从知识的三要素 看高中数学学科核心素养的培育

施炜

[摘  要] 对核心素养及其培育的理解，既需要根据核心素养的定义进行，也需要在传统的理论中汲取智慧. 知识具有三个要素. 这三个要素分别是符号表征、逻辑形式和意义.学生学习数学知识的过程，实际上就是通过对数学知识的表征形式进行加工，理解其中的逻辑关系，进而建构意义的过程. 知识的学习过程与核心素养培育的过程一致.当学生的学习对数学概念进行仔细琢磨，并探究其符号表征方式、内在的逻辑结构以及意义时，深度学习其实就已经在发生，其能促进核心素养的落地是必然的.

[关键词] 数学文化;兴趣;质疑问难;探究延伸

当核心素养成为教师关注的重点时，一个重要的认识应当是：核心素养的概念不是抽象的，核心素养培育的过程是具体的. 对核心素养及其培育的理解，既需要根据核心素养的定义进行，也需要在传统的理论中汲取智慧.对于前者想必同行们都比较认同，而对于后者可能存在更多的观点. 实际上，任何一个新的理论都不能完全脱离传统理论，譬如在对知识的理解中，就涉及核心素养及其培育的诸多细节.

■高中数学教学视野中对知识的理解

在高中数学教学中，如果谈及“数学知识”，估计教师的第一反应就是数学概念或者规律. 这种反应是正常的，但又是不够的，在理解数学知识的时候，固然要认识到数学概念和规律是数学学科课程内容的基本组成要素，处于学科的中心位置，对于学生学习数学知识具有重要的支撑作用，同时又应当认识到对数学知识的理解，应当置于更为上位的“知识”理解之下.

目前公认的观点是，知识具有三个要素. 这三个要素分别是符号表征、逻辑形式和意义.

符号表征强调的是知识总是以一定的符号形式表示出来的，譬如集合概念，高中数学中常常将集合定义为“一定范围内某些确定的、不同的对象的全体”，这种符号是文字符号，除此之外还可以用N、R、Q等特别的符号表示特殊的集合，还有Venn图也是表示集合的重要符号;知识之间总是存在着逻辑形式的，知识的逻辑形式是人们认识世界的重要方式，知识的逻辑形式包括知识的构成逻辑和逻辑思维两个内容. 譬如集合概念中用来表示逻辑关系的属于、不属于等，都是表示的逻辑关系;意义是知识最为关键的内核，知识的意义在于促进学生在学习的过程中，实现思想、精神和能力的发展，知识的意义彰显着知识与人的发展之间的一种价值关系.

由此可以认为，学生学习数学知识的过程，实际上就是通过对数学知识的表征形式进行加工，理解其中的逻辑关系，进而建构意义的过程. 需要进一步形成的理解是：学生在理解数学知识的过程中，要实现思想、精神和能力的发展，而这一目的与核心素养的目的恰恰是一脉相承的，因为核心素养所追求的就是培育学生的必备品德与关键能力.很显然，这里可以得出的一个结论就是：知识的学习过程确实与核心素养培育的过程是一致的，而从知识的三要素角度去解读数学教学过程，则更利于设计出一个核心素养培育的过程.

■基于知识“三要素”的核心素养培育

既然形成了如上理解，那具体的基于知识三要素去培育数学学科核心素养的过程应当是怎样的呢？从当前的高中教学实际出发，笔者以为要辩证地看待传统的数学知识理解以及三要素视角下的知识理解. 从传统认识论立场看待数学课程知识，认为数学知识就是数学概念、公理、原理、公式、命题的总和，其易导致数学知识教育的机械化和工具化（但客观上确实能够提高学生的解题能力）.从教育立场看数学课程知识，数学知识价值不仅包含科学价值更包含人文价值，认识到其结构由符号表征、逻辑形式和意义系统等三个方面组成，那实际教学就可以分为两个层次：第一个层次就是应试视角下的数学知识教学，其目的在于让学生迅速地记住数學知识或规律;第二个层次就是在学生初步掌握了数学知识之后，结合分析、综合与反思的方法，走进数学知识背后的核心素养培育空间. 例如，函数的概念教学中，先让学生掌握函数的定义——一般的设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫作从A到B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A.

在学生掌握了定义之后，面向学生提出一个问题：如果用你自己的语言来描述函数的概念，你会如何描述呢？这个问题实际上同时指向知识的符号表征与逻辑形式两个要素. 让学生用自己的语言去描述，实际上就是让学生用自己符号系统中的符号去描述，这个描述的过程必然要讲究逻辑，即函数定义中的对应法则、单值对应等. 从学习心理的角度来看，学生用自己的语言去描述一个数学概念，必然对应着精加工过程，这个过程最大的好处就是可以加深学生的记忆与理解. 由于不同学生的符号系统是不一样的，因此不同学生所说出来的语言往往也是有所差别的.这种差别是进行小组合作学习的基础，让学生在小组合作的过程中交流自己的观点，实际上也就是不同符号系统中的符号进行碰撞，最终判断正确与错误的依据，正是符号背后的逻辑.

有了这样的一个过程，也就有了意义建构的过程.通常情况下，学生通过合作交流都会发现，课本上所给出的定义是语言（符号）最为简洁、逻辑最为正确、意义最为准确的方式.从有效学习的角度来看，这样的一个过程看似花费时间，其实这个时间是花得值的，因为在这个时间中，学生对函数概念的理解会达到传统教学所无法企及的深度. 观察学生的自主思考与小组合作可以发现，在用自己的语言描述函数概念的时候，常常会结合一些例子来进行. 从实例到概念有着数学抽象的空间，判断自己的语言是否符合原定义的含义，有着逻辑推理的空间，通过精加工形成的函数认识，实际上正是一个建模过程. 因此这样的过程，是一个实实在在的数学学科核心素养培育的过程.

■有效的知识教学应当指向“深度学习”

在讨论核心素养落地的时候，有一个概念常常被同行提起，这个概念就是深度学习. 很多人认为深度学习就是加深学习的难度，去到达一个深度.这样的理解或许有一定的道理，但肯定不是深度学习的真正含义.

固然要认识到实现教学的丰富价值，必须由表层的符号教学走向深度教学. 但是更需要认识到深度学习与知识的三要素之间有着密切的关系，其实从上面的论述可以发现，当对高中数学知识的教学超越了应试层面，当学生对数学概念以及规律的理解不是在习题重复中进行时，当学生的学习进入了对数学概念进行仔细琢磨，并探究其符号表征方式、内在的逻辑结构以及意义时，深度学习其实就已经在发生，从这个角度讲，其能促进核心素养的落地是必然的.

总之，高中数学教学要站立在知识三要素的理解基础之上，这样不仅能够促进自身对数学教学的理解，也能够将核心素养更好地融入日常的教学，从而实现应试与教学改革的两不误.