让数学思维根植于解决问题中

陈亚萍

摘 要：在解决数学问题中，通过教师深度地教、学生深度地学，能促使学生自觉地运用数学思维解决问题，提升学生解决问题的能力。文章从激发思维冲突，引解决问题“落地”;唤醒思维意识，助解决问题“生根”;激活思维发散点，让解决问题“开花”;搭建思维台阶，促解决问题“结果”四个方面，论述了促使学生用数学思维解决数学问题的策略。

关键词：数学思维;解决问题;思维冲突

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-02-27 文章编号：1674-120X（2019）15-0054-02

思维是数学素养之“魂”，数学课堂应基于“思维”来教[1]。然而在解决问题教学中，学生数学思维的缺失、数学思维的肤浅、数学思维的僵化、数学思维的障碍等问题充斥着课堂。因此，在课堂教学中教师应关注学生的数学思维，引导学生学会用数学思维解决数学问题。下面笔者结合实际谈谈如何让数学思维根植于解决问题中，让解决问题“落地”“生根”“开花”“结果”。

一、激发思维冲突，引解决问题“落地”

杜威曾说过：“冲突能触发思想，诱发我们不断调整和修正教学，推动我们去创造，使我們警醒、敏锐、积极动脑思考。”[2]笔者调查发现，在解决问题时，部分教师没有读透教材，在认知冲突点上轻率处理，致使学生思维缺失。而教师如果能“挑起事端”，不断引起认知冲突，使学生进入冲突旋涡，在强烈的矛盾冲突中去思考、经历与感悟，充满思维的数学课堂就能拉开帷幕，解决问题也就水到渠成了。

以执教“面积意义和面积单位”为例，在体验面积单位实际大小时，活动设计如下：①如何验证两张面积差别不大的卡片大小？为什么格子多面积反而小呢？②如何用1平方厘米的小正方形测量黑板面的大小？③1平方米生活中表现在哪些地方？一系列问题的抛出，能够引发学生内部的矛盾冲突，启发学生用数学思维分析生活现象。第一个问题通过观察、猜想、验证等方法促使学生主动寻找“统一格子大小”的标准，引出1平方厘米的面积单位。第二个问题中学生经历了充分的感悟、探究和不断的自我否定，巧妙激活思维，推动创造更大的面积单位去测量黑板，1平方米的面积单位顺势而出。第三个问题是寻找1平方米的过程，使学生在疑中生趣，帮助学生正确构建1平方米面积大小的表象，让其与1米长度的线段进行对比，进一步区分面积和长度两个概念，从而加深对面积单位概念的理解。学习中，学生兴趣盎然，课堂气氛异常活跃，探索过程精彩不断，真正营造了“教学无痕”“精彩有痕”的和谐课堂氛围。教学实践证明，有目的性地设计一些容易使学生进入思维定式的圈套，刻意制造一些“极端问题”或善于“煽风点火”，能有效唤起学生的有意注意，引发学生的思维冲突，促发学生展示真实思维过程的迫切需要，迸发创新思维的火花，在质疑辩难中使解决问题落到实处。

二、唤醒思维意识，助解决问题“生根”

唐代杜牧说：“学非探其花，要自拔其根。”[3]意思是学习不能停留在表面，要带着理性的精神追根溯源，以理性的力量去感染学生。长期以来，部分教师自身缺乏研究精神，没有理清整个知识结构体系，对知识本质似懂非懂、云里雾里，导致学生的思维肤浅，经常在知识点周围兜圈子，甚至还引发学习的负面情绪。而优秀教师则善于引导学生学有“根”的数学，大胆挖掘知识背后隐藏的道理和规律，从层层递进追根究底，到抽丝剥茧明白道理。这种回归思维原点的探究做法，让学生深刻悟到数学的本质，体验到探索与发现的快乐，学生知识体系的“根”也就长得粗壮！

以执教“3的倍数特征”为例，难点在于探究特征背后的道理，笔者结合教学内容设计如下：①判断一个数是不是5的倍数时，为什么只需关注个位，其他数位都不用看？学生通过说理，借助计数器、小棒、画图等多种形式进行探究，还有从寻找余数的关系入手进行总结：假设判断一个四位数ABCD是不是5的倍数，我们知道，A在千位上，表示A×1000，1000是5的倍数，所以A×1000也是5的倍数，即千位没有余数;B在百位上，表示B×100，100是5的倍数，所以B×100也是5的倍数，即百位没有余数;C在十位上，表示C×10，10是5的倍数，所以C×10也是5的倍数，即十位也没有余数。由此可见，产生余数只能在个位，个位只有0或5才能被5整除，所以只需要看个位是不是5的倍数。此环节重视呈现思维的“关节”，“整除”“余数”等概念在活动中唤醒学生思维的意识。②你打算怎样研究3的倍数的特征？有了前面研究的方法和经验作为支撑，探究变得有章可循了，此环节教师只需要给予适当的引导和追问便可。同样是四位数ABCD，1个千除以3，余数是1，A个千除以3，余数也就是A;1个百除以3，余数是1，B个百除以3，余数也就是B;以此类推，四位数ABCD除以3，余数也就可以看成（A+B+C+D），再用这个余数之和除以3。当然，还有学生结合位值说理、字母总结归纳、知识的结构处延展教学价值等方法进行探究。学生的理性精神并非与生俱来，在后天的学习过程中，教师需要对其多启发思考：是什么？为什么？这样能逐渐引导学生思考得更深刻、更清楚、更到位。思维是撩拨出来的，而这种撩拨是需要不凡的教育智慧的！只有这样，学生的学习才能透过现象迈向本质，思维从肤浅走向深刻。

