基于径向基函数的压电微动平台优化设计

黄声德， 刘静， 代武川

（江西理工大学，a.机电工程学院；b.建筑与测绘工程学院，江西 赣州341000）

0 引 言

在微机电系统中，基于柔性铰链的压电微动平台因其无摩擦、无间隙、灵敏度高等优点，广泛应用于光学精密仪器、微零件制造与装配、生物科学等众多领域[1-3].压电微动平台以压电陶瓷作为驱动器，压电陶瓷具有出力大、分辨率高等优点[4-5]，但其行程普遍较小，因此需要放大机构将其位移放大.桥式放大机构具有机构紧凑、固有频率高、应力分布均匀等优势[6-7],因此更适合应用在受结构限制的微动平台.

宏微驱动技术[8]是一种运用宏微双重驱动概念实现平台大行程高精度的一种新型定位平台系统，文中基于桥式放大机构设计了一种应用于宏微驱动系统中的微动平台.微动平台作为宏微驱动系统的执行机构，其机械特性对整个系统的精准、稳定运行具有至关重要的作用.微动平台的动态特性包括固有频率、响应速度、放大倍数等，但通常它们之间是相互制约的，因此，为了提高微动平台的整体综合性能，对微动平台的优化是很有必要的.微动平台的动态特性和其结构几何参数往往具有一定的相关性，因此寻求微动平台动态特性与结构参数之间的关联模型，对建立微动平台的优化模型具有重要意义.

文中对一种依托桥式原理进行位移放大的微动平台展开研究，建立反映微动平台动态特性的径向基函数模型，采用多目标优化算法对微动平台进行优化设计，进而改善微动平台的整体动态特性.

1 结构设计

微动平台结构如图1所示.为方便设计与计算，微动平台中所有铰链均采用几何参数相同的直圆型柔性铰链，表1是微进给平台的初始结构参数及取值范围.

图1 微动平台结构示意

表1 微平台初始结构参数及取值范围/mm

表 1 中，d1、d2、d3为桥式放大机构各杆件的长度，d4为平台导向机构杆件长度，z为各杆件的宽度，R、t、b分别为柔性铰链的切割半径、最小厚度和宽度.

2 确定优化参数与性能指标

微动平台的输出位移行程反映了其有效运动范围，因此放大倍数是表述放大机构的重要性能指标，放大倍数可用输出位移与输入位移的比值来表示，如式（1）.

式（1）中，u1为输出位移，u2为输入位移.利用ANYSY软件的静力学分析模块，在输入端施加u1=10 μm 的位移，得到输出位移 u2，通过式（1）可计算得到机构放大倍数.

微动平台是通过柔性铰链的变形来传递位移和力，若产生的应力超过材料许用应力，容易使机构发生永久变形和断裂，利用ANSYS分析可知，微平台的最大应力发生在如图2所示的柔性铰链最小厚度处，设该点为A点.设微动平台采用标称位移为20 μm的压电陶瓷，当其在输入端施加20 μm的输入位移时，A点铰链处将产生最大应力σmax，以σmax作为评价微动平台的强度性能指标.

微动平台的固有频率f是评价系统动态特性的重要性能指标.文中以A、f、σmax作为微动平台的性能指标，以结构参数 d1、d2、d3、d4、z、R、t、b 为设计变量，对微平台进行优化设计.优化流程如下：利用拉丁超立方抽样方法[9]确定30组设计变量的样本点，通过ANSYS软件计算30组样本点的放大倍数、固有频率和最大应力；采用径向基函数建立上述样本点的代理模型，最后运用多目标优化方法寻求设计变量与性能指标的最优解.

图2 微动平台应力云图

3 建立径向基函数模型

3.1 径向基函数模型的构建方法

径向基函数模型构建的基本思想是：确定一组可靠的样本点 x=[x1，x2，…，xn]，以变量 x 与每一个数据点 xi（i=1，2，…，n）的径向距离 φ（ri）（i=1，2，…，n）函数作为基函数,通过基函数φ（ri）的线性叠加来计算未知数据点处的值，通过径向距离的引入，把原本复杂的高维问题转化为简单的低维问题解决，其基本形式的表达式如式（2）：

式（2）中，权系数 β=[β1，β2，…，βn]T；径向函数 φ（ri）=[φ（r1），φ（r2），…，φ（rn）]T；欧氏距离函数 ri=[φ（‖xx1‖），φ（‖x-x2‖），…，φ（‖x-xn‖）]T；‖x-xi‖表示未知点x到样本点xi的欧式距离.

式（2）作为代理模型应满足以下条件：

式（3）中，F~（xi）和 F（xi）分别表示第 i组样本点的预测值和实际值.将式（3）带入式（2）可得：

通过式（4）可求解得到系数：

在径向基函数模型的建立过程中，合理选用径向函数和径向函数的形参对模型的构建精度具有较大的影响.高斯函数和MQ函数是应用最为广泛的径向函数，基于很多学者的分析研究经验，MQ函数具有计算效率高、模型拟合精度好和稳定性优良等优点[10-12]，因此文中用MQ函数作为径向函数，MQ函数的一般形式如式（6）：

对于式（6）中的形参数c，采用遍历对比的思想选取形参数的最优取值，形参数的确定流程下：

1）初步确定形参数 c的取值区间 c∈[0.1，5]，在区间内取 c∈[c1，c2，c3，…，cn]；

2）选取一系列样本点，计算c=c1的均方根误差（RSME），定义为 P1；

3）返回步骤2）计算其他形参数的均方根误差Ps（s=2，3，…，n），逐次对比；

4）确定 Pj=min{P1，P2，…，Pn}对应的形参数 cj为最终确定的形参数.

