素养立意视角下的高中数学试题命制

陈小波

摘要：高考命题以素养立意，以知识为载体考查学生的数学素养.高质量的试题具有较强的导向性、科学性、创新性，可以提高学生解决问题的能力、发展学生数学核心素养.

关键词：素养立意;高中数学;试题命制

笔者长期参与高三数学模拟试题的命题工作，一直遵循“命题构思试题命制答题分析命题反思”等基本流程.在命制的2019届高三上学期期末试题中，第16题是一道高质量的创新题，命题过程令人记忆犹新，收获颇丰.本文以此题的命题过程为例，谈谈素养立意视角下试题命制的基本思路.

1 命题构思

1.1 明确要求

第16题考查内容为解三角形，涉及三角形的边长与角度关系，正、余弦定理的应用，承担填空题压轴题功能，命题设问最好是含有参数、与面积有关的最值问题，难度为中档偏难.

1.2命题立意 《普通高中数学课程标准》背景下的高考命题基于素养立意，高考题的设问方式有简单的陈述，也有程序性的呈现，更多的时候是考查策略性知识的设问情景，考查学生在情景中运用“数学思想方法”解决问题的能力，以及必备知识、关键能力、学科素养和核心价值.基于此，本题设问中不仅要有程序性知识，还要有策略性知识，要求立意新，情景新，设问新.

1.3制定双向细目表 根据命题要求和命题立意，制定如下双向细目表：

2 命题过程

2.1 设计思路

依据命题双向细目表，以简单的三角形为背景可能无法承载命题要求，因此考虑在三角形中增加线段，可以是中线、角平分线、或其它定比分点线段，设计合理参数，构造二元代数式最值问题.

2.2 选材研究

根据设计思路，笔者重点研究了2017年高考数学全国Ⅲ卷第17题，决定以这道题为基础进行创作.

原题 （2017年全国Ⅲ卷第17题）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ √3cosA=0，a=2√7，b =2.

（1）求c;

（2）D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

这道高考题考查面比较广，涉及正、余弦定理、面积公式、定比分点线段等，符合命题对内容的要求.由sinA+ √3cosA=0可得∠A= 120°，易得c=4.随之可以从几何、代数、三角等角度进行分析求解，解题思路很多，解题技巧多样，但是难度不够，思维量少，需要引进参数.

2.3 构造设问

2.3.1 改头换面，搭架构题

隐去边的长度，由学生自主选择参数，考查学生分析问题的能力.由于边长a，b，c未知，条件不够，拟增加条件，但是增加的这个条件既要考查策略性知识，又要考查运用转化化归等数学思想方法解决问题的能力.已知AD的长就是一个创新设计，接下来，设计求△ABC面积的取值范围，就比较自然了.

一稿在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知sinA+ √3cosA=0，D是BC边上的点，且AD⊥AC，若AD=1，则△ABC面积的最小值为____.

考查了正、余弦定理、面积公式，涉及均值不等式、函数思想、方程思想等.条件“sinA+ √3cosA=0”，考查了三角恒等式的變形和公式的灵活运用等程序性知识;条件“AD⊥AC”和“AD =1”都是策略性知识情景，需要较强的迁移分析、转化化归、综合应用等思维能力.设计的目标“求△ABC面积的最小值”，需要建构条件与目标间的联系，寻找解题思路，考查学生“数学建模、逻辑推理”的数学素养.此时，一稿已经非常接近命题要求了，但考虑到运算的时间成本，决定以陈述的方式已知∠BAC= 120°.

二稿在△ABC中，角.A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知∠BAC= 120°，D是BC边上的点，且ADIAC，若AD =1，则△ABC面积的最小值为____. 这样一来，题目条件的设计清爽.进一步研究发现，条件AD⊥AC的作用就是将∠BAC分解为30°和90°的两个特殊角，三个三角形中都有一个特殊角，妙！命题人的心情是愉悦的，与学生的精神对话就此开始.命题人相信学生容易找到解题思路，运算也应该不那么难了.

实际上，本题关键是构造关于b和c的等量关系2b+c=√3bc，这是很常见的一个关系式，可以衍生很多不等式结论，比如，求2b +c的最小值，也可以求b'c的最小值，这时候，三稿和四稿应运而生.

