小学数学起点型核心知识的 认识及研究视角

魏光明

摘  要：处于某个知识领域、知识板块、知识序列起始位置的数学知识，如果在知识逻辑上具有基础性、生长性和不可替代性，在思想方法上具有启示性、拓展性和可设计性，在学习心理上具有趣味性、应用性和可迁移性，就属于起点型核心知识。我们应该从意义与价值、背景与关联、疑问与困难、策略与案例等视角，对起点型核心知识展开分析和研究，打通知识之间的内在联系，促进知识的建构与完善、迁移与生长、理解与应用，提升以思考力为核心的学习力。

关键词：核心知识;起点位置;小学数学

从知识生长的线索看，处于某个知识领域、知识板块、知识序列起始位置的核心知识，可以称之为起点型核心知识。它们是具有相对意义的原点性知识，是一些重要的“先行组织者”，一般指向数学基本思想、基本方法、基本原理、基本关系、基本概念、基本问题的初次集中教学 [1]。准确认识、判断、分析和研究起点型核心知识，有利于挖掘其独特价值，发挥其在长线教学中的重要作用，实现减负增效、积淀素养的目标。

■一、怎样理解起始位置的知识？

本文所说的起始位置，是指数学知识开始发生的地方，一般处于某个知识领域、知识板块、知识序列的起点。基于这样的理解，我们可以依据以下三个标准来判断一个数学知识是否处于起始位置。

1. 在某个知识板块中处于起点位置

一个数学知识如果处于某个知识板块的起点位置，这个知识属于起始位置的知识。比如，在“10以内数的分与合”板块，“5以内数的分与合”就处于起点位置，这一知识首次引导学生认识、掌握自然数的分与合，感悟加法和减法的含义;在“表内除法”板块，“除法的含义”“口诀求商”的起始课就处于起点位置，这些内容首次引导学生认识除法，在除法和平均分之间建立起联系，初步掌握根据乘法口诀求商的方法;在“简单的数据整理”板块，二年级下学期“数据的收集和分类整理”就处于起点位置，这一知识首次引导学生从逐个记录的已有经验出发，感悟、体验初步学习分类记录和分类整理的方法。

2. 在某个知识链条中处于起点位置

一个数学知识如果处于某个知识序列、知识链条的起点位置，这个知识属于起始位置的知识。比如，在“10以内数的加减法”中，“带括线的简单实际问题”就处于起点位置，该知识让学生感知、了解第一次提出问题，第一次依据问题选择信息和方法;在“估算”中，“两三位数乘一位数的估算”可以理解为起点位置，它第一次让学生接触、感悟估算的基本要素和方法，包括估算的单位、方法、上界和下界;在“平面图形的面积”中，“长方形的面积计算公式”可以理解为起点位置，该知识第一次让学生接触、感悟从直接计量过渡到间接计量，同时，长方形的面积计算是其他平面图形面积计算公式推导的基础和前提（在我国古代文献中，长方形的面积计算公式是作为不需要证明的公理呈现的）;在“解决与分数乘法、除法有关的简单实际问题”中，“一个数乘分数的意义”即“求一个数的几分之几是多少”就处于起点位置，它是正确列式解决相关问题的基本数学模型。

3. 在知识板块和知识链条中都处于起点位置

一个数学知识如果既处于某个知识板块的起点位置，又处于某个知识序列、知识链条的起点位置，这个知识属于起始位置的知识。比如，“5以内的加法和減法”在“10以内的加法和减法”这一知识板块中处于起点位置，在“整数加法和减法”这一知识序列中也处于起点位置;“从条件想起”起始课在“从条件想起”这一具体的解决问题策略的知识板块中处于起点位置，它让学生初步感悟、初次了解从条件想起的基本要素，像为什么要从条件想起、怎样从条件想起等，在“解决问题的策略”这一知识序列中也处于起点位置，无论是从条件想起、从问题想起、从两头想起，还是画图、列举、转化、假设，都是在已知条件和所求问题之间寻求一种联系。

