纤维混凝土的损伤力学模型及抗拉性能研究

何 吉，叶 开，曹 果，徐小雪，章嘉伟

(武汉大学水利水电学院，武汉 430072)

0 引 言

混凝土作为一种脆性材料，较低的抗拉强度和抗裂性能是其固有缺陷。当混凝土开裂之后，不仅强度大幅降低，而且防渗能力显著减弱。这对于大坝等水工建筑物的影响尤为严重。纤维是一种高弹模、高延展性、高抗拉强度的材料，按材料属性可分为金属纤维、无机纤维、有机纤维等。研究表明，在拌和过程中掺入适量的纤维之后，混凝土断裂处的纤维能够提供与混凝土受力方向相反的黏结阻力和摩擦阻力，使混凝土的破坏过程需要消耗更多能量，因此能够提高混凝土的抗拉强度、抗裂性能、韧性以及延性[1,2]。然而，纤维混凝土作为一种新型材料，对其力学性能的研究尚未成熟，纤维掺量、纤维刚度和砂浆强度等因素的相互影响以及最优组合尚未形成统一的结论[3]，因此制约了纤维混凝土在工程领域的推广应用。

目前纤维混凝土的研究方法主要分为物理试验和数值试验两种。物理试验方法具有周期长、成本高、可重复性差、结果离散性大等缺点。由于上述缺陷，一种以数值模拟为主，结合少量物理试验加以验证的方法成为目前研究纤维混凝土力学性能的重要手段，即数值试验。数值试验中采用的数值方法又主要分为离散模拟方法[4]、等效模拟方法[5]和半离散模拟方法[6]。

等效模拟方法的优点是无需对数量庞大且尺寸较小的纤维和纤维/砂浆界面进行网格划分，仅需调整砂浆的力学参数来近似的反映纤维对混凝土的增强作用，因此前处理工作量显著降低，但是存在以下缺点：①由于该简化的实质是假定纤维均匀的分布于混凝土中，因此与材料分布的真实状况存在较大差异，可能导致数值模拟中破裂面的位置与实际不符；②由于没有模拟纤维/砂浆界面，因此忽略了纤维混凝土原本存在的薄弱面，可能导致强度结果误差较大；③混凝土破坏时纤维被拔出或被拔断所引起的应力-应变波动无法通过等效模拟方法体现。

离散模拟方法将纤维混凝土看作纤维、砂浆、骨料、纤维/砂浆界面、骨料/砂浆界面五部分组成，并且分别进行网格划分。该方法保持了材料分布的真实状况，因此与等效模拟方法相比精度较高，但是存在如下缺点：①由于纤维数量众多，以150 mm×150 mm×150 mm纤维混凝土试件为例，纤维数量可以达到一万余条，因此前处理工作量极大；②由于纤维及纤维/砂浆界面的尺寸较小，因此网格划分极为困难。

半离散模拟方法以一组沿纤维长度方向的分布力或者以一对作用于纤维端部的集中力，近似模拟纤维对混凝土的增强作用[6]。该方法由于避免了离散模拟方法中对纤维和纤维/砂浆界面的网格划分，因此显著提高了建模效率，同时由于每对集中力或每组分布力的位置与每根纤维的真实位置保持对应，从而避免了等效模拟方法中对纤维均匀化分布的简化，因此兼顾了数值模拟的精度，实现了精度和效率的平衡。基于上述优点，半离散模拟方法克服了纤维在几何模拟上的困难，但是在力学模型方面仍显不足，目前主要采用解析公式[7]或拟合公式[8]来实现。当采用解析公式时，首先需要假定在纤维/砂浆界面处的滑移状态，但现实中这是一个动态变化的过程，从不滑移、局部滑移到完全滑移，不同的滑移状态决定了分布力不同的分布形式，目前仅使用解析公式仍然难以反应这一变化过程。当采用拟合公式时，首先需要基于物理试验的结果，拟合集中力与纤维端部位移之间的关系，这虽然避免了对于滑移状态的假定，但是拟合结果仅具有数学意义，难以说明公式及参数的物理意义，也难以说明纤维及界面的物理状态，此外拟合公式的使用也制约了纤维与砂浆两者力学模型的统一。上述问题不利于半离散模拟方法的理论推广以及在复杂力学特性研究中的应用。这是目前大多学者仍然坚持使用离散模拟方法或等效模拟方法的重要原因之一。

