无黏性颗粒在平面上的堆积角

储时哉，董家豪，王思慧，万建国，周惠君

(南京大学 物理学院，江苏 南京 210093)

颗粒物质由大量离散的固体颗粒组成，是以接触力为主要作用的复杂物理系统. 颗粒体系的研究涉及物理学、力学、水利、建筑、地学等科学及工程应用领域. 几十年来，针对颗粒体系的物理和力学性质，提出了大量唯象模型和理论[1-3]，然而其中许多丰富复杂的物理问题未能得到合理解释. 本文的选题来自于2018年CUPT第7题，原题是：无黏性颗粒倾倒在平面上时会形成圆锥形的堆，研究影响锥体形成以及与平面所成底角的参量. 本文采用较为成熟的连续介质模型，结合实验观察，研究影响颗粒堆积角的相关参量. 该问题的研究有助于学生开阔眼界，初步体会复杂系统中运用唯象理论进行简化的方法，适合作为本科生物理实验课程的扩展训练.

当颗粒物质系统平衡时，体系的应力张量需满足力平衡方程、库仑不等式以及边界处切应力为零等条件[4]. 从这些条件出发，结合应力分布假设以及实验观察，可以研究颗粒物质在自然堆积状态下的堆积角的形成机制以及影响因素.

为了明确讨论的物理含义，首先引述颗粒堆角的有关定义.

堆积角θ：颗粒物质堆积形成的锥形堆与底面的夹角.

休止角α[5]：在重力场中，颗粒物质在堆积层的自由斜面上滑动时所受重力和粒子之间摩擦力达到平衡而处于静止状态下测得的最大角.

内摩擦角φ[6]：抗剪强度指标，反映了颗粒的摩擦特性，包含颗粒的表面摩擦力以及颗粒间的嵌入作用产生的咬合力.

在实验中直接测量的是堆积角，当底面摩擦系数足够大，可以提供足够的切应力时，所测得的堆积角是自然休止角，而内摩擦角可以通过查阅文献确定.

1 预实验

首先分析极端情况：

1)考虑摩擦系数足够大的底面，颗粒落下后不会在底面发生滑动，因此，颗粒的堆积方式将是上层的颗粒沿锥形堆侧壁逐渐下滑至底部，使锥体逐层扩大.

2)再考虑摩擦系数等于零的底面，颗粒落地时，只要速度水平分量不为零，则颗粒将向远处运动. 由于边缘处颗粒落地时速度不可能为零，此时就不可能形成明确锥角的堆.

通过以上分析可以推测，只有当颗粒与地面摩擦系数足够大时，才能够形成锥形堆，而且摩擦系数可能影响锥形堆的生长机制.

为了验证以上推测，用手机拍摄视频进行初步实验观察. 选取普通石英砂作为堆积的颗粒，通过漏斗向下倾倒. 底面分别是较为光滑的玻璃和较为粗糙的砂纸. 当石英砂掉落在砂纸上时，观察到底部与底面接触的颗粒几乎不发生滑动，锥形堆的扩大方式为新加入的颗粒向下滑落并停留在底部和外侧. 当石英砂掉落在较为光滑的玻璃表面时，观察到底面靠近边缘的颗粒在上层不断堆积升高的同时伴随向外滑移，从而使得锥形堆的高度和半径不断扩大.

为便于观察堆积时颗粒堆内部的变化情况，用2块平行透明塑料板形成夹层，底部垫粗糙的砂纸，将砂子注入其间形成近似二维的颗粒堆.

如图1所示，先注入一部分白色石英砂，形成堆后，再选取粒径形状接近的黄砂继续倾倒入夹层之间. 一段时间以后发现，不同颜色的颗粒所形成的颗粒层与底面之间的夹角近似相同，2种砂的分界面与颗粒堆上表面几乎平行. 观察视频还发现，表面砂粒在滑落时逐层滑落，砂的滑落只发生在锥形堆的表面.

