法拉第效应非互易性验证实验中的菲涅耳效应

蔡家轩，何琛娟

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

法拉第效应是一类基础的磁光效应，1845年由法拉第(Michael Faraday)发现. 法拉第效应展现了光与电磁现象之间的联系，促进了光本质的研究. 线偏振光在样品中沿外磁场方向传播时，其偏振方向会随磁场大小和传播距离改变. 对非铁磁样品，旋光角满足

θF=Vd(λ)Bl，

其中B为磁场强度，l为样品厚度，Vd称为费尔德常量，与光的波长和介质性质有关. 法拉第效应可应用于磁场测量、光波调制和法拉第旋转光谱[1-3]等许多方面，因此常被列入高校物理实验教学的范畴.

法拉第效应导致的偏振面旋转方向由磁场决定，而与光的传播方向无关，因而光往返传播时旋光不会消失，而是倍增，这称为法拉第旋光的“非互易性”. 实验教学中法拉第旋光的非互易性作为设计性内容出现，最容易出现的方案是从“非互易性”概念出发，在光路中增加反射镜，测量光往返通过样品后的旋光角. 实验结果虽能观察到“非互易性”，但旋光效应并没有倍增. 本文对该现象产生的原因进行分析，并提出相应改进方案.

1 实验简介

实验采用LMG-Ⅱ型晶体磁光效应仪，光路如图1所示. 波长632.8 nm的激光经磁光调制器调制后，再通过磁场中的样品(厚度6 mm的MR3-2玻璃)，旋转检偏测角仪至恰当位置可观察到倍频的光电信号[4]. 磁感应强度不同，倍频信号对应的检偏测角仪角度不同，据此可测量法拉第旋光角. 励磁电流方向为迎着光传播方向逆时针，故以此为正向，测得MR3-2玻璃的旋光角θ与磁感应强度B的关系曲线如图2所示.

图1 法拉第效应光路图

图2 θ-B关系及其拟合曲线

由图2中可见旋光角与磁场有很好的线性关系，由斜率可得实验所用MR3-2玻璃的费尔德常量Vd(632.8 nm)=87.4 rad/(T·m)，旋光方向与励磁电流方向相反，即为右旋. 下文中均以-30.04为单程斜率.

为观测法拉第效应的非互易性，较为直接的方法就是利用反射镜令光反向传播，再利用半透半反镜分光，从而实现测量[5]，其光路如图3所示. 光路直观清晰，是学生进行实验时最容易想到并实现的方法. 利用此光路进行实验测得数据如图4所示.

图3 互易性研究光路

图4 互易光路θ-B关系及拟合曲线

由法拉第效应的原理可知，2次通过样品的光，其法拉第旋光效应为单次通过时的2倍. 但图4中数据的拟合直线斜率为-47.14，虽然旋光效应没有抵消，可证明法拉第旋光的非互易性，不过也没有倍增为单程通过时斜率的2倍. 由于往返通过样品的偏振光经半透半反镜反射后进入探测光路，此偏离可能是半透半反镜带来的影响.

2 菲涅耳效应

实验中磁光调制器起偏方向不可调，换用偏振片起偏，用消光法观测入射角i=45°时，半反镜反射光消光角β随入射光偏振方向α的变化. 取偏振方向垂直于入射面为α=0，相应的反射光消光方向为β=0，得到半反镜β-α曲线如图5所示. 图5中对比给出虚线是斜率k=1的直线，可以看到二者有明显不同，说明半反镜在反射时确实由于某些效应对偏振方向产生了较大影响.

图5 测得β-α关系及其拟合曲线

在反射中对光偏振方向造成影响的光学效应最常见的是菲涅耳效应. 入射光的电矢量可分为平行和垂直于入射面的p分量和s分量. 由菲涅耳公式可知，界面反射时，反射光和入射光2个分量的振幅比可表示为[6]

(1)

其中，下角标“1”表示入射波，下角标“2”表示折射波，上角标“′”表示反射波，i1为入射角，i2为折射角.