损伤力学模型的理论简单，易于应用，且能较好的反映混凝土的破坏过程及细观机理，目前已被广泛应用于混凝土力学特性的研究中。本文将借鉴混凝土的多线性损伤理论，构建纤维强弱黏结损伤力学模型，并与混凝土损伤力学模型相结合，实现纤维混凝土损伤力学模型的统一，从而改进现有的半离散模拟方法；通过数值试验与物理试验的对比，验证纤维混凝土损伤力学模型的合理性；基于上述模型，研究纤维掺量、纤维初始刚度、砂浆强度对纤维混凝土抗拉强度、阻裂性能及韧性的影响。

1 基本理论

1.1 混凝土细观数值模型

本文采用混凝土细观数值模型，模拟除纤维以外的混凝土细观结构。该模型首先基于级配曲线，采用蒙特卡洛方法，生成多边形骨料的随机分布，然后建立混凝土几何模型，再采用有限单元法对砂浆、骨料以及两者界面进行网格划分，最终建立混凝土细观数值模型。

砂浆/骨料界面作为混凝土的薄弱部位，与砂浆、骨料相比具有更低的弹性模量和抗拉强度，对混凝土的宏观力学性能起着决定性作用。混凝土细观数值模型的重点和难点是界面单元的厚度选取以及生成方法。Barnes[9]提出混凝土的界面厚度为10～50 μm；Xiao等人[10]采用纳米压痕技术测出混凝土界面的厚度为50 μm，界面的弹性模量为砂浆弹性模量的80%～85%。本文选取50 μm作为界面单元的厚度，选取砂浆弹性模量的80%作为界面的弹模，同时采用李庆斌等[11]提出的骨料延伸方法，将界面视为覆盖在骨料边界上具有一定厚度的实体单元[图1(a)]，采用四边形和少量三角形单元对骨料、砂浆以及两者界面进行网格划分[图1(b)]，形成二维混凝土细观数值模型。

图1 混凝土细观数值模型Fig.1 Mesoscopic concrete numerical model

1.2 纤维半离散模拟方法

本文所使用的半离散模拟方法中，采用一对集中力近似模拟每根纤维对混凝土的增强作用，同时对该集中力的定义如下：集中力成对作用于纤维端部，如图2(a)所示；集中力的方向与纤维端部相对位移的方向相反；集中力的量值与纤维端部相对位移的大小相关，相关关系由纤维损伤力学模型确定；为了避免出现应力集中，可将集中力平均作用于附近节点，但合力大小不变，如图2(b)所示。

图2 单丝拉拔试验的数值模型Fig.2 Numerical model of pull-out test

1.3 纤维混凝土损伤力学模型

1.3.1 混凝土损伤力学模型

混凝土受力变形时内部微裂纹不断萌生、扩展、汇聚，其宏观力学性能不断劣化，这种演变过程可视为损伤过程。本文采用多线性弹性损伤模型[12]来描述混凝土中砂浆、砂浆/骨料界面的损伤过程。损伤前后的割线弹模如式(1)所示，损伤变量服从式(2)。单轴加卸载条件下应力-应变规律如图3所示，图中ft表示峰值抗拉强度，ftr表示残余抗拉强度，两者满足ftr=λft(λ为残余强度系数)。由于骨料强度较高，同时为了简化计算，因此假定骨料始终为弹性，不发生损伤。当砂浆、砂浆/骨料界面达到极限应变εu时即认为破坏，同时删除该处单元。

E=(1-d)E0

(1)

式中：E0为初始弹性模量；E为损伤后的割线模量；d为损伤变量且0≤d≤1。

图3 砂浆及砂浆/骨料界面的损伤模型[12]Fig.3 Damage model of mortar and mortar/aggregate interface

(2)

式中：ε0为峰值应变；εr为残余应变，εr=ηε0；η为残余应变系数，取值范围一般为1<η≤5；εu为极限应变，εu=ξε0；ξ为极限应变系数；εmax为加载历史上拉应变的最大值；非单向加载条件下可以采用下式表示：