三稿在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，6，c，∠BAC= 120°，D是BC边上的点，且AD⊥AC，若AD =1，则2b +c的最小值为____.

四稿在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，∠BAC= 120°，D是BC边上的点，且AD⊥AC，若AD =1，则b.c的最小值为____.

鉴于条件AD上AC的作用就是将三角形分解为有特殊角的两个小三角形，那么，变换条件“∠BAC=120°”为“∠BAC=150°”，其他条件不变，创作了五稿，变换条件“AD IAC”为“AD为角平分线”，其他条件不变，创作了六稿和七稿：

五稿在AABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠BAC= 150°，D是BC边上的点，且AD⊥AC，若AD =1，则△ABC面积的最小值为____.

六稿在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠BAC= 120°，∠BAC的平分线交BC于点D，且AD =1，则2b +c的最小值为____.

七稿在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠BAC= 120°，∠BAC的平分线交BC于点D，且AD =1，则△ABC面积的最小值为____.

其实，在以上七稿中任取其一就可以完成命题任务了，但由于命题过程中惊喜不断，任何一位命题人都会尝试进一步挖掘、研究和完善，对于三稿和六稿的解答，学生有可能走捷径估算，直接在条件2b=c=2√2下求得2b +c的最小值，答案刚好是正确的，那么作为填空题似有不妥，至少不够完美，只需要调整式子2b +c中的系数2，就可以避免这个问题但是，很凑巧，三稿和六稿与2018年高考数学江苏卷第13题非常相似，都与角平分线有关，解题方法也完全一样，这样一来，就不能直接作为考题了.综合分析，决定弃用三稿至七稿.

2.3.2 逆命题法，整合创新

对于一稿和二稿，对换条件和结论，有意想不到的收获.

八稿在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，∠BAC= 120°，D是BC边上的点，且AD ⊥AC，当AABC的面积最小时，AD=____.

此时，至少从试题表面上与原题相差甚远了，增强了创新性和应用性，简直就是一道完美的原创题.

计算过程中发现求AD的运算量过大，如图1，需继续打磨.

再次调整之后，第九稿诞生.

九稿 在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，∠BAC= 120°，D是BC边上的点，且AD⊥AC，已知△ABC的面积为√3，当AD取得最大值时，BC=____.

3 答題分析

实际测试效果非常好，是一次设计策略性知识为背景的成功案例，也是一道考查数学素养的好题，学生答题思路较宽，解决方法多样，学生的答题方法有以下几种.

3.1 几何法

3.1.1 利用面积分割

4 命题反思

4.1 立意很好，难度偏大

高考命题从知识立意，到能力立意，再到素养立意，是实现发展学生核心素养、培养新时代人才的要求，体现了命题的育人功能.此题是以素养立意命题的典型代表，考查“思想方法”的运用.从实际测试结果的得分情况分析，此题实际难度为0.2，比预设难度稍微大了些.原因是高三上学期学生的能力水平和数学素养还没有进入最佳状态，使用二稿可能是最合适的，到高三下学期模拟考试的时候再使用九稿.

4.2 深度研究，开发新题

在命题过程中致力于追求原创性，但是由于各种原因，大部分试题是来源于经典题改编、多题融合，只能通过编题、改题、变题来实现命制创新题的目的.高考题具有导向性、科学性、创新性，特别是中高难度的高考试题的题设条件具有很强的策略性，考查学生分析问题和解决问题的能力，对思维能力和数学素养的要求高.所以，深度研究高考题，在此基础上可以开发出更多的好题、新题和创新题实际上，在本题的命制过程中，结合高考题，文中的一稿至九稿还可以衍生很多新题、好题

4.3 反思命题，提升能力

命题是一项严肃的工作，每一道好题都是命题人、学生、教师与数学之间的一次精神交流.命题难，命原创题更难，每次命题都要经过“命题要求——命题过程——答题分析——命题反思”的基本流程，再经历编题、打磨、修改、完善、反思等程序.最后，还要合理利用考试后的反馈数据，研究答题情况，有助于进一步提升命题能力.

作为一名教研员或者一线教师，命题工作是自己的常规工作之一，也=是体现教师业务水平的重要工作之一.高质量的试题能指引教学、提升解题能力，更重要的是可以促进深度学习、发展教师的数学素养，提高学生的解题能力，实现发展学生核心素养的育人目标.

参考文献：

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