基于L1，1/2的组稀疏投资选择模型

贺露露 张成毅

摘要：组稀疏投资选择问题是目前金融学领域里十分核心和活躍的课题之一。这一问题的研究和解决需要在一个跨学科的平台上进行，通过应用统计估计、最优化理论、矩阵分析和经济学等学科知识，结合分块矩阵的思想，采用对比、分析、归纳等方法，从而取得了较为丰富的研究成果。本文在Markowitz开创的理性投资者进行资产组合的理论和方法的基础上，基于L1，1/2正则化理论，构建了组稀疏投资选择模型，得出了数值求解这类模型的Half阈值算法。

Abstract： Group sparse investment selection is one of the core and active topics in the field of finance. The research and resolution of this problem needs to be carried out on an interdisciplinary platform through the application of statistical estimation， optimization theory， matrix analysis. Combining with the knowledge of economics and other disciplines， combined with the idea of block matrix， using contrast， analysis， induction and other methods， thus obtaining rich research results. Based on the theory and method of asset portfolio of rational investors pioneered by Markowitz， based on the L1，1/2 regularization theory， this paper constructs a group sparse investment selection model and obtains the Half threshold algorithm for numerically solving such models.

关键词：组稀疏投资选择;Half阈值算法;正则化理论

Key words： group sparse portfolio selection;Half threshold algorithm;regularization theory

中图分类号：O242.1;F830.9                            文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）07-0183-04

0  引言

1952年，Markowitz在《金融杂志》上发表的论文《证券组合选择》[1]奠定了证券组合选择的理论开端，自Markowitz投资组合问世以来，现代投资组合至今已有几十年的发展历程，迄今为止，受到了国外很多学者的关注，并对其进行了大量研究。

在这之后，一些学者将投资组合理论应用在实际金融市场，遇到了很多问题，为了解决投资理论在实际市场中运用的困难，Sharpe在文献中改进并且发展了经典的Markowitz投资选择模型，同时与Mossin和Litner建立了期权定价理论（CAPM）[2][3]，从而使得原来繁琐复杂的计算得到了很好的简化[4][5][6]。2009年，Bodierodie J.， Daubechies I.等人在《PNAS》上首次将L1范数正则化引入Markowitz均值-方差模型中从而减少最优投资组合中非零权重的个数使解达到稀疏化的效果;2009年DeMiguel在《Management Science》[7]上通过在传统均值方差模型（基于样本协方差矩阵）的基础上引入正则化约束，他发现引入L1范数正则化和L2范数正则化约束后，投资组合的权重向量的平方和均小于给定阈值，他还提到L2范数正则化约束包含了等权重的投资组合，能达到减小最优投资组合中特大权重，实现风险分散化的效果。

尽管有学者的研究成果能得到稀疏又相对稳定的投资组合，但也有致命的弱点，主要是股票市场呈现行业性结构化，例若能源方面股市下跌，煤炭股票也会受到影响。而基于最小二乘的投资选择模型没有将投资组合的组结构作为先验信息，局限于组合水平上的稀疏性，导致稳定性较差，样本外性质较差，因而结合分块矩阵思想以及组正则化理论构建稀疏组正则化投资选择模型，进而可以做到兼顾组间和组内的稀疏投资选择模型。

1  L1，1/2正则化问题的阈值理论

我们研究的L1，1/2正则化模型如下：

其中：y∈Rm，A∈Rm×n（m<

1.1 阈值表示理论

1.1.1 概念与符号的表示

对任意的m，n∈[0，1]，我们称Lm，n为Lm，n正则化问题，并且它的解称为Lm，n问题的解（包括局部最优解）。若存在一个实数t*>0，一个阈值函数fd，定义函数如下：

4  结论

本文在Markowitz开创的理性投资者进行资产组合的理论和方法的基础上，基于L1，1/2正则化理论，构建了组稀疏投资选择模型，得出了数值求解这类模型的Half阈值算法。这种算法不仅为求解相应的L1，1/2正则化问题提供了方法而且还为应用到更多的实际问题中奠定了理论基础。但是结合目前大数据时代，组稀疏投资选择模型还需要我们进一步的努力，仍然有许多值得探讨的地方。比如：金融数据一般都会呈现尖峰厚尾的情况，如何构建模型能使得模型更契合实际的金融市场等等，这些都是我们需要我们进一步深入研究的方面。

參考文献：

[1]Markowitz H. Portfolio selection[J].The Journal of Finance， 1952，7（1）：77-91.

[2]Sharpe W.F.. A simple model for portfolio analysis [J]. Management Science，1963，9：277-293.

[3]Sgarpe W.F.. Capital asset prices：a theory of market equilibrium under conditions of risk [J].The Journal of Finance，1964，19：425-442.

[4]Johns L.The valuation of risk assets and the selection of risk investments in stock portfolios and capital budgets [J].Review of Economics and Statistics，1965，47：13-37.

[5]Mossin J，Equilibrium in a capital asset market[J].Econometric，1966，34：768-783.

[6]Mossin J，Optimal multi-period portfolio policies[J].Journal of Business， 1968，41：215-229.

[7] DeMiguel V，Garlappi L，Nogales J，et al.Ageneralized approach to portfplio optimization：Improving performance by costraining portfolio norms[J] .Management Science，2009b，55（5）：798-812.

[8]XU Z.B，Chang X.Y.， et al. L1/2 Regularization：a thresholding representation theory and a fast solver[J]. IEEE Tranions on Neural Networks and Learning Systems， 2012，23：1013-1027.