(3)

1.3.2 纤维损伤力学模型

纤维作为柔性材料，其抗剪性能和抗压性能相对于抗拉性能而言可以忽略，并且沿纤维轴向为增强方向。上述特性得到了物理试验的验证：王成[13]采用电磁控制钢纤维在砂浆试件中的排列方向，分别研究了纤维增强方向和非纤维增强方向的强度特性(劈拉强度和抗弯强度)，试验表明当纤维掺量增加时，纤维增强方向上的试件强度显著增加，而非纤维增强方向上的试件强度变化较小；任慧韬[14]和赵树青[15]验证了纤维对混凝土的增强作用取决于纤维与砂浆之间沿纤维轴向的黏结作用，黏结作用越大，纤维对混凝土的增强作用越显著。

纤维混凝土中纤维的破坏模式分为两种：当弱黏结时，最终纤维被拔出，即界面破坏；当强黏结时，最终纤维被拔断，即纤维自身破坏。

通过借鉴混凝土的多线性损伤力学理论，本文将半离散模拟方法中纤维等效集中力与纤维端部相对位移之间的相关关系定义为纤维损伤力学模型，如式(4)所示。需要特别指出的是，该相对位移仅考虑沿纤维轴向的位移分量。纤维在损伤前后的割线刚度如式(5)所示。弱黏结时，荷载-位移曲线如图4(a)所示，损伤变量服从式(6)；强黏结时，荷载-位移曲线如图4(b)所示，损伤变量服从式(7)。

F=Ku

(4)

K=(1-D)K0

(5)

式中：u为纤维端部的相对位移；F为集中力；K为损伤后的割线刚度；K0为初始刚度；D为损伤变量(0≤D≤1)。

(6)

(7)

式中：u1、u2、u3为各阶段纤维端部的相对位移；相应的集中力为F1、F2、F3；umax为加载历史上纤维端部相对位移的最大值；F1=K0u1，λ1=F2/F1,λ2=F3/F1,η1=u2/u1,η2=u3/u1。

图4 纤维损伤力学模型Fig.4 Damage mechanics model of fibers

图5 纤维随机投放流程Fig.5 Random generation process of fibers

1.4 纤维的随机投放

采用蒙特卡洛方法，将纤维随机投放于混凝土试件中，确定集中力作用的位置及方向。假定纤维的长度一致，中心位置及倾斜角度均服从均匀分布。由于篇幅所限，纤维随机投放算法不在此处详述，具体可参照文献[16]，流程图如图5 所示。纤维的损伤力学参数同样可以假定为随机分布，比如服从Weibull分布，但是由于随机参数的标定较为困难，本文并未考虑该随机性。

2 模型及参数验证

2.1 单骨料混凝土单轴拉伸试验

Corr等人[17]进行了基于单骨料混凝土试件的单轴拉伸物理试验，试件尺寸为75 mm×75 mm，骨料尺寸为38 mm×25 mm，骨料位于试件中心位置，试件中未掺纤维，试验结果如图6中虚线所示。根据该试验，建立相应的有限元模型，但是为了减少计算量，基于结构的对称性，模型仅考虑半个试件[图7(a)]。计算中采用等位移增量加载，步长4×10-5mm，材料参数如表1所示。

数值试验中，破坏始于骨料/砂浆界面，随后沿界面逐渐扩展，最终形成一条贯通试件的水平裂缝如图7(b)所示，相应的

图6 单骨料混凝土单轴拉伸试验的应力-应变曲线Fig.6 Stress-strain curve of uniaxial tensile test for single aggregate concrete

图7 单骨料混凝土数值模型Fig.7 Numerical model of single aggregate concrete

材料ε0η1η2λE0/GPa砂浆0.000 0940.34025界面0.000 0820.31020骨料----60

应力-应变曲线如图6中实线所示。通过数值试验与物理试验的结果比较(图6)，整体上两者较为一致，特征值误差如表2所示，最大误差为5.76%，误差较小，因此可以认为本文采用的混凝土细观数值模型切实可行，并且所选参数较为合理。