当入射角不为0时，反射镜对不同偏振方向上的光反射和折射系数不同，导致光在反射时引入额外的“旋光角”，从而影响结果.

由式(1)可得反射光偏振方向θ′与入射光偏振方向α的关系为

(2)

其中，n为反射介质折射率，入射角i=45°，θ′=β+90°. 用式(2)拟合图5中实验结果，可得n=5.37，相关系数0.999 7. 拟合结果如图5中直线所示，二者吻合度较好，即实验中多层介质膜构成的半透半反镜对反射光偏振方向的影响等效于n=5.37的界面，此界面对s光和p光反射系数的不同，使得反射光偏振方向β的变化不与入射光偏振方向α的变化等值.

将图5中n=5.37拟合得到的消光角β和起偏方向α数据与k=1直线做差，得到偏差角Δθ，半反镜反射的偏差角Δθ随入射光偏振方向α的变化关系如图6中灰色实线所示.

图6 半反镜的Δθ-α拟合关系曲线

图6中橙色点为图4的旋光角与预期倍增旋光角的差值，可以看到二者随α的变化有完全相同的趋势，故导致测量结果产生偏差的确是半反镜引起的. 但二者的位置有所偏离，这是由于光在透射过半透半反镜时，由折射的菲涅耳效应产生的偏差. 起偏器角度固定，故透射附加的“旋光角”为定值. 同样通过式(1)得到光从折射率为n1的介质射入折射率为n2的介质时，折射光偏振方向θ″与入射光偏振方向α的关系为

(3)

半透半反镜的透射过程较为复杂，光首先从空气射入半反镜的玻璃介质，再从玻璃介质入射入多层介质膜，最后从介质膜射出至空气. 除了考虑每层折射率不同外，还需考虑折射导致光传播方向的改变，折射定律为

(4)

分别将空气折射率n=1，玻璃折射率n=1.5和多层介质膜的等效折射率n=5.37以及入射角i=45°，入射光偏振方向α=6.76°代入式(3)和式(4)，得到透射后光的偏振方向θ″=4.88°，将θ″和α的差1.88°代入非互易性的测量数据，得到消去透射影响下的非互易性Δθ-α曲线如图6所示，可以看到其与拟合后计算的Δθ基本重合，即图3中光路观测非互易性时的偏差主要是由于等效折射率n=5.37的半透半反镜在透射和反射时的菲涅耳效应产生. 经菲涅耳效应偏转后的反射光偏振方向与竖直方向的夹角θ′的关系如式(2)所示，可以看出，要想减小菲涅耳效应的影响，可以分别从改变入射角和偏振方向入手.

3 实验方案的改进

3.1 减小入射角

将式(2)对i求偏导，得

(n2-sin2i)+sin2i·cos2i],

(5)

等号右侧中括号内第二项恒为正，中括号内第一项在0°

分别改变入射角为30°，22.5°，10°和5°，测得相应旋光角-磁感应强度曲线如图7所示.

图7 不同入射角下θ-B关系及其拟合曲线

图7中灰色虚线是以-60.09作斜率得到单程倍增直线，可以看到，在入射角逐渐减小的过程中，测得θ-B曲线逐渐接近于单程倍增直线，减小入射角确实能有效减小菲涅耳效应带来的影响. 当i=5°时，θ-B直线斜率为-58.93，与单程倍增斜率的相对偏差仅为1.92%，已经很小，故在i≤5°时，即可忽略菲涅耳效应带来的影响.

但半透半反镜仅在入射角为45°时反射率为50%，入射角减小时，探测光路光强明显减弱，考虑将半反镜换为全反镜，并使得往返光路略微错开以避免全反镜的遮挡. 同样在i=5°下测量光往返通过样品后相应θ-B关系，结果如图7中红色虚线所示，信噪比的提高使得线性拟合的相关系数提高至0.999 9，确实提高了测量准确性.