图1 将石英砂注入2块平行透明塑料板之间，观察锥形堆的形成过程

在预实验中，锥形堆的生长过程都表现为先平摊然后与地面夹角逐渐增大，当增大到某值时，堆积角不再增加，锥体以相同底角向外扩大. 在一定实验条件下，颗粒堆积的堆积角存在极大值，超过此值颗粒将以滑落或者滑移的方式使堆角保持不变.

2 理论模型

为了建立合理的颗粒堆积模型，通常采用以下假设：

1)连续介质假设. 由于颗粒尺寸比整个堆体的几何尺寸小几个数量级，因此假设堆里的颗粒为连续介质.

2)完全塑性假设. 假设颗粒的弹性模量为无穷大，即不会因为颗粒间的挤压发生形变.

3)无黏性假设. 假设颗粒间不具有黏性连结，相互作用只以摩擦力的形式体现，无吸水性，透水性较强.

重力场中堆体里的颗粒应满足连续介质的力平衡方程：

σ=ρg,

(1)

这里应力张量在柱坐标的具体形式为

以上力平衡方程的分量式为

(2)

(3)

因为堆形状不唯一，并且应力分布也不唯一，通常只能采用经验公式来表达应力张量的形式. 由于堆边缘处应力张量必须为零，而中心处由于对称性，切向应力也应为零，可以近似采用二次函数来拟合切应力[7]，即

(4)

知道切向应力分布后，将边界条件[7]代入式(2)和式(3)得到

(5)

(6)

其中，A为应力强度，R为堆半径,H为锥形堆的高度,h为锥母线斜率.

根据对称性可以求出整个系统的应力张量矩阵，从而描绘系统受应力的情况.

根据式(4)～(6)，绘出底面上应力张量的分布如图2所示. 使用的参量为：A=125 Pa，ρ=103kg/m3，R=5.0 cm，H=2.9 cm.

图2 底面应力张量随径向变化情况

考虑剪切滑移，库仑屈服条件为

τ=μσ,

(7)

其中，σ为正应力，τ为切应力，μ为广义的摩擦系数，μ=tanφ，φ为内摩擦角. 此处运用了完全无黏性假设. 以下将根据库仑屈服条件，介绍库仑不等式[4]的证明过程.

为了推导库仑不等式，需要引入莫尔圆的概念. 在本文所研究的颗粒系统中，对于某相对于初始坐标系旋转了δ角的坐标系，正应力和切应力的表达式可以由在原来坐标系中的应力表达式来表示：

σ=σxxcosδcosδ-σxycosδsinδ+

σyysinδsinδ+σyxsinδcosδ,

τ=σxxcosδsinδ+σxycosδcosδ-

σyysinδcosδ+σyxsinδsinδ.

为方便计算，定义3个量p，K和λ为

(8)

(9)

(10)

此时正应力和切应力可以化为

σ=p+Kcos (2δ+2λ) ,

(11)

τ=Ksin (2δ+2λ) .

(12)

由式(11)和式(12)可以看出，两式可以在σ-τ平面上描绘1个圆，此圆称为本系统的莫尔圆. 在本题中，不妨使用原有坐标系即δ=0，同时，式(7)表示σ-τ平面上斜率为μ的直线. 若要使系统保持稳定不发生屈服，在几何上要求平面上直线与莫尔圆不能相交，即

(13)

利用μ=tanφ，并将各表达式用应力张量表示，即可得到

(14)

f是引入的屈服因子，当系统某个边界的屈服因子在式(14)取等号时，发生屈服. 通过数值计算,可以画出屈服因子的径向分布图像，如图3所示. 所用参量与图2相同.

图3 屈服因子的径向分布

由图3看出，随着到径向距离的增加，屈服因子呈现单调增加的趋势. 在1个锥形堆内由于内摩擦角为恒定值，最先满足剪切滑移条件的是锥形堆的表面. 当式(14)取等号时，出现预实验中观察到的滑落，而锥形堆内部是稳定的，因此首先在表面发生屈服.

