让未知数参与“战斗”*——“解题教学”意识指导下对“作一个角等于已知角”教学的新思考

江苏省南京市第二十九中学初中(210000) 孙莉

美国著名的数学家、数学教育家波利亚说“掌握数学就意味着善于解题”．这就是说解题教学应当是题目为载体、为了帮助学生掌握数学而进行的教学．“解题教学”一直是一个经久不衰的话题，“解题教学”中的每个字都有其特殊的意义．这里的“题”不是信手拈来的，是加以甄选的，可往往教师、学生都会觉得能够谈的上“解”的都是难题，才配得上“解题教学”，那么什么样的题才是好题呢?

目前解题课异化为习题课的状态迫切需要改变，不能再充斥着对某一题型的归类、讲解、训练，需要加入高位的基本问题．这里的高不是难度高，而是立意高、数学味道足，即通过教一些蕴含了解决问题基本思想和策略的题目来让学生逐步理解知识本身并掌握基本方法，一定不能停留在对技巧型问题的多次处理上．无疑，尺规基本作图是符合以上标准的．而传统教学中对尺规基本作图的教学有一定的误区，更多地是告知学生，将其进行“复制、拷贝”，孰能生巧，尤其在初中的起始阶段，这大大的挫伤了学生的学习热情，也与《义务教育数学课程课标(2011 版)》(文中将简称为《课标》)的要求不符，与尺规作图的本质相违背．《课标》中提出“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理”的要求，对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要知道实施这些步骤地理由，也就是说要先“明理”，再以“理”生“法”，这是教师进行尺规作图教学时尤其基本作图的教学中必须思考的．

有人说“学习的最初是模仿”，这话不无道理，可是小学六年的知识经验的积累，已经给学生打下足够的基础，他们无需再模仿，他们可以通过类比、迁移进行思辨和再创造，对于尺规基本作图应“知其然，亦须知其所以然”．所以笔者在“解题教学”意识指导下对基本作图“作一个角等于已知角”的教学作出了新尝试，现与同行交流．

图1

1 教材内容分析

苏科版教材在回顾了“用量角器画一个角等于已知角”的基础上，分析图中点D的位置，意在引导学生通过观察、探索、交流、归纳出用直尺和圆规完成该基本作图的作法步骤，以摒弃传统教学中的“复制、拷贝”的灌输模式，其他教材多数在全等三角形学习完后再进行介绍．前者延续线段的学习模式再加以知识的迁移，安排在这里也不可厚非，但作法探究完后无法给学生解释为什么两角相等，使得尺规作图缺乏了理论支撑;后者符合学生的认知规律，重在“理”，因为基本作图二的作图依据即是三角形全等，但又会思维固化，这两种呈现方式都有各自的道理，但无论是哪一种呈现方式，都应该做到有理有据，学生自然生成最为理想．

2 学情分析

1．学生在小学里已经会用直尺作线，圆规作圆，但在课堂实践中笔者发现不少学生对直尺的作用有些模糊，认为仅用直尺就可以画一条线段等于已知线段了，这是对直尺的错误理解，这里要强调是没有刻度的直尺．并且对“作”和“画”之间的区别模糊不清．

2．课堂实践中亦发现有不少学生会操作，但只知其然，不知所以然，也是就是不“明理”．

3．这个年龄段的学生习惯于用小学里的直观代替推理，对几何语言的运用，即文字语言、图形语言、符号语言相互转化以及对探索、归纳、推理的必要性认识不足．学生的认识过程应基于操作，又高于操作，即可以从事抽象、概括活动，归纳数学对象的特征，发展有条理的思考和表达．

3 教学设计

3.1 弄清题意，解题前提

问题用直尺和圆规作一个角等于已知角．

已知：∠AOB，如图1.

图2

求作：∠AOB，使∠A′O′B′=∠AOB．

设计意图教学过程中笔者并没有带着学生先去回顾复习“用量角器画一个角等于已知角”，因为这已经是固有的经验在学生脑海里，所以直接跳过，更多是“放”，放出时间给予学生充分的思考，但如果教学过程中学生对此很陌生，教师可以适时介入，唤醒旧知，解题表如下：

3.2 拟定计划，关键环节

追问1 直尺可以做什么? 圆规呢? 它们合起来又能做什么呢?

追问2 你曾经画过一个角等于已知角吗? 怎么画的?

追问3 作∠A′O′B′关键是确定什么?

追问4 确定射线O′B′的关键又是什么呢? ?

追问5 点D′有什么特征呢?