入射角的减小可有效减弱菲涅耳效应的影响，但由于实验所用电磁铁体积较大，减小入射角的过程中，测量光路逐渐向主光路靠近，入射角较小时反射光会被电磁铁挡住，不易搭建探测光路. 此时也可参考文献[7]中的做法，调节图3中B处全反镜角度使反射光从电磁铁中心穿过，再次通过样品，即光往返3次穿过样品. 此时2个反射镜上光的入射角都接近于0，菲涅耳效应影响极小，其θ-B曲线的斜率应为单程斜率的3倍. 改变磁场，测得θ-B曲线如图8所示.

图8 2次反射得到的θ-B关系及其拟合曲线

可以看到，对其进行线性拟合后相关系数高达0.999 8，且其斜率-93.11，与单程斜率的3倍-90.13基本相等，相对偏差仅为0.72%.

从上述分析及实验结果可以看出，减小入射角可以有效减小菲涅耳效应对实验的影响，不过在具体实验中，由于光路中电磁铁体积较大，所以很难将利用半透半反镜的反射光路的角度调至较小；若在小角度下利用2片反射镜搭建往返3次的光路时，对光路的精度要求较高，需要仔细调节2片无边框的全反镜才能实现. 虽然存在一定实现的难度，但通过改变入射角观测不同情况下的现象，可以在观测法拉第非互易性的同时，对菲涅耳效应有更加直观的认知.

3.2 改变入射偏振方向

当α=0°或90°时，由式(2)有tanθ′=tanα=0或∞，即Δθ=0，所以若能保证入射到图3中半反镜的光仅有s分量或仅有p分量，反射后依然另一分量为零，即避免了菲涅耳效应的影响.

在图3所示光路的基础上进行改进. 首先，固定起偏器方向垂直入射面，样品处无旋光时，入射到半反镜上的光，其偏振同样沿s方向. 加磁场后，法拉第旋光效应导致半反镜上的光偏振方向偏离s分量，此时旋转起偏器，如果起偏器的旋转角度和方向可以抵消样品的法拉第效应，则半反镜上的光偏振重新沿s方向. 所以只需固定检偏器沿p方向，旋转起偏器角度，在不同磁场下实现消光，测量起偏器的旋转角度即可实现无菲涅耳效应影响的法拉第旋光的互易性研究. 为达到此目的，首先需将图3光路中磁光调制器换为起偏器实现起偏角度的调节;其次，光在透射过半反镜时会由于透射的菲涅耳效应影响结果，所以需改用全反镜代替B处的半反镜，并调节往返光路略微错开，使全反镜不遮挡光路. 改进方案测量结果如图9所示.

图9 改变入射偏振方向测得θ-B关系及其拟合曲线

由于通过旋转起偏器补偿法拉第旋光的旋光角，所以图9中θ-B曲线的斜率为正. 拟合所得直线斜率为57.71，与单程倍增斜率值相对偏差为3.95%. 很好地验证法拉第旋光的非互易性.

误差产生的原因主要来自消光位置的准确判断. 如果磁光调制器线偏振光摆动的中心位置对应s分量或p分量，用其替换检偏器实现倍频法测量可进一步改善实验结果.

4 结 论

通过改变入射角和入射光偏振方向观测法拉第效应非互易性测量的误差，分析菲涅耳效应对误差的影响. 实验结果表明：法拉第旋光非互易性观测中的主要误差来源于反射界面的菲涅耳效应，误差大小由入射角、反射界面折射率和入射光偏振方向共同决定. 结合菲涅耳公式和实验结果，当入射角很小或入射光偏振方向垂直或平行于反射面时，可以有效减小菲涅耳效应的影响，由此提出实验光路的几种改进方案，并对各自的利弊及可行性进行了分析.