考虑锥形堆表面处的平衡条件，结合库仑屈服条件，此时内摩擦角的正切应等于斜面倾角的正切:

tanα=tanφ,

(15)

即底面切应力足够的情况下，堆的休止角等于颗粒的内摩擦角.

当底面摩擦系数较小，锥底的静摩擦力不足以提供切应力时，在表面屈服因子式(14)取等号之前锥形堆发生坍塌，此时，锥形堆的堆积角将会小于颗粒的内摩擦角.

根据应力张量表达式(4)～(6)，代入数值进行分析. 图5显示了不同堆积角度下切应力和正应力的比. 图6是通过切应力与正应力的比值求出不同底面摩擦系数下，锥形堆能达到的最大堆积角.

图4 切应力与正应力比值与径向距离之间的关系

图5 不同堆积角度下切应力和正应力之比

图6 锥体的堆积角与底面摩擦系数的关系

由图5～6可知，当地面摩擦系数较小时，锥体的堆积角与底面摩擦系数正相关. 当锥形堆同底面的夹角增大时，切应力与正应力的比值增加，因而更容易超过底面临界摩擦系数而发生滑移，滑移后堆积角变小，比值减小，堆体重新达到平衡.

3 实 验

以下通过实验研究可能影响堆积角的主要因素，包括颗粒的密度、颗粒的形状、颗粒的尺寸、粒径分布以及底面的粗糙程度等.

实验中，利用漏斗倾倒使得形成的锥形堆尽可能地均匀，在颗粒堆形成之后，沿水平方向对于同一堆从4个不同方向各拍摄1张照片，通过Tracker软件测量角度，并对同一堆测量出的值取平均值. 再对每种材料同一条件下进行3次实验取平均值.

3.1 颗粒密度对堆积角的影响

实验选取3种形状相同、尺寸相近(半径均为3 mm)，但密度不同的木球、泥球和钢球. 在底部约束的条件下进行堆积. 由于相同半径不同密度的样品(如铜球或铝球)成本较高，这里没有进行更多材质样品的实验. 实验结果如图7所示.

图7 颗粒密度对堆积角的影响

由图7可以看出，密度从0.8 g/cm3增加到7.7g/cm3，堆积角变化在1°之内. 实验表明，在实验测量范围内，密度对于堆积角不存在确定的影响. 虽然球的密度不同，但由于形状相同，堆积方式和咬合方式相同，从而堆积角也几乎相同.

3.2 不规则颗粒尺寸以及粒径分布对休止角的影响

选取5种不同粒径的石英砂，在相同的环境下进行实验，测量结果及该结果与文献[9]中的内摩擦角对比如图8所示.

由图8可以看出，颗粒自然休止角、内摩擦角与粒径之间的变化趋势一致. 但石英砂的休止角要明显大于内摩擦角. 其原因可能是在理论模型中，做了完全塑性假设和无黏性假设，但实际情况中，颗粒之间存在一定程度的塑性形变，同时也会存在一定的黏性. 由于黏性的存在，库仑屈服条件修正为

τ=μσ+c，

切向应力多了黏滞项，使得在堆的形成过程中，颗粒从上方向下滑落或者从下方向外滑移所需的切向应力变大，于是最终稳定时所形成的休止角会大于内摩擦角.

图8 颗粒自然休止角与内摩擦角与粒径之间的关系

接下来研究粒径分布对休止角的影响. 选取3种粒径的石英砂，并将它们以不同的质量分数混合，具体混合方式如表1所示.

表1 不同粒径石英砂的混合方式

自然休止角随粒径分布不同的变化关系如图9所示.

图9 自然休止角随粒径分布不同的变化关系

由图9可以看出，粒径的分布对锥形堆的自然休止角产生影响. 此处仅作初步解释：内摩擦角不仅包含颗粒与颗粒之间的摩擦，还包括了颗粒之间的嵌入和咬合. 与粒径相似的颗粒不同，当颗粒之间粒径相差较大时，较小的颗粒更易嵌入大颗粒之间的空隙，使得系统的咬合方式相对于单一粒径时发生显著变化. 因此对颗粒之间的内摩擦角产生影响.