■二、怎样判断处于起始位置的知识是不是核心知识？

本文所说的核心知识，是指那些适用范围广，自我生长和迁移能力强，明确的、结构性的、不可或缺的、处于基础和中心地位的知识 [2];是最关键的，具有统率性和生发性的，包含符号概念、思维逻辑、情感态度、价值信念的完整性知识。从这个意义上说，处于起点位置的知识不一定都是核心知识，核心知识也不一定都处于起点位置（后续会专门讨论处于节点位置、拐点位置的核心知识）。我们可以依据以下三个标准来讨论和判断一个处于起始位置的数学知识是不是核心知识。

1. 从知识逻辑看，是否具有基础性、生长性和不可替代性

一个处于起始位置的数学知识，如果具有基础性、生长性和不可替代性，它是核心知识。比如，“认识一个整体的几分之一”也是处于起点位置的核心知识。我们知道，分数的含义具有多重背景，它可以表示部分和总体的关系，可以表示除法运算的结果，可以表示两个整数量的比。这其中，表示部分和总体关系的意义是分数意义的核心和基础，这种关系具有无量纲性，只表示关系，不表示结果。而事实上，学生在三年级初步认识分数甚至是在五年级认识分数的意义时，常常混淆分数是作为一个“量”还是作为一个“关系”。在通常情况下，学生更多的是将分数理解成一个量而不是关系，明显的标志就是或隐或显地在分数的后面带上一个单位。在三年级上学期第一次认识分数几分之一，也就是初步认识将一个物体平均分成若干份，表示这样的一份就是这个物体的几分之一，但是实际上学生通常理解为几分之一“个”。造成这个问题的原因比较复杂，其中主要原因有两点：第一，是学生第一次接触用一个（小于1的）无量纲性的数来表示部分和总体之间的倍比关系，而以前学生接触到的自然数通常都是带有量纲的，经验的负迁移在所难免;第二，学生第一次认识几分之一时，无论是作为计算结果的量，还是表示部分和整体的关系，这两个数（这里都是分数）的大小是一样的，产生混淆就显得正常不过。等到教学“认识一个整体的几分之一”时，学生发现作为平均分计算结果的量的数与表示部分和整体的关系的数（后一个是分数）的大小不一样时，才能初步将分数表示部分和总体之间的关系与表示计算结果的量分化开来，进而加深对分数的认识和理解。

2. 从思想方法看，是否具有启示性、拓展性和可设计性

一个处于起始位置的数学知识，如果具有启示性、拓展性和可设计性（所谓可设计性，是指可以通过设计，将核心知识的形成过程展示出来），它是核心知识。这里以“数据的收集与整理（二）”为例，谈谈如何判断一个知识是否具有启示性。教学中，要让学生充分经历数据收集过程，感受到收集对象、方法、过程不一样，信息就可能不一样，初步体会数据的随机性：一是对象不同，收集的数据会存在差异;二是方法与过程不同，比如选择抽样（整体随机抽样、分类随机抽样）还是逐一收集的方法，收集数据时的心态不同，收集的数据会存在差异;三是基于上述收集到的数据做出推断，会具有不确定性。其中，对于上述第三点再作一些说明：先前，学生一般习惯于根据收集到的全部数据进行描述性分析，而数据随机性决定了描述性分析的局限性，因而这里所采用的数据分析方法实质上属于推断性分析，即从样本数据推断整体数据。教学时，教者可以引导学生由小组数据推断全班数据，由班级数据推断年级数据。与之相对应的，在学生收集数据时，可以由小组向班级汇总，由班级向年级汇总，进而让学生获得新的启示，体会到描述性分析与推断性分析既有联系，又有区别。

3. 从学习心理看，是否具有必要性、应用性和可迁移性

一个处于起始位置的数学知识，如果具有必要性、应用性和可迁移性，它是核心知识。比如，在“平移和旋转”单元学习“方格纸上的平移”一课时，学生根据指定要求（即平移方向和距离），首先描出平移前图形的对应点，接着对照平移前的图形，用线段顺次连接这些对应点，得到平移后的图形。这样的操作具有一定的趣味性，学生大多觉得比较好玩，也能体会到学习这种平移方法的必要性。再比如，在首次学习“一个数乘10、100、1000、10000……”时，应该重视引导学生通过计算和比较，发现一个乘数是10、100、1000、10000……时，乘法运算有规律，即积的变化规律，感受这个乘数变化引起乘积变化的因果关系。等到后续学习“小数乘10、100、1000、10000……”，在感受积的变化规律时，要引导学生寻找两者之间的联系，实现知识的顺向迁移，形成更高层次的抽象。

