谈一道质检理科压轴试题的命题方法*——直观想象素养下的试题命制

●杨苍洲 ●林京榕

(泉州第五中学，福建 泉州 362000)(尤溪第一中学，福建 三明 365100)

在数学解题中，拥有较高直观想象素养的人，应善于利用图形描述、分析数学问题，善于建立形与数的联系，善于构建数学问题的直观模型．解题如此，命题亦如此！笔者在2019年3月福建省泉州市质检考试的命题中，正是基于直观想象素养，在图像中提出问题，从而命制出试题．

1 从不对称的函数图像得到不等式的一种方法

1．1 中心对称与等式

1．2 图像不对称与不等式

2 命题设想

2．1 最初设想

笔者设想构造一个具有一个拐点、两个极值点的函数，通过研究两个极值点与拐点的某些量的大小关系，从而通过函数图像的不对称得到不等关系，构造出对应的不等式．

2．2 构造函数

图1

3 试题编拟

3．1 在两极值点与拐点间构造不等式

为了上述不等式有确定的大小关系，笔者设定a>1，即x=1是f(x)的极大值点．

1)求实数a的取值范围；

当a≤0时，x-a>0．当01时，f′(x)>0．故x=1是f(x)的极小值点，不满足题意.

当a>0时，由f′(x)=0得x=1或x=a．

①当a=1时，f′(x)≥0，从而f(x)在(0,+∞)上单调递增，不满足题意；

②当01，则f′(x)>0，故x=1是f(x)的极小值点，不满足题意；

③当a>1时，若0a，则f′(x)>0，若1

综上所述，a>1．

(1)

即

亦即

命题过程中，笔者也考虑对第2)小题进行如下变形：

3．2 在两极值点间构造不等式

上述的问题看似繁杂，实则解题思路直接、单一，计算量偏大，思维量偏小.笔者感觉试题并不理想，因此，考虑从图像的其他结构中寻找不等关系进行试题编制．

设定f(x0)=f(1)，我们来考察x0,1与a的关系．下面笔者考虑研究x0,1的几何平均数与a的关系，即研究x0×1与a2的大小．

1)求实数a的取值范围；

2)若f(x0)=f(1)(其中x0≠1)，证明：a

1)解 同试题1的解答，得a>1(过程略)．

2)证明 因为f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减，又f(x0)=f(1)且x0≠1，所以x0>a．又

f(a2)-f(x0)=f(a2)-f(1)=

从而h(a)在(1,+∞)上单调递增．又因为a>1，所以

h(a)>h(1)=0，

即

于是

f(a2)-f(x0)>0，f(a2)>f(x0).

因为x0>a，a2>a，且f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以a

同样地，我们也可设定f(x0)=f(a)，设置问题考察x0,a与1的关系．下面笔者考虑研究x0,a的几何平均数与1的关系，即研究x0×a与1的大小．笔者通过探究发现，这两者的大小关系随着a值的变化而变化，因此考虑逆向设问，即给出x0×a与1的大小关系，反过来求参数a的取值范围．

1)求实数a的取值范围;

解 1)同试题1的解答，得a>1(过程略)．

2)因为f(x)在(1,a)上单调递减，所以f(a)

当a>3时，φ′(a)>0，从而φ(a)单调递增，此时φ(a)>φ(3)>φ(1)=0，h(a)>0，不满足题意;当1

综上所述，1

基于试题的考查功能，结合试题的结构、难度，笔者选用了试题2．

4 结束语

数形结合思想是一种重要的数学思想．在解题过程中，解题者要能主动渗透、应用数形结合的思想．同样地，在命题中，命题者也应该善于借助图像的直观，在图像中发现、寻找“问题”．比如，函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，这就体现了数形结合的特征与方法．因此，在有关函数与导数的试题中，命题者就可以通过函数的图像发现“几何关系”，并翻译成“数量关系”，从而形成试题．

命题原本非易事，苦思冥想难得意．等或不等图中线，化作试题皆成趣！