个人学习体验.因为只有学生参与的教学，方能促进学生融入到知识主动获取中，获得思维的开发和锻炼.基于“教体验”学生对相关知识产生的映像更加深刻，更能促使学生爱上数学，想学数学.此外，长期教学生体验，有利于学生逐渐养成面对陌生问题时会体验，会思考的能力;有利于学生能够自主进行积极的思索过程，发挥主体学习能动性.因此，教学中要教学生体验，首先教师得思考两个重要的问题“体验什么? 如何体验? ”在教学设计时教师可侧重考虑如下问题进行设计：一是创设学习情境让学生体验知识的内涵、逻辑脉络、问题本源、思想方法;二是设计问题串引导学生关注知识内涵、逻辑脉络、发展学生的情感态度价值观;三是引导学生在自主学习、合作探究、交流辩论中启发思考，获得敢于质疑、勇于创新的体验.

(三)“教表达”，重在培养学生数学表达能力.

在数学教学中教表达，注重的是培养学生具有学科特色的数学表达能力，也即是教学生用数学的语言把看到的事物或现象给予解释.但学生能够进行数学的表达，需要学生产生数学思考和获得学习体验作为基础.“教表达”的目，一是通过表达促进问题解决，借助表达的机会碰撞出智慧的火花，促进学生间不同的思想进行交流融合.二是在表达中促进学生发现新的问题，加深对原问题的思考和认识，加强学生口头表达能力及交流学习意识.在数学教学中教表达，教师要重视思考两个问题“表达什么? 如何表达? ”.一般在具体教学设计时教师可合理运用已下几种方式进行设计：

(1) 抓住阅读、总结、解题述、交流、讨论等训练学生的表达、倾听、交流力;

(2) 引导学生在解题、实验实践的反思中，通过师生互动、生生互动表述自己的思考;

(3) 引导学生在解题、实验实践的反思中，通过师生互动、生生互动表述自己的思考;

(4) 鼓励学生撰写“学习日记学习体会、小文”培养学生的文字表达能力[1].

总的来说“三教”教学旨在让学生学会想数学、做数学、说数学;让学生养成数学的思维方式和行为习惯，进而培育学生数学核心素养.学习中没有思考就没有体验，没有体验也难以思考，表达是思考和体验的结果.因此“三教”理念是一个不可分割有机整体，没有确切的界限.三者相互影响又共同效力于数学核心素养的积淀.

三、数学建模核心素养

数学建模作为核心素养之一，是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，建立模型，确定参数、计算求解、检验结果、改进模型、最终解决实际问题.其中建立模型思想和建模的方法对于学生逻辑思维、分析思维、综合能力培养以及养成运用数学学科知识解决问题的意识具有重要意义[2].

四、幂函数概念教学分析

本内容选自人教A 版数学必修1 第二章第三节幂函数.

(一) 案例设计主体思路

(二) 课标内容要求

内容层面：通过具体实例，了解幂函数.

学业层面：掌握幂函数的背景和概念，提升数学抽象、数学建模、数学运算和逻辑推理素养[2].

(三) 教学目标

(1) 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题，进行观察分析――归纳总结――建立模型的过程，获得数学建模的相关学习体验，体会建立数学模型的思想.

(2) 让学生能从数学的角度，用数学的语言描述其中包含的数量关系.体会从特殊到一般等数学思想，感受此类函数是存在于生活中的重要数学模型.

(四) 教学重难点

重点：从实际问题中，建立起统一的数学模型结构，获得建模的一般方法体验.

难点：从5 个具体情境中，抽象出幂函数的相关概念.

(五) 幂函数概念教学

1.情境引入，揭示课题

(1) 如果张红购买了每千克1 元的蔬菜w千克，那么她需要支付多少元(用p表示)?

(2) 如果正方体的边长为a，那么正方形的面积s等于多少?

(3) 如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V等于多少?

(4) 如果已知一个正方形的面积是s，那么这个正方形的边长a等于多少?

(5) 如果某人ts 内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v等于多少?

思考：

1、上述问题中是否存在函数关系，若存在，请用变量x和y表示以上5 个问题的函数关系式?

2、观察这5 个函数，它们有何共同特征，能否用一个统一的表达式表示此类函数.

3、这些函数都可以用于解决什么类型的问题? 你能试着给此类函数取个名字吗?

师口头提问：以学习小组为单位，归纳总结幂函数概念的建立经历了那几个步骤?

设计意图通过问题引导学生会结合函数关系式，建立幂函数模型.以问题驱动学生联系学过的指数式，理解用幂函数进行命名的合理性.通过情境问题，促发学生思考-体验-表达，并通过教师引导学生对整个过程的关键步骤进行反思总结，加深学生对新知的理解和数学建模基本思想、方法的认识.

分析课标中指出数学建模核心素养要渗透到平日教学中，幂函数模型的建立与概念的形成教学，正是本节课渗透数学建模核心素养培养的关键环节.加教师对关键思想进行总结阐述，能够让学生加深对数学建模中发现问题、提出问题、分析问题、建立数学模型等基本环节的学习体验，提升学生建立模型的意识.学生抽象模型的过程，即是体验从特殊到一般数学思想的过程，这种思想是进行数学发现和数学证明的一种重要思路.

2.研讨新知，概念形成

一般地，函数y=xa叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，a是常数.

例已下函数那些是幂函数?

y=2x，y=x5，y=2x，y=

思考能否举出一些幂函数的例子，在初中学过的幂函数有那些?