为了表述方便和统一，我们将处于起始位置的核心知识称为起点型核心知识。作为知识框架的承重点，起点型核心知识在学生知识体系建构中具有原点生发、立体枢纽和多元引领等价值。限于篇幅，不再赘述。

■三、怎样开展相关研究？

在知识体系建构的过程中，起点型核心知识通常发挥着重要的甚至是不可替代的作用。注重起点型核心知识的分析，着眼打通知识之间的内在联系，促进知识的迁移与生长、理解与应用，具有重要的实践意义。我们可以从以下四个视角对起点型核心知识展开研究。

1. 意义与价值分析

这里主要是对某一知识对后续学习、对全方位学习的意义与价值进行分析。比如，“观察物体”可以从三个视角进行分析：它是认识图形的全新视角;它是培养空间观念的重要一环，即实现二维空间与三维空间的转换;它是积累学习图形与几何内容的有效方法。比如，“转化的策略”中关于“分数连加”，也可以从三个视角进行分析：它让学生初步感受等值转化（算式的等值转化）——就图形转化而言，一般包括等积转化和等长转化;它沟通了数与形的转化（数与形的转化是转化思想的核心;笛卡尔发明平面直角坐标系，建立了代数与几何之间的双向转化）;它是几何直观的生动体现，表现为构造图形描述、表示数学问题，依据图形分析、解决数学问题。

2. 背景与关联分析

这里主要是对某一知识的形成背景、与其他知识的关联性进行分析。比如，“多边形的认识”，就分类标准而言，可以按边的多少分成三边形、四边形、五边形……也可以分成凸多边形、凹多边形;就概念形成的方法而言，可以用描述的方法，比如“三角形”的概念可以这样描述：像这样的图形（相机呈现各种三角形）就是三角形，也可以用下定义的方法（包括发生式定义和属加种差的性质定义）。如果用发生式定义，“三角形”的概念就可以表述为“三条线段首尾相连形成的封闭图形”。再比如“质量单位的认识”，我们可以从四个方面进行分析：量与计量;离散量与连续量;质量与重量;直接计量与间接计量。

3. 疑问与困难分析

这里主要是对学生学习某一知识可能出现的疑问与困难进行分析。比如，在“分類统计”中，可以分析“学习了逐个记录（数一数）的方法，为什么还要学习分类记录的方法？”我们知道，数一数是一种最直接的统计方法，但是容量大、数据多、动态化的信息，用数一数的方法就难以解决。从这个意义上说，分类记录是最具生长性的方法。当然，在分类记录的过程中，为了保证统计的信息不重复也不遗漏，需要采用逐个记录的方法。教学中，既要弄清两者的区别，又要沟通两者的联系。再比如，在“统计班级同学的生日月份”时，学生一般很容易想到通过分类数数，即让生日在不同月份的同学分别站队，再分别数出对应的人数，而且这样也很快。但是，在这里需要追问一个问题“为什么需要分组调查呢？”从这个角度看，我们可以将这个问题放置于更大的背景中：“如果要统计全校同学生日在不同月份的人数，站队数数还合适吗？我们应该怎么办？”引导学生想到可以先分组、再汇总的方法，然后回到前面提出的问题中，体验调查的必要性。

综上所述，我们有必要科学界定起点型核心知识的概念，准确把握起点型核心知识的遴选与判断标准，深入分析其内涵、外延与价值，优化其探究、建构、完善和应用，从而让学生深度卷入学习过程，在获得核心知识的同时发展学习数学的关键能力，完善学习数学的必备品格。

参考文献：

[1]  魏光明，王俊亮. 小学数学“起点型核心知识”教学初探[J]. 江苏教育研究，2018（4A）

[2]  魏光明. 走近数学“核心知识”教学[J]. 江苏教育，2011（01）.