三、激活思维发散点，让解决问题“开花”

教育家波利亚说：“一个专业的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”发散思维是从一个问题出发突破原有的思维限制，在思考过程中，不受原有知识的牵绊，探求出解决问题的多种方法。笔者调查发现，部分教师过度追求聚合思维，过分追求学习成绩，缺乏对发散思维的系统训练，导致学生思维僵化不灵活。因此，在教学中不妨多设置一题多解、一题多议、一题多改、一式多想等开放性练习题，从而使学生增加思维发散的广度和深度，让解决问题绽放美丽之花。

例如：“学校的菜地是由一个直角梯形和一个等腰直角三角形拼成的大梯形，已知直角梯形的上底是3米，下底是6米，高是3米，求面积;等腰直角三角形的底和高都是3米，求这个梯形菜地的面积。”对这一题，可以运用多种方法解答：①运用梯形的面积公式来解决，梯形的上底是3米，下底是9米，高是3米，求面积;②把大梯形看成一个直角梯形（上底是3米，下底是6米，高是3米）和一个等腰直角三角形（底和高都是3米），求面积;③看成一个正方形（边长3米）和两个等腰直角三角形（底和高都是3米），求面积;④看成4个等腰直角三角形（底和高都是3米），求面积;⑤看成1个平行四边形（底6米，高3米），求面积;⑥看成1个长方形（长6米，宽3米），求面积;⑦看成一个大三角形（底和高都是6米），求面积。在解答这一组组合图形面积的过程中，可以综合运用所有多边形面积的计算公式，这既能训练学生的思维，又能提高学生综合解决问题的能力。由此可见，教师应引导学生拓展解答思路，改变固有的思维模式，敢于另辟蹊径，善于不断调整思维方式，转变思考方向，对同一问题从多角度、多层次加以分析解决，从而逐步发展学生求异创新的思维能力。但是，开放性问题的设计不能太难，让学生望而生畏，要定位在学生思维的最近发展区，要赋予学生探究知识的时间和空间，这样学生的思维才能得到解放。

四、搭建思维台阶，促解决问题“结果”

布鲁纳认为，搭建思维台阶的作用是降低难度，帮助学生实现从原有发展水平向潜在发展水平发展。纵观课堂，不难发现有些学生对知识拐弯处无从下手，找不到“拐杖”支撑，导致思维停滞不前。拐弯处对学生来说普遍感到棘手，教师应积极为学生搭建思维台阶，学生每上一个台阶，教师应抓住契机，再搭一个更高的台阶。通过不断搭建思维台阶，能促使学生思考得更全面、更深入、更有序，沿着思维台阶拾级而上，最终摘到丰硕的果实！

以“找规律”为例，怎样准确把握本节课最核心的问题呢？笔者巧设计如下：

首先，套圈游戏现场：如果套住两个连续的数字就可以中五等奖，请大家思考，中五等奖一共有几种答案？学生有的画一画，有的框一框，有的说一说，把操作与思考结合起来。第一次“找”处于具体形象阶段，是一个操作、经历和体验的过程。学生在实践中获得感性经验，在沟通中感悟有序思考，领会平移方法的优势，此时学生的思维处于动作思维阶段。

其次，为了更好地摆脫具体事物的束缚，由动作思维过渡到抽象思维，教师应适时为学生搭建思维台阶，让学生可以借力而上，于是巧妙安排第二个环节：“不动手操作，直接在你的大脑中移动，你能快速地知道平移几次吗？”从直观操作到表象操作的过渡，学生在脑中平移方框，不是呆板操练，而是自觉思考，在移一移中感悟“平移的次数=剩下的个数”，让操作活动真正内化。第二次的“找”以操作的表象为支点，找出算理，找出规律的本质。

最后，找规律的重点是带领学生回归到生活世界，能把生活化的问题转为数学问题，进而建构解题模型，从而体会数学的价值和魅力。为此，教师继续为学生搭建思维的台阶，找生活中的“花边题”、了解叔叔的“休假题”、观察电影院的“座位题”，思维含量逐步递进，这样的设计使学生打开思路，跳出机械解题模式。整个“找”的过程中，学生经历了朴实的动手实践、丰厚的表象思考、极简的数学算式、抽象的数学模型，激发了思维，持续催生“增值效应”。因此，搭建恰到好处的思维台阶，学生的学习就有了抓手，有了这个台阶，就能引发学生更进一步思考，更好地突破重难点;培养学生的思维能力，促使学生找到解决问题的“结果”，可谓一举两得。

五、结语

总之，教师可通过把握数学本质，突出数学思考，让数学思维焕发应有的活力，让解决问题焕发应有的魅力，让数学思维根植于解决问题中，让学生的核心素养逐步提升。

参考文献：

[1]郑毓信.努力打造数学教育的中国名片——“中国数学教学‘问题特色”之系列研究[J].小学数学教师，2018（2）：4-8.

[2]吴正宪，钟建林.小学数学名师名课（经典篇）[M].北京：教育科学出版社，2011：177.

[3]叶建云.可以这样教数学[M].上海：华东师范大学出版社，2012：91.