闸孔自由出流流量系数公式的改进与应用----以槐店闸为例

秦晨光，毛豪林，王继华，窦 明

(1.郑州大学水利与环境学院，郑州 450001；2.河南省郑州水文水资源勘测局，郑州 450000；3．河南省地质环境监测院，郑州 450000)

0 引 言

近年来，随着经济社会的发展需要，闸坝工程在防洪、发电、灌溉、水运等方面发挥了越来越重要的作用。然而，闸坝建设人为改变了河流天然径流过程，其实际流量、水位均发生了显著变化。对于大多数中低水头闸坝，泄流的特点是水头不大，水力因素变化范围大，闸门开启调度过程中，能形成由急流到缓流的多变流态，对下游河床的冲刷防护不利，如若闸门运行时由于操作或人为因素形成多孔大开度时，将会对下游河床造成更剧烈的冲刷[1]。如果闸门泄流调度合理，就能减少消能防冲问题。因此，选择一个合适的过闸流量计算公式、加强对闸坝工程的科学调度，不仅能有效减少洪灾和旱灾造成的损失，还能改善水环境、修复生态系统，对于调度工作的开展具有重要指导意义。许多学者针对闸孔出流做了很多相关的研究， 比如通过分析自由出流和淹没出流两种情况下的过闸水流流动特征，使用不同的方法预测流量系数，通过两种模型的建立，提出相应的流量系数方程或者改进方程(I P Martynov[2])。在这一领域中，Henry[3]作为开创者，在对正常水闸出流特性进行研究后，在自由和淹没流动条件下给出了相应的流量系数图和系数公式，他的这项研究被后来的Rajaratnam 和 Subramanya[4]所证实，并在Henry研究的基础上，提出了新的流量系数公式。随着对流量系数研究的增多，越来越多的学者开始考虑其他因素对出流计算的影响，Prabhata K. Swamee[5]认为闸门流量系数是一个涉及几何和水力参数的函数。通过数学计算获得了高精度的淹没和自由出流的流量系数方程，并给出了适用条件。A. Hussain[6]在对灌溉渠道圆孔出流进行研究时，将圆孔直径和流体重力和惯性力考虑在内，提出了含有弗鲁德数和圆孔尺寸的流量系数方程。Masoud Ghodsian[7]在对侧闸门进行研究时，也得出了相似的结论，认为在亚临界水流时弗鲁德数会对流量系数产生一定影响。除了重力，流体的黏性力和表面张力也会对出流造成影响，A. Roth[8]通过实验证实了这一点，并将雷诺数考虑到公式中，应用最广泛的方法是回归分析(邱静[9]，叶云涛[10]，向华琦[11])，获得较高精度公式的同时，又能解决一些实际问题。

1 研究方法

1.1 传统流量系数经验公式介绍

近年来，国外学者多侧重于对收缩系数和淹没系数的研究，但也不乏一些关于流量系数的研究。比如I. P. Martynov[2]在对溢洪道平板闸门出流进行研究时，将相对闸门开度作为自变量，得到流量系数关系式。对于闸孔出流流量系数的研究，国内外学者总结出了很多经验公式，如表1所示。

表1 过闸流量系数公式总结

表示形式上，中国学者习惯把流量系数、闸门开度、闸前水头分别用μ，e,和H0表示，欧美学者则用Cd，w和y0表示。在自变量的选取上，最为普遍的是寻找闸门相对开度和流量系数之间的函数关系。其中，闸门实际开度和闸前水头是影响流量系数模拟精度的重要因素。

当为平板闸门时，一般认为e/H≤0.65时为闸孔出流，e/H≥0.65时为堰流。闸孔出流计算公式为：

式中：μ为流量系数；b为闸孔宽度；e为闸门开度；H0为闸前水深。

在表1提到的过闸流量系数公式中，有复合函数、幂函数、指数函数、一次函数、三次多项式5种形式，考虑到所研究对象为平原水闸，过流情况较为简单，拟采用对数函数替换复合函数进行研究，五种公式的通用表达式如表2。

表2 5种公式通用表达式

1.2 过闸流量公式改进思路

针对以上提出的五种过闸流量计算公式，采用最小二乘法来率定各个公式的参数，并采用最大绝对误差、相对误差、变差系数3个指标分析各个公式的精度。再对5种公式计算结果进行验证时，采用相关系数(r)、相对误差(re)、纳西效率指数(NSEC)三个指标来分析各公式计算值的精度。

评判标准[17]如下：①当r≤1和NSEC≤1，re>0.15或<-0.15，模型预测结果较差。②当r=1和NSEC=1，re=0时，模拟效果最佳。③当r>0.6，NSEC>0.5， -0.15

