概念域：数学概念教学的应有视角

吕程 王凌

从知识的类型给数学教学分类，一般可以分为概念教学、命题教学和解题教学。可见，概念教学是数学教学的重要组成部分。苏教版《数学》三年级下册“认识小数”一课，是小学阶段第一次教学小数的知识，也是学生数的概念的一次重要拓展，所以小数这一概念属于小学阶段的核心数学知识。首先来看课程标准关于这一内容的教学目标：能结合具体情境初步认识小数，能读、写小数[1]。再看教材是如何界定一位小数概念的：像上面的0.5、0.4、1.2和3.5都是小数[2]。在实际教学和听课中，广大一线教师往往从教材的文本思路出发，通过联系分数与小数的关系，最终让儿童建立小数的概念。但是笔者在多次在教研或听课的过程中，对刚上完本课的不同班级的学生做过调查，让学生用自己的方式画出0.8这一小数，调查结果显示，无法画出或不能正确画出这一小数的学生占有相当大的比例。

以上调查反映出的问题，说明学生的认知结构当中并没有真正建立对小数本质意义的理解，所以笔者将从概念域的视角来进一步考量当下的数学概念教学。所谓概念域，数学教育学界是这样定义的：一个概念C的所有等价定义的图式，叫做概念C的概念域[3]。举个例子来解释，平行四边形的概念可以有如下几种表述：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形;两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形;两组对角分别相等的四边形叫做平行四边形。从逻辑学的角度来说，四种说法都是平行四边形的概念，而且四种概念都是关于平行四边形的真命题，同时四种概念可以相互推导，因此形成了概念图式，即成为平行四边形的概念域。基于概念域的视角，笔者重新审视“认识小数”这节课，从而让学生能够感悟小数概念的本质。

一、概念形成：让概念域孕育土壤

概念域的形成，首先要促使学生建构不同形式的概念，即初步建立起概念框架。结合课程标准的要求和儿童的认识规律，小数概念需要通过辨析、比较等教学方式，引导儿童逐步建立。以下是课堂教学环节。

师：同学们，咱们的校园很美，一起来看看，图中有哪些数学信息呢？

生：教室的门高2米、胶水瓶长0.1米、旗杆高8米、班牌长0.6米。

师：你能先把这些数分一分类吗？同桌之间交流一下。

生：2米和8米可以分为一类，0.1米和0.6米可以分为一类。

师：这里的0.1和0.6这类数叫什么名字呢？下面请同学们打开书阅读课本88页上方的一段文字。

学生汇报：左边这一类数，像0、1、2、3、4、5、6……这样的数叫作自然数，又称作整数。右边这一类数，我们称作小数，小数中间的点叫小数点，小数点左边叫整数部分，小数点右边叫小数部分。

师：今天老师就和同学们一起来认识小数。

在本课之前，学生的认知结构中已经有对小数的模糊认识，这种认识是基于经验层面的，所以学生能够通过经验来区分小数和自然数。在此基础上的辨析、自学、讨论、交流，可以让儿童初步地形成对小数的表象，即具备几点几这样特征的数就是小数。这样的设计就是奥苏伯尔提及的“有意义的接受学习”，既符合课程标准的要求，又顺应了学生脑海中关于小数概念的思维经验。学生已有的小数概念是建构小数概念域的基础，但此时的小数概念仅仅是概念的外在形式。学生想要内化小数概念，还需要经历概念同化的过程。

二、概念同化：让概念域实现完善

以上提到的小数概念是通过描述数的特征的方式界定的，而要了解小数的本质是什么，学生需要进一步的信息获取和加工习得。而在这个教学过程中，一线教师通常结合米尺，通过找米尺中的十分之几的数和零点几的数一一对应的方式，实现旧知识和新知识的联系，再通过教师的讲解，学生才可以比较熟练地说出零点几的小数和某一个十分之几的分数相等。这样教学学生就能真正理解小数概念的内涵吗？答案显然是否定的。到底如何从知识本质的角度，让学生感悟小数的概念，建立关于小数的概念域呢？笔者设计了如下教学。