设计意图通过举例子再次体会概念，加深概念形式的认识.引导学生将初中学习过的这些函数归类到幂函数中，通过新知与已有旧知建立起联系，从而促进已有认知高度的提升.

分析幂函数的概念是本堂课需要学习的重要概念.本堂课从具体的数学实例出发，抽象出幂函数的数学模型，对于学生体会幂函数是存在于客观世界中的数学模型具有重要意义.教师在概念形成教学中，以数学问题为纽带，展开教学，能够启发学生围绕问题积极思考、自主学习，是落实“教思考、教体验、教表达”观念下教思考这一理念的关键.

3.回顾反思，及时提升

思考回顾以上幂函数概念形成过程，对其关键步骤或思想方法进行小组交流汇报? 并想一想生活中，学习中遇到那些问题时也会用到此种思想方法?

设计意图通过问题启发学生提炼总结出数学建模的一些重要步骤和关键思想，比如分析实际问题——发现统一模式——建立数学模型——深化了解模型等数学建模基本环节，这有利于增加学生对数学建模的经验积累.为后续学生参加数学建模，积攒用数学的思维方式从生活问题中发现问题，提出问题，分析问题，解决问题意识.

4.课后延伸，拓展思维

思考1 一般的幂函数中指数a有什么特殊要求吗，该怎样去研究y=xa它的性质?

思考2 当y=xa中的a不断变化时，你能画出相应的函数图象，并总结出一般幂函数的性质吗? 比如是正偶数或正奇数时，相应函数具有怎样性质? (可以借助图形计算器，小组分工合作)

设计意图通过问题调动学生思维深入参与，让学生进一步体会利用函数图象，研究函数性质的方法.

分析教师的设计不局限于课堂，恰当的将学习内容拓展至课外甚至是融入在课外活动中.让学生在课后带着问题继续深入学习，这也是培养学生建立自主探究，勇于探索学习习惯的良好方式.

教学评价一般的幂函数概念教学中，获得幂函数概念后，紧接着直接研究幂函数的图象及其性质.对建模思想的体现不足，也正因此，导致学生在后续的学习中，在接受数学建模学习时，大多感到陌生、无从下手.而本设计特意增添了回顾反思、提炼总结环节.帮助学生学会用数学的思维方式对整个数学模型获得过程进行分析，加深了学生对数学建模思想的理解和体.数学建模简单的说，即用数学的思维方式看待生活中的现象，并建立起相应的数学表征结构.所以抓住关键教学环节进行反思，提炼建模的核心思想方法，不失为日常教学中增强学生数学建模意识的好方法.

五、思考与建议

(一) 基于素养的“函数教学”，重在培养学生会用数学的眼光发现问题能力

函数是重要的数学模型，数学建模的主要任务也就是在现实情境中，建立起数学模型，并把数学模型反作用于解决实际问题中.那么函数的学习，及相应函数模型概念的建立，都是包含了数学建模思想的学习过程.必修1 基本初等函数中的指、对、幂函数是常用基本数学模型，很多用于解决实际生活问题的数学模型也是在这些基础模型的基础上衍生出的.只不过教材为了更加便于学生的自主学习，在对三种函数模型的展开与构建处理中，对于函数模型产生背景已经在实际生活的基础上，进行了简单数学化处理.这也就导致弱化了学生从实际生活情境中发现问题与提出问题的能力.因此，在教学时，要注重透过教材内容教会学生思考、分析问题本身所揭示的一般道理.

(二) 基于素养的“函数教学”，帮助学生看得更加明白，想得更加透彻

我们的教学不能仅以学生单纯的发现和理解幂函数的基本性质为宗旨，幂函数的学习其最终不仅是为后续函数的应用服务.其中蕴含者丰富的数学模型思想，是培育学生数学建建模核心素养的良好学习素材.教师在课堂教学中抓住数学建模部分环节组织活动，让学生在解决问题过程中逐渐变得更加会看问题、想问题、做问题.在想中做，在做中思，在师生交流、生生交流中想得更加透彻，做得更加明白.当然在探索幂函数性质的过程中关键是要让学生学会看图说话，建立其观察事物共同属性的意识.只有学生自己建立起“在变中寻找不变，在不同中寻找相同”这样的思维意识或数学直觉，才是学生在面对未来学习或生活时能够自主获取知识或解决问题的关键数学思维品质.

(三) 基于素养的“函数教学”，关键是发展数学的思维品质

核心素养并不是单一的知识或技能，而是知识、技能、态度、能力、观念等所有既定知识技能与个人软能力的有机组合.在数学教学中，落实核心素养培育，就是要培育学生具有数学的思维品质和行为习惯.而这其中的关键就是促进学生数学思辨能力发展，教学生思考、教学生体验、教学生表达，让学生逐渐做到“三会”有效提高学生思维品质.当学生会思考、会体验、会表达，必然能够促进学生想得更深、更全、更透彻，因此教学中教会学生数学的思维比教给学生知识更重要.[3]在具体的单元或课时教学时，教师根据相应知识主题，围绕核心问题创设能够激发学生学习兴趣，调动学生积极性、主动性、引起学生思考的数学情境，以问题为载体，驱动学生在情境中发现问题、提出问题，并在逻辑推理的基础上分析问题、解决问题.引导学生充分经历概念的形成过程，体验基本概念及有关的数学思想方法，帮助学生获得数学知识技能，领会数学思想方法，积累数学活动经验.进而养成良好的数学学习习惯与数学思维方式，从而逐渐达到培养学生数学核心素养目的.