表2 单骨料混凝土单轴拉伸试验的结果比较Tab.2 Comparison of results for uniaxial tensile test of single aggregate concrete

2.2 单丝拉拔试验

薛兵等[4]进行了基于砂浆试件的单丝拉拔物理试验，得到了纤维拔出的全过程荷载-位移关系曲线，该曲线如图8中虚线所示。根据该试验，建立相应的有限元模型，如图2(a)所示。为了避免出现应力集中，将集中力平均作用于附近6个节点，如图2(b)所示。计算中采用等位移增量加载，步长8.3×10-3mm，砂浆的力学参数如表1所示，纤维的力学参数如表3所示，试验中不涉及骨料、砂浆/骨料界面。

表3 纤维力学参数Tab.3 Mechanical parameters of fibers

数值试验得到的荷载-位移曲线如图8中实线所示，通过比较数值试验与物理试验的荷载-位移曲线(图8)，可以发现两者较为一致，特征点误差如表4所示，最大误差为4.59%，误差较小，因此可以认为本文构建的纤维混凝土损伤力学模型切实可行，所选纤维参数较为合理。

图8 单丝拉拔试验的荷载-位移曲线Fig.8 Load-displacement curve of single fiber pull-out test

比较B点峰值位移/mm峰值荷载/ND点峰值位移/mm峰值荷载/N物理试验0.300 083.300 015.000 015.000 0数值试验0.296 482.311 814.998 014.311 0误差/%1.201.190.014.59

3 纤维混凝土抗拉性能研究

基于级配曲线以及骨料随机投放算法，建立尺寸为100 mm×200 mm的混凝土试件细观数值模型，如图9(a)所示。基于纤维随机投放算法[16]，得到纤维的随机分布如图9(b)所示。下文将据此进行一系列单轴拉伸数值试验，研究不同纤维掺量、纤维初始刚度、砂浆强度对混凝土抗拉强度、阻裂性能及韧性的影响。计算中将采用等位移增量加载，步长为4×10-5mm，边界条件如图9(a)所示，砂浆、骨料、砂浆/骨料界面及纤维的力学参数如表1、表3所示。

图9 混凝土数值模型Fig.9 Numerical model of concrete

3.1 纤维掺量的影响

取纤维体积掺量为0%、1%、2%、3%，分别进行数值试验，得到的应力-应变曲线如图10所示，特征点量值如表5所示。可以发现，掺入纤维之后试件的峰值强度、峰值应变、残余强度、极限应变均有不同程度的增加，其中峰值应变和峰值强度的增幅较小，残余强度和极限应变的增幅较为明显，极限应变增量达到269.80%。

图10 纤维掺量的影响(vf为体积掺量)Fig.10 Effects of fiber content (vf is the volume content)

抗拉性能纤维掺量(体积百分比)0%1%2%3%峰值强度/MPa1.0111.0161.0211.027峰值应变3.45×10-53.47×10-53.48×10-53.50×10-5残余强度/MPa0.0220.0430.0490.080极限应变9.43×10-512.00×10-515.00×10-517.20×10-5断裂能/(N·m-1)0.961.322.473.55特征长度/mm27.9638.0670.53100.18

为了进一步研究纤维的增强作用，引入断裂能和特征长度两个指标。断裂能可以表征混凝土的抗裂性能，表示混凝土形成单位面积裂缝所消耗的能量。计算断裂能时，首先绘制应力-裂缝宽度曲线，然后计算该曲线以下面积与试件横截面面积的比值，计算公式如式(8)所示[18]。断裂能越大，表示混凝土破坏时所消耗的能量越大，纤维的阻裂性能越显著。特征长度可以表征混凝土的韧性，计算公式如式(9)所示[18]。特征长度越小，混凝土韧性越小。通过比较掺入纤维前后断裂能和特征长度的变化(表5)，可以发现两者均有明显增加，说明纤维的阻裂效果明显，同时说明纤维能够显著提高混凝土的韧性，这与Banthia[19]的物理试验规律一致。此外，通过比较纤维掺量为0%和3%的数值试验结果可以发现，纤维对延性的提高作用(82.4%)远大于对强度的增大作用(1.6%)，这也与李光伟等人[20]的物理试验规律一致。