通过对验证期的精度分析，筛选出最适合槐店闸的流量系数公式，继而采用最小二乘法对验证期数据进行回归分析，通过使误差的平方和最小来寻求最佳匹配函数。模型函数确定为y=a+bt，令t=lnx，对数函数模型转化为线性函数的拟合，y=a+bt，令：

求使F(a,b)有最小值的a和b的值。

得到正规方程组：

解得a和b的值，得到改进的流量系数公式。

针对改进前后的对数函数公式的拟合效果，我们进行了对比分析，并结合率定期和验证期的流量系数散点图，发现改进的对数函数只在相对开度区间处于0.08～0.42时精度得以提高，同时当相对开度在0.42～0.60时，流量系数与相对开度更趋于线性关系。综上，决定采用分段函数形式表示流量系数与相对开度的关系。

2 应用研究

本文研究对象槐店闸位于河南省周口市沈丘县槐店镇，主要由浅孔闸、深孔闸、船闸三部分组成，浅孔闸长期保持小流量下泄，深孔闸只在洪水期供泄洪使用，船闸为正常通航使用。浅孔闸的设计流量为3 200 m3/s，水位40.88 m。浅孔闸共18孔，单孔净宽6m，闸身总宽140.7 m，堰顶高程36 m，堰高1 m，安装预应力钢筋混凝土平板门，分上、下扉，配备2×22.5 t启闭机9台，每台起闭2孔。深孔闸5孔，单孔净宽10 m，闸身总宽60 m。正常蓄水量为3 000～3 700 亿m3，最大蓄水量为4 500 亿m3。正常灌溉水位38.50～39.50 m，最高灌溉水位40.00 m。

2.1 传统过闸流量计算方法的验证

通过对槐店闸2005-2012年的实测数据和泄流情况进行分析，此水闸属于曲线型底坎，曲线型坎上的闸孔出流也分自由出流和淹没出流两种情况。在实际应用中，由于下游水位过高而使闸孔形成淹没出流的情况十分少见，在观测数据中也并未发现。因此本文只讨论自由出流情况，选择稳定的浅孔闸出流数据进行试验，所选数据过闸流量与闸门开度随时间变化的关系图见图1。

图1 过闸流量与闸门开度随时间变化关系图

本文从水闸管理所收集了近7年(2005-2012年)的调度资料，包含上下游水位、闸前水头、闸孔水深、闸孔流量和水位、闸门开启度和个数等监测数据，从中选择数据完整连续且前后没有发生较大突变的数据用于实验分析。其中，选择2005-2010年的366组数据用于参数率定，2010-2012年的104组数据用于验证模型。率定期5种拟合结果见图2。

图2 率定期5种方程拟合效果

由图2可知，当闸门相对开度在0.02～0.30之间时，数据较为集中，这和采集数据时水闸常年保持小流量下泄较为吻合，当开度较大时，流量系数和相对开度的线性关系良好。在拟合得到的5种不同形式的关系式中，指数形式的相关性最好，一次函数虽然相关性最低，但在大开度时拟合效果较好。考虑到小开度时流体的黏性力，闸墩的侧向收缩作用，在这一区间数据较多且较集中等因素，误差多集中在这一部分。整体来看，一次函数的最大误差较大，且对小开度拟合效果较差。

选用另外的104组数据对这5种公式进行验证。验证结果如图3所示。

图3 5种公式验证结果

如图4所示，当相对开度在0～0.10之间时，对数函数拟合效果相对较好，幂函数和一次函数误差较大。当相对开度在0.10～0.35之间时，指数函数、对数函数、三阶多项式与实测值较为接近，一次函数和幂函数误差较大。当相对开度大于0.40时，对数函数和一次函数的拟合效果较好。总的来看，误差较大的点多集中在大开度和小开度，大多数点的相对误差则在较小范围内变化。

结合表2给出的5种函数通用表达式，对率定期的数据进行拟合得到指数函数、对数函数、幂函数、三阶多项式、一次函数五种形式的流量系数公式，计算各个公式最大绝对误差、相对误差、变差系数进行对比，如表3所示。

由表3可知，幂函数最大绝对误差为0.92，远高于其余4种公式，其次为对数函数和一次函数，三阶多项式最大误差最小，为0.26。幂函数最大误差较大主要是因为当闸门开度较大时，拟合效果不理想导致。相对误差最大的为幂函数，为0.15，一次函数相对误差为0.15，虽然二者值相等，但拟合效果相差较大，一次函数在相对闸门开度大于0.4时，拟合效果较为理想，当相对开度处于0.01～0.20时，幂函数拟合效果较好。指数函数和对数函数相对误差比较接近，三阶多项式相对误差最小。从变差系数上来看，幂函数变差系数最高，为0.325。拟合效果变化较大，指数函数、对数函数、三阶多项式、一次函数的离散程度较为接近。

