对一道最值题的变式与推广

摘要：本文以一道旧教材上的求解函数最值题为例，对其解法进行深入的剖析，并挖掘其变式与推广，最大程度地提高课堂教学效率，力求达到有效教学，并在整个解题过程中，培养学生的创新精神与举一反三的能力，在反思中达到师生的共同进步.

关键词：最值;变式;推广;斜率

这是旧教材上的一道习题，但它蕴藏的数学思想方法却依然焕发着年轻的活力！笔者认为此题是培养学生创新精神和激发学生探究热情的一道不可多得的靓题，它的作用与目前新高考的理念是相当吻合的.

1 题目呈现

说明（1）其它的解法留给读者自己玩味;

（2）在④式中提取公因式3/5的目的是使sinθ，cosθ的系数都化为1，这样才能得到上述直线与圆相交和相切;

（3）本题的两种解法都运用了斜率公式，前者利用直线与椭圆相交和相切，后者利用直线与圆相交和相切，但是前者的运算量较大，后者的运算量较小.

原题及变式的本质分析 这类题与教材中的线性规划问题本质是相同的，只不过我们通常说的线性规划问题，可行域是一个平面区域，而这里可行域是一个图形，如圆、椭圆、线段等.线性规划中经常利用几何意义（如直线的斜率）求一些非线性目标函数（具备斜率公式的结构特征）的最值问题，这里也完全相同.

4 结束语

在解题教学中，有些教师一堂课能讲很多题目，有些题目点到为止，其“含金量”难以达标.因为学生缺少了各种体验的机会，没有了比较分析的切实经历，一旦遇到了不同的问题，难以作出合理的选择.教师、学生都花费了时间，却没得到相应的效果，事倍功半.所以，草草讲10道题，不如讲透1道题解题教学要讲究质量，“题不在多，經典就行”，一道题讲完后多些反思，让学生解一题，会一类，通一片.同时，通过习题的解答进一步吃透课本上的概念.长此以往，教师才能不断优化教学，促进专业成长，提升专业素养，学生才能学到真正的数学[1].

参考文献：

[1]陈晓明.一道呈现“水下部分”的试题[J].中国数学教育，2017（12）：59 -62.