(8)

式中：GF为断裂能；Wf为裂缝最大宽度；σ(w)为裂缝宽度为w时对应的应力。

(9)

式中：Lch为混凝土的特征长度；E0为混凝土的初始弹性模量；ft为混凝土的抗拉强度。

3.2 纤维初始刚度的影响

保持纤维掺量恒为2%，取纤维初始刚度K0为不掺纤维、掺纤维(K0=138.88 N/mm)、掺纤维(K0=277.76 N/mm)，分别进行数值试验。试验得到的应力-应变曲线如图11所示，特征点量值如表6所示。从中可以发现，随着纤维初始刚度的增加，混凝土试件的峰值强度、峰值应变、残余强度、极限应变、断裂能和特征长度均有不同程度的提高，其中峰值应变和峰值强度的增幅较小，残余强度和极限应变、断裂能、特征长度的增加较为明显，断裂能的增量达到157.3%，说明混凝土的抗拉强度、阻裂性能以及韧性随着纤维强度的增加均有不同程度的提高，这与Banthia[19]的物理试验规律一致。

图11 纤维初始刚度的影响Fig.11 Effects of fiber initial stiffness

3.3 砂浆强度的影响

保持纤维掺量为2%、纤维初始刚度为277.76 N/mm,将砂浆的峰值强度取为1.800、2.025、2.250、2.475、2.700 MPa，分别进行数值试验。试验得到的应力-应变曲线如图12所示，特征点量值如表7所示。从中可以发现，随着砂浆强度的增加，混凝土试件的峰值强度、峰值应变均持续增大，但是极限应变、断裂能、特征长度表现为先上升后下降。说明随着砂浆强度的增大，混凝土抗拉强度随之提高，但是混凝土的阻裂性能和韧性则先增大后减小，这与Meng[21]的物理试验规律一致。

表6 纤维初始刚度的影响Tab.6 Effects of fiber initial stiffness

图12 砂浆强度的影响(ft为砂浆峰值强度)Fig.12 Effects of mortar strength (ft is the mortar peak strength)

抗拉性能砂浆峰值强度/MPa1.8002.0252.2502.4752.700峰值强度/MPa0.7410.8761.0211.1771.348峰值应变3.08×10-53.28×10-53.48×10-53.68×10-53.95×10-5残余强度/MPa0.0750.0900.0490.1150.063极限应变7.38×10-58.90×10-515.00×10-57.48×10-55.80×10-5断裂能/(N·m-1)1.001.612.471.510.85特征长度/mm54.2162.4570.5332.4413.92

4 结 语

本文基于损伤理论改进了半离散模拟方法的力学模型，并据此研究了多种因素对纤维混凝土抗拉性能的影响。具体结论如下。

(1)通过借鉴混凝土的多线性损伤理论，构建了纤维强弱黏结损伤力学模型，与混凝土损伤力学模型相结合，实现了纤维混凝土损伤力学模型的统一，从而改进了半离散模拟方法。基于单骨料混凝土单轴拉伸试验和砂浆单丝拉拔试验，通过数值试验与物理实验的结果对比，验证了纤维混凝土损伤力学模型的可行性，并获得了一套合理的损伤力学参数。

(2)通过一系列数值试验，研究了不同纤维掺量、纤维初始刚度、砂浆强度对混凝土抗拉强度、阻裂性能以及韧性的影响。研究表明，当纤维掺量越高或纤维初始刚度越大时，纤维混凝土的抗拉强度越高 ，并且阻裂性能和韧性越好；当砂浆强度越大时，纤维混凝土的抗拉强度越高，但是韧性与阻裂性能则先增大后降低。上述规律与已有的物理试验结论一致，表明本文构建的纤维混凝土损伤力学模型以及据此改进的半离散模拟方法可以应用于纤维混凝土复杂力学特性的研究中。

(3)目前仅进行了二维分析，也没有考虑同一试件中纤维力学性能的随机差异(比如随机存在强黏结和弱黏结等)，上述内容将在下一步研究中实现，并将据此开展对纤维混凝土力学特性进一步的深入研究。