追问6 如何理解角相等?

图3

图4

设计意图追问1 中，意在让学生明确的是我们手上的工具有什么用处，让学生有的放矢．追问2 中，笔者特意用“画”而不是“作”，意在唤醒学生用量角器画一个角等于已知角．让学生经历观察图形(假设图形已作出)作一个角的关键是确定公共端点的两条射线，而确定射线的关键是端点与射线上除端点外的任意一点，因此作∠A′O′B′=∠AOB可转化为确定射线O′A′及射线O′B′上的一个点D′．所谓角相等就是度数相同，但不能使用量角器．几何直观就是张口相同、完全重合，不难发现点D′的内部表征：①射线OB上有一个点D是与之对应，则OD=O′D′，不难想到以O为圆心，任意长为半径作弧分别与OA、OB相交于点C、D，附带产生了点D与点C又有什么关系呢? ②点C、D之间的距离亦是确定的，与C′D′的长度相同．根据 ①以O′为圆心，OD为半径作弧，根据 ②以C′为圆心CD为半径作弧交前弧与点D′．这一系列的问题其实就是由已知展开最近联想得可知、未知展开最近联想得需知的过程，即运用思维策略进行内部表征，解题表进一步丰富，如下：

3.3 实现计划，操作过程

请学生自行完整的作图过程并口述作法，这里不再赘述．

由于学生现阶段并未学习全等，所以教师不急于去证明为什么如此作法两个角就是相等的，但这个问题又不能“视而不见”，仅仅用直观代替推理是远远不够的，这里提及的“重合”即为全等，待学生认知水平提高了可再温故而知新．

3.4 回顾反思，必要环节

提出以下问题帮助学生反思：

问题1 整个作图过程用到了哪些思想方法?

设计意图整个作图体现了转化的思想，有问题的，有方法的．看似是作一个角等于已知角，核心问题还是寻找关键点，弧的出现具有突破性的意义，它如同解方程中的未知数“x”，让未知数参与“战斗”．

问题2 你还有其他方法吗?

设计意图在教学过程中，有学生提到过点D作OA的垂线，认为D′到射线O′A′的距离是相等的，还有学生想到推平行线，但由于没有学习过如何用尺规作垂直、平行，只能作罢，但这样的念头是十分可贵的，有助于激发学生的兴趣、寻找知识内部的联系，培养学生的创造意识与应用意识．

4 感悟

4.1 重视解题“套路”的归纳

正如孔凡哲教授所言“从某种意义上说，解决问题就是一种模型化的过程”．学生对一些常见的数学模型要熟练掌握，解题时才能把从题目条件读取出来的信息和脑海中已有模型自如对接，实现快速解题．因此，在教学中应重视解题“套路”的归纳．正如文中的尺规基本作图，常规的“套路”为：先生成预设，把目标转化，把图转化成找关键点，再进一步寻找关键点的内部表征．依靠常见的解题“套路”能较快明确解题方向，找到解题思路．

4.2 重视解题的“温故知新”

解题可以是系列剧，不同的时间段学生有着不同的认知水平，解题的方法、感悟都有所不同，所以在教学中应重视解题的“温故而知新”．该基本作图在初三复习时要求学生完成，作法一定是百花齐放，可以利用全等、轴对称、平行四边形、相似、圆等等知识加以完成.这有助于帮组学生由一个点打通各个知识板块之间的关联，这是一节课，又不止一节课．

4.3 重视教学资源整合的思考

章建跃博士在不同场合阐述了整体教学的观点，他主张站在系统的高度，在教学中将数学知识、研究方法等对象置于整个数学知识体系中，用联系的结构化的观点教学，给予数学知识间的演进和内在联系，让学生形成整体的认知结构，最后达成知识与方法和能力的有机统一．笔者认为基本作图的教学是可以进行整合的，这完全是基于学生整体的认知结构的，不管是哪个版本的教材，五个基本作图都相对分散，给师生都有一种零碎感，并且不利于学生知识体系的形成、发散思维的培养．先期的作图可以不限制工具，在学习完全等三角形、轴对称之后集中安排尺规作图的学习．

“解题教学”意识指导下的尺规基本作图的教学使学生对尺规基本作图“知其然知其所以然”，不再是“模仿者”，而是“创造者”，展露了图形的鲜活和灵动，提高了学生空间想像能力、解题能力，更有助于提高逻辑推理能力，增添了数学的秀色，让课堂不在是教师一言堂，而是真正成为师生的共同乐园．