浅谈义务教育阶段学生数学建模能力的培养途径

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(山东省莒南县板泉镇庞疃小学)

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。这为当前加强数学建模教学教育带来了机遇与挑战。

一、义务教育阶段加强学生数学建模能力培养的重要性

数学建模是一种创造性活动，也是一种解决现实问题的量化手段。数学建模和传统数学相比较，数学建模弥补了传统数学的不足，在培养学生的创新能力方面发挥着巨大的作用。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力。但从教学的反馈信息看，初中生对应用题普遍感到害怕，在应用题中的得分率远低于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。特别是文字较多、背景复杂的应用题更是束手无策。模型思想的建立能够为学生解决这一问题。通过建立和求解模型，能够引导学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

二、义务教育阶段数学模型的建立过程

数学模型方法的操作程序大致可以归纳为五步法，具体为：分析问题、选择建模方法、推导模型的数学表达式、求解模型和回答问题。教学中要根据课程内容，科学设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。

由此，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理。这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断地引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，达到运用数学模型来解决实际问题，使建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。

在教学中还要结合专题讨论与建模法研究。我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”“图解法建模”“直(曲)线拟合法建模”，通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法甚至可以引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，使学生拓宽视野，增长知识，积累经验。

三、义务教育阶段数学模型建立的途径探索

(一)低起点，树信心

为了克服学生对应用题的惧怕心理，教师要根据学生实际，降低起步难度，例题分析清楚，讲解仔细，分步到位。对较难的应用题，要设置过渡性问题，让学生分层递进。例如：

在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？

说明：这个问题与例32是相同的。事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段，讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对于模型的理解。

利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例32中的表移过来并用字母代替：

这样，合题意的方程为4a+3(16-a)=60，可以通过尝试的方法，解得a=12，也可以解方程求解。

对于二元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。

从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。学生思考并解决以上问题后，就不难选择合适的模型来解决这个实际问题了。

(二)丰富生活知识，增强建模意识

数学来源于生活服务于生活，数学建模问题往往不是单纯的数学问题，它涉及到其它学科知识及生活知识。所以教师要查阅资料、收集信息，千方百计拓宽自己的知识面，同时鼓励学生多接触社会，丰富自己的生活阅历，为正确建立数学模型，奠定必要的基础。为了培养学生对解应用题的兴趣，教师要根据学生已有知识改编书上例题背景，尽可能设置与学生息息相关的生活背景，捕捉社会热点问题让学生去解决问题，使学生感受到数学无处不在，生活中离不开数学，从而增强学生的建模意识。

(三)注重模型归类，提高建模能力

初中阶段常用的数学模型有方程和不等式模型、函数模型、几何模型、三角形模型等。教师要注重模型的归类，特别是学业考试复习，更应根据不同模型进行分类复习。使学生能根据某种规律建立变量和参数间的一个明确数学关系，正确运用方程思想、函数思想，解决不同的实际问题。在同一个生活背景下，让学生灵活应用方程、不等式、函数等来解决不同的实际问题，使学生体会到数学的应用价值，并提高学生数学建模的能力。

例题：某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。

说明：这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。

可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。

总之，建立数学模型的过程，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。义务教育阶段数学课程的设计，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。