基于一道三角填空题的解题教学思考

广东省广州大学附属中学(510006)陈经纬 韩智明

罗增儒教授说:“数学学习中真正发生数学的地方无一例外地充满着数学解题活动”.在高三复习教学中更是如此,习题课是主旋律,在日益突出核心素养考查的当下如何上好习题课,如何在有限的时间内将解题需要的数学思想和方法传递给学生,让学生对问题的认识上升到一个新的高度,以便下次遇到类似问题不再陌生,这些一直是笔者在思考和研究的问题,本文以一道三角填空题为例进行实践,供同行参考.

一、试题展示及探究

例题已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若则△ABC周长的取值范围为____.

这是一道平时训练常见的题目,本题主要考查解三角形相关知识,解题切入思维点多,有一定基础的考生都能求出,但采取方法不尽相同,付出时间成本各异,下面就几种解法对比分析:

解法1利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=4,整理得解得b+c≤4(当且仅当b=c时取“=”号)结合b+c ＞a得到2＜b+c≤4,所以周长的取值范围为(4,6].

解法2利用正弦定理得所以结合得2＜b+c≤4,周长的取值范围为(4,6].

评注解法1 是利用基本不等式求出最大值,下限是通过几何意义求得,解法2 是把所求量表示成一个变量的函数关系式求范围,解法1、解法2 虽然中规中矩,但是非常吻合学生的思维模式,利用函数与基本不等式解决范围问题也是通性通法,为了引导学生多角度看问题,调动学生思考的积极性,结合刚讲完的多元变量变单元变量思想,启发学生进行解法3 的尝试.

解法3利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2+利用基本不等式或函数单调性易得f(t)∈(4,16],所以2＜b+c≤4,周长的取值范围为(4,6].

评注解法3 同解法1、解法2 相比运算的优越性并不明显,更多的是多元变量变单元变量转化思想的运用,让学生体会到数学的美.考虑到转化条件b2+c2-bc= 4 是含有二元二次变量的式子,而b+c是二元一次代数式,对于思维层次高的同学容易想到柯西不等式.

解法4由b2+c2-bc=4 得

评注前面四种解法都是从代数的角度去处理问题,我们都知道数形结合是一种很重要的数学思想,本题能否完美跨界到“形”的角度去解决,需要学生有一定的数学素养,若数形结合得好,本题可很快解决.

解法5设△ABC外接圆半径为R,则外接圆是确定的,将B,C固定在△ABC外接圆上(图1),点A在优弧BC上运动,当AB=AC时,b+c有最大值4,结合AB+AC ＞BC得2＜b+c≤4,周长的取值范围为(4,6].

图1

评注五种解法中,解法5 无疑是最佳的,让学生领略了到了数与形结合的美,体会到在解决小题时数形结合有独到的优势,运算量小、直观自然、时间成本低,这种解题思想的运用需要考生有扎实的基本功,有一定的数学素养才能达到,也需要教师在平时的教学中慢慢渗透.

二、变式及升华

高考题及模拟题是由课本例题、习题及平时我们非常熟悉的题目衍生而成,通俗地讲就是平时训练题的一个“变式”,所运用的数学思想方法是一脉相承的,但是在强调培养学生数学核心素养的当下,高考题及模拟题绝对不是简单的更换试题数据和条件,而是对题源的一个深层次的加工,立足基础、考查能力、注重数学思想方法的应用成为高考题及优秀模拟题的共性.作为教师,应该抓住习题之间的联系,引导学生对习题进行演变、拓展和应用,抓住一类题目的本质属性,促进能力的提升.

变式1已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若则△ABC周长的取值范围为____.

图2

本题将△ABC的角度范围进一步缩小,利用解法2 得b+c=4 sin易得周长的取值范围为也可以利用解法5 的图形化策略,如图2作MB⊥BC,NC⊥BC,点A在劣弧MN(不包括M,N)上运动,当AB=AC时,周长有最大值6,当点A趋近M或N,周长趋近于所以周长的取值范围为由于△ABC是锐角三角形,会对b和c的范围进一步限制,其他解法显得有些水土不服.

变式2(2011 新课标I 卷16 题)在△ABC中,B=60°,AC=则AB+2BC的最大值为____.

本题与例题相比,设问方式有所不同,利用函数思想解决时对辅助角公式要求较高,利用多元变量化单元变量思想处理时运算量加大,要求考生具备一定的数学功底,体现了高考压轴小题应有的本色.

法一(常规解法)利用辅助角公式将式子转化成角A的函数关系式:

法二由余弦定理可得a2+c2- ac= 3,设(c+则

递增,

本题也可以使用柯西不等式,限于篇幅,不再列出.

变式3(2019 佛山一模16 题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= 1,当b,c变化时,g(b,c)=b+λc存在最大值,则正数λ的取值范围是____.

本题题干简洁,背景熟悉,给人一种“亲切感”,入口较宽,但深入下去不易,与文中例题相比,加入参数λ同时又有量词“存在”搅局,难度突然增大,能很好地考查考生的思维变通能力.本文例题中的解法2、解法3、解法4 能较好地解决此问题,限于篇幅,仅提供两种较简洁的解法.则锐角φ ∈

法二由余弦定理得b2+c2+bc= 1,整理得利用柯西不等式得其中得取等号的条件是

本题综合性强且提问比较新颖,当大部分教师在备考中认为三角最值没有什么可挖的情形下,此题让人耳目为之一新.得所以

三、解题教学感悟

通过对一道三角填空题多种解法分析及变式升华,结合笔者十多年教学经验,要让学生彻底掌握一类问题的解法应做到以下三点:

首先,必须做到精选习题,习题要从教材中选、从高考题中选、从大量的模拟题中选,因为这些题目都是命题专家深思熟虑过的,有很强的代表性,同时习题必须要有鲜明的特征,能够对某个知识点或某种思想方法做出一个完美的反映,所谓的“好”题标准就是该题是否考查数学六大核心素养,通过该题的强化训练能否促进学生的解题能力的提高.

其次,解题教学中应充分挖掘题目内涵,找到解决问题需要的知识,从多个不同的视角来解决问题,让学生充分体会到数学解题的灵活性、多样性,同时引导学生对例题进行演变、拓展,教师应重视变式教学在强化解题思想贯彻中的重要作用.

最后,解题活动结束后要求学生对自己的解题活动加以回顾、分析与研究,把解题的主要思想、关键因素进行概括,从而帮助学生从具体的题目中抽象出来,达到彻底掌握一类问题的解题思想与方法.