3.3 规则颗粒的尺寸与形状对堆积角的影响

讨论相同几何形状、不同尺寸的规则颗粒，以及不同几何形状的规则颗粒堆的堆积角.

选取5种材质相同的钢球，其直径分别2.5，5.5，6.4，7.5，9.5 mm. 在底面约束的条件下，测量结果如图10所示.

图10 钢球堆积角和直径的关系

实验表明，球形颗粒的几何尺寸对堆积角没有明显影响.

事实上，对于不同大小的球形颗粒，在周围颗粒粒径相近的情况下，相互咬合的方式几乎相同，因此，内摩擦角不会随颗粒半径的变化显著增加，从而导致球形颗粒堆的自然堆积角不会随颗粒半径变化而变化.

选取5种直径相同但长度不同的圆柱形颗粒，其直径均为4 mm，长度l分别为2.5，5.0，8.5，10.0，15.0 mm. 测量结果见图11.

图11 圆柱形颗粒堆积角与圆柱长度的关系

由图11可以看出，随着圆柱长度与直径比例的增加，其堆积角呈下降趋势. 其原因在于，随着圆柱长度的增加，稳定性下降，圆柱将更倾向于倒伏，因此在实验中表现为堆积角越小. 该实验表明，对于非球形颗粒物质，几何形状对堆积角有显著影响.

3.4 底面粗糙程度对堆积角的影响

将小米粒撒到砂纸、A4纸、镍板、油性纸和塑料5种摩擦系数不同的表面上，探究底面摩擦系数对堆积角的影响. 底面的摩擦系数由实验测得，测量方法是：将木板表面贴上双面胶，利用双面胶把小米颗粒均匀粘连在木块外表面，将待测纸面固定在斜面上，把沾有小米颗粒的木板放在斜面上，调整斜面底角直至发生滑动，由临界滑动摩擦角可以得到摩擦系数.

图12 堆积角与底面摩擦系数关系的理论计算结果

由图12可以发现当底面摩擦系数较小时，锥体的堆积角与底面摩擦系数呈正相关. 随着摩擦系数的增大，堆积角将达到饱和.

堆积角与底面静摩擦系数关系的实验结果如图13所示，实验结果与图12的模拟计算趋势一致.

图13 堆积角与底面静摩擦系数关系的实验结果

正如在预实验中的分析，底面摩擦系数小于临界摩擦系数值时，堆会因为底部的滑移而无法达到休止角，堆所能达到的最大堆积角随着底面摩擦系数的增加逐渐增大；而达到了临界摩擦系数之后，底部切向应力能够提供约束使堆底不发生向外滑移，从而堆积角可以达到自然休止角，此后不再继续增加.

4 结束语

运用连续介质模型和库仑屈服条件，推导了库仑不等式，在此基础上研究了堆积角与休止角的形成机制，得出了休止角与内摩擦角的关系，并分析了堆的2种崩塌机制：一种是下表面粗糙时，颗粒在达到一定角度后沿侧面滑落；另一种是下表面光滑时，颗粒在达到一定角度后由底面向外滑移. 连续介质模型也有其局限性，无法预测形状、尺寸等因素对颗粒堆积角的影响. 本文还通过实验研究了影响堆积角的其他因素：在实验测量范围内，密度对于堆积角不存在确定的影响；粗砂粒径增大时堆积角小幅增大；颗粒形状对堆积角有显著影响. 通过实验还验证了底面摩擦系数对堆积方式和堆积角的影响. 由于颗粒堆积问题本身非常开放复杂，存在多种理论模型，彼此并不完全自洽，而CUPT通常要求从理论和实验方面研究多种因素的影响，因此本文许多影响因素仅能作半定量或定性讨论，无法达到理论与实验统一的解答. 事实上，通常CUPT的解答也具有开放的性质，存在进一步讨论和延拓的空间.