均方根误差（RSME）的计算公式如下：

式（7）中：k 为样本量；yi为实际值；y^i为预测值.

3.2 建立微动平台径向基函数模型

利用拉丁超立方抽样方法抽取设计变量区间内的30个实验点，利用ANSYS Workbench计算每个实验点的性能指标响应值，样本点及性能指标值如表2所示.

根据式（2）、式（5），可得到机构放大比 A、最大应力σmax、固有频率f对设计变量的径向基函数模型解析式有如下形式：

式（8）中：[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]分别表示[b，d1、d2、d3、d4、R、t、z]；α=[α1，α2， …，α20]T为径向基函数的系数；c为径向函数的形参数.

选取的一系列样本点，利用遍历对比的方法最终确定放大倍数模型形参数c1=0.74、最大应力模型形参数c2=1、固有频率模型形参数c3=2.5；根据式（7），求得模型的最小均方根误差为：放大倍数的最小均方根误差：PA=0.199，最大应力的最小均方根误差：Pσ=7.183，固有频率的最小均方根误差：Pf=10.797.

表2 拉丁超立方采样点设计参数与性能指标值

均方根误差是用来评价预测值与实际值偏差程度的一种方法，均方根误差越小表明预测值越接近于实际值，但均方根误差值的大小与计算数据值的大小有直接关系：在同样程度偏差下，计算数据的值越大，均方根误差也越大，因此均方根误差无法作为统一的评价标准衡量模型是否具有良好的拟合效果，故文中在此引入ρ值用来衡量模型的拟合程度，ρ的计算公式如下：

式（9）中：P为均方根误差，y¯为实际值的平均值.

ρ值越接近于0说明模型的拟合精度越好，利用式（6）算得放大倍数、最大应力、固有频率的ρ值分别为0.044、0.045、0.053，说明基于径向基函数建立的模型拟合精度能够准确反映设计变量与性能指标的关系.

4 多目标优化设计

多目标遗传算法（MOGA）[13]是一种模拟生物进化的优化算法，应用多目标遗传算法（MOGA）可得到目标函数在约束条件下的Pareto解集，Pareto解集即为当前条件下最优方案解的解集.采用多目标遗传算法（MOGA）对微平台进行优化，以基于径向基函数得到的放大倍数和固有频率代理模型为目标函数，以设计参数的取值范围及最大应力作为线性约束条件，建立微平台的多目标优化模型如式（10）：

式（10）中：σs为材料的屈服强度 σs=393.7 MPa；xi表示设计变量，i=1,2,…,8；xmin、xmax分别表示设计变量的最小限制尺寸和最大限制尺寸.

利用Matlab工具箱中的gamultiobj函数，设置初始种群大小为500，最大迭代次数为100，获得Pareto最优解分布如图3所示.

图3 Pareto最优解集

利用最小距离法则[14]，确定全局最优解的放大倍数和固有频率分别为6.106、364.9 Hz，且满足σmax<σs，对应的设计变量数值如表3所示，为方便加工，对设计变量进行微小调整.

表3 优化后的设计变量值及调整值/mm

利用ANSYS Workbench对优化后的结构进行仿真,仿真结果如图4所示，优化后的放大倍数约为6.00倍，固有频率为344.75 Hz，对比优化前的性能指标值，放大倍数增大了约40.80%，固有频率增大了约22.83%，因此优化结果能更好的满足微平台的性能要求.

5 实验验证

为了验证微动平台优化结果的有效性，对优化后的微动平台进行电压-位移实验，分析输出位移与输入位移的关系.搭建如图5所示的实验平台，压电陶瓷采用芯明天公司生产型号为：Mtp150/10*10/36的压电陶瓷，压电驱动器施加电压0～60 V并内置了位移传感器，步长2 V，利用外部电容位移传感器收集输出位移.最终测得30组输入和输出位移的实验数据，利用ANSYS Workbench对30组输入位移进行分析，并与实验数据进行比较，如图6所示.由图6可知实验数据与ANSYS Workbench仿真数据结果接近，说明本文所用的代理模型和优化方法有效.

图4 ANSYS仿真分析结果

图5 实验装置

图6 输入位移与输出位移

6 结 论

1）针对一种利用桥式放大原理设计的微动平台，提出基于径向基函数的优化模型，并基于该模型对微动平台进行了结构参数优化.

2）根据径向基函数理论建立了反映微动平台性能指标和结构参数的非线性模型，并对模型的形参数进行选择，为微动平台的优化提供了精确的理论模型.

3）采用多目标遗传算法，以微动平台的放大倍数、固有频率为目标函数，以最大应力、结构尺寸为约束条件，对微动平台进行优化，优化结果表明：在满足最大应力小于材料许用应力的前提下，微动平台放大倍数增加了约40.80%，固有频率增加了约22.83%.故所采用的代理模型和优化方法有效，并通过实验验证表明了优化结果的有效性.