教师教学1/10与0.1的关系之后：

师：老师给大家布置一个小任务，请你们在练习纸上涂出4分米和7分米，并用分数和小数来表示。

学生汇报过程中教师追问：这里的0.4米是什么意思呢？下面老师接着往下涂，要涂到0.9米还需要再涂几格呢？（2格）为什么？

生：0.9米就是9/10米。

师：下面我们观察这些数据，思考三个问题：

1. 这些分数有什么相同的地方呢？小数呢？

2. 怎样解释0.9米的意思？

3. 你还有什么发现？

师：刚才我们在1米中，找到了小数。这里还有一个长1分米的直条，我们把它平均分成10份，其中的1份就是1厘米，以分米做单位，用分数表示就是1/10分米，用小数怎么表示呢？那0.1分米是什么意思呢？

学生汇报。

师：这个这直条中，还有几个空，你会填吗？填在练习纸上。

学生汇报。

师：不仅长度单位中有小数，还有一个地方常常会用到小数。（买东西）

屏幕上的直条表示一元，我们也把它平均分成了10份，其中的1份是多少钱呢？（1角）用小数怎么表示？（0.1元）

师：根据生活经验，大家都知道1角等于0.1元。那你能不能用今天我们所学的知识来解释0.1元是什么意思呢？

学生自主填写后汇报。

师：直条上还有几个空，你还能迅速地填出来吗？

学生汇报。

师：刚才我们在长度单位、货币单位单位中找到了小数，下面老师把它们的单位都省去，把这个直条看做1，平均分成10份，其中的1份是多少？（1/10）也可以表示为？（0.1）

理解小数概念的关键是使学生认识到一位小数来源于分数，且一位小数的意义与十分之几的分数的意义是相同的，都是把一个数平均分成10份，表示其中的几份，这不仅需要学生了解两类数可以进行表征间的转换，更重要的是让学生理解两类数的意义是完全相同的。在教学中，前者关注的是小数概念的外在形式，而后者是从数的意义的层面理解小数，属于小数概念的内化形式。基于此，教师需要从概念域的视角，在教学当中让儿童建构小数概念的不同等价形式：像0.5、0.4、1.2和3.5这样的数叫做小数;把一个数平均分成10份，表示其中的一份或若干份，这个结果称作小数（一位小数）。反观笔者的教学设计，时刻关注着一位小数和十分之几分数的联系，不仅仅体现了两类数的转换，更多的是让儿童不断地经历小数意义的建构是如何从分数意义中同化来的。从概念同化的角度来看，应让儿童获取的新知识融入到原有的认知结构当中，并使原有的认知结构得以拓展。而这里就需要站在概念域的视角，通过对不同形式的等价概念的理解，建立对小数概念的整体框架，最终在小数的表象中抽象出小数的意义与内涵。

三、概念運用：让概念域稳定固化

通过有意义的接受学习，让儿童形成小数概念的外在形式，并激活十分之几的分数并与之产生概念联系，学生的脑海中逐渐形成关于小数的不同形式的等价概念，同时在不同的情境中使儿童关于小数的概念域的建构得以完善。从数学教育心理学的角度来看，此时儿童对小数的概念域的认知正处于知觉水平，要上升到思维水平还需要进行概念的运用，进而使习得的小数概念得以稳定固化。笔者设计了三组不同思维水平的练习。

南京海底世界规定1.2米以下的小朋友可以享受半价优惠，小明身高1米6分米，可以享受半价优惠吗？小红身高1米8厘米能享受半价优惠吗？

题组1从左到右的三幅图的练习设计，从数形结合的角度，有梯度地巩固学生脑海中对小数概念域的建构。题组2中上面两幅图先出示空白的圆和长方形，让学生说出怎样在图中表示出0.4和0.7，然后出示下面两幅图，请学生说出每幅图分别表示什么小数。要解决这个问题，学生必须调用刚建构的对小数概念的认知，而且对学生来说，需要再一次体验小数是平均分成10份后所得来的，与十分之几的分数的意义一样，这是对小数概念本质的强化。题组3的应用，从抽象的数学中回归到现实的数学情境，学生对这个题组的探讨，是基于自身对小数概念内化形式的理解，进一步巩固学生小数概念域的建构，同时让儿童感受到小数概念的现实价值。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 义务教育课程标准教科书·数学（三年级下册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2013.

[3] 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[责任编辑：陈国庆]