表3 率定期5种公式模拟流量系数对比

为了更好的比较5种公式在槐店闸的适用性，对于验证期的数据采用相关系数(r)、相对误差(re)、纳西效率指数(NSEC)分析各公式计算值的精度。

计算结果如表4所示。

表4 5种公式验证结果对比

由表4可知，对数函数的相关系数最大，为0.89，幂函数和指数函数其次，一次函数的相关性最差。就相对误差来说，三阶多项式最大，为0.06，指数函数和对数函数较为接近，分别为0.05、0.04。由图2可知，当相对开度在0.02～0.27之间时，一次函数计算值要高于实测值，其余四种函数均低于实测值，其中，幂函数计算值远低于实测值，当开度逐渐变大，一次函数计算值变化趋势同实测值变化趋势接近，指数函数和对数函数在整个变化区间都较为稳定，从纳西效率系数上来看，对数函数最大，为0.76，指数函数其次，幂函数、一次函数、三阶多项式都未超过0.60。

综上所述，对数函数公式计算过闸流量时误差较小，拟合效果较好，故选取对数函数公式进行改进，以便提高精度。

2.2 改进过闸流量计算公式的拟合效果对比

采用最小二乘法原理，对验证期的数据进行曲线拟合，得到改进的对数函数公式 。

改进公式拟合效果如图4所示。

图4 改进公式拟合效果

由图4可知，当闸门相对开度处于0.01～0.60之间时，改进的对数函数公式在整体上相对误差减小，当e/H在0.42～0.60之间时，闸门相对开度和流量系数呈现良好的线性关系。对所有实测数据中闸门相对开度大于0.42的34组数据进行单独观察，同样发现线性良好。并对其进行拟合，效果图见图5。

图5 大开度数据拟合

由图5可知，除了个别数据点偏差较大外，大多数点的拟合效果都较为理想，当闸门相对开度在0.5左右时有两个点的偏差较大，可能与监测时过闸流量变化较大有关。综上所述，决定采用分段函数形式来表达过闸流量系数公式，公式如下：

此公式考虑了闸门相对开度在0.01～0.60的自由出流区间内的所有出流情况，槐店闸常年保持小流量下泄，当0.01≤e/H≤0.08，由于数据较为集中，率定期的大量数据拟合所得对数函数模拟精度高于改进的对数函数；当0.08≤e/H≤0.42，验证期数据减少，改进的对数函数较少受到小流量数据影响，因而拟合精度较高，在此区间采用改进对数函数；当0.42≤e/H≤0.60，泄流量较大，不容易受到其他因素干扰，此时闸门开度与流量系数的线性关系更加显著，因而采用线性函数表达此区间流量系数关系式。

为了验证上述流量系数公式的模拟精度，从2005-2012年的实际观测数据中随机抽取15组数据，且相邻两组相对开度差值不大，使数据均匀分布。并结合过闸流量计算公式进行计算，结果如表5所示。

表5 分段函数计算值与实测值对比

由表5可知，在所限定的公式适用范围内， 计算值与实测值均较为接近，绝对误差大大减小。当0.01≤e/H≤0.08范围内时，绝对误差平均保持在10 m3/s左右，由于闸门开度较小，实测流量值较小，平均相对误差在17%左右，当0.08≤e/H≤0.60时，绝对误差最大时为35.11 m3/s，相对实测值369 m3/s误差不大，在此范围内，平均相对误差低于10%，证明公式模拟效果良好。

3 结 语

结合淮河流域上槐店闸的实测数据，拟合得到指数函数、对数函数、幂函数、一次函数、三阶多项式5种不同形式的过闸流量计算公式，并探讨了每种公式的精确性，发现对数函数适用性较好。为进一步提高模拟精度，在原有对数函数公式基础上对其改进。对实测数据进行仔细观察发现当相对开度大于0.42时，相对闸门开度与流量系数线性良好，于是对此区间数据进行单独拟合得到一次函数公式，综上采用分段函数形式表达流量系数并代入实测数据对比，平均相对误差降至10%以下，误差减小明显。

上述分段函数在槐店闸上表现出了更好的适应性，提高了模拟结果的精度，对于指导今后的调度工作有一定借鉴作用。但是由于研究对象仅仅基于槐店闸，本文研究所得分段函数公式并不适用于闸底坎为宽顶堰以及远大于槐店闸泄流量的曲顶堰自由出流计算，对于闸门技术参数和水力条件类似于槐店闸的水利工程，此公式具有一定的借鉴和参考价值。