剖析立体几何中p的经典题型

2019-07-03董晓霞

中学生数理化·高三版 2019年1期

关键词：异面线面二面角

董晓霞

立体几何中的证明线面平行、线线垂直、线面垂直，以及几何体的外接球问题是经典题型，也是高考的热点，本文总结了一些方法思路，希望对同学们的学习能有所帮助。

一、证明线面平行

证明方法：

（1）利用线面平行的判定定理证线面平行：

（2）利用面面平行的性质定理证线面平行：

（3）利用空间向量进行证明。

例1 如图1，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点。求证：GF//平面ADE。

证法一：如图2，取AE的中点H，连接HG，HD。又G是BE的中点，所以GH//AB，且.GH=-AB。因为F是CD的中点，所以DF=1/2CD。由四边形ABCD是矩形得AB//CD，AB=CD，所以GH//DF，且GH=DF，HGFD是平行四边形，所以（DHC平面ADE，GF≠平GF//平面ADE。

证法二：如图3，取AB的中点M，连接MG，MF。又G是BE的中点，可知GM//AE。又AEC平面ADE，GMC平面ADE，所以GM//平面ADE。在矩形ABCD中，由M、F分别是AB、CD的中点，得MF//AD。又因为ADC平面ADE，MF≠平面ADE，所以MF//平面ADE。又因为GM∩MF=M，GMC平面GMF，MFC平面GMF，所以平面GMF//平面ADE。因为GFC平面GMF，所以GF//平面ADE。

点评：直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化;有中点时寻找中位线，利用三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等有关性质。

例2 如图4，在四棱柱ABCD-A.B，C，D，中，侧棱A.A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=√5，M和N分别为B，C和D，D的中点。求证：MN//平面ABCD。

解析：如图5，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0）。

因为M，N分别为B，C和D，D的中点，所以

依题意可得n=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，因为MN=（0，，0），所以MN·n=0。又因为直线MNt平面ABCD，所以MN//平面ABCD。

点评：当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线和平面平行，但要注意指出直线不在平面内。

二、证线线垂直、线面垂直

证明方法：

（1）证线线垂直：①用勾股定理;②转化为证线面垂直。

（2）证线面垂直：①用线面垂直的判定定理：aCanbCana∩b=P，l⊥anl⊥b=l⊥a;②用面面垂直的性质定理：a⊥β，a∩β=b，aCana⊥b=→a⊥β。

（3）证面面垂直：①用面面垂直的判定定理：l⊥anlCβ→a⊥β;②用定义法，证两平面所成二面角的平面角为直角。证明时注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化。

例3 如图6，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，ABD=2CBD，AB=BD证明：平面ACD∠平面ABC。

解析：由题设可得△ABD≌OCBD，从而AD=DC。因为△ACD是直角三角形，所以∠_ADC=90°，取AC的中点0，连接BO，DO，则DO⊥AC，DO=0C。因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角。在△AOB中，BO*+AO2=AB，又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO"=AB2=BD"。所以∠DOB=90°，所以平面ACD⊥平面ABC。

点评：本题证线线垂直时利用勾股定理，

证面面垂直时通过证两平面的二面角为直二面角，利用了定义法证明。

三、求空间角

空间角主要有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两平面所成的角。

（1）求异面直线所成的角，一是几何法，通常作平行线找出异面直线所成的角，在三角形中解出該角，注意异面直线所成的角的取值范围是（o，2_，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角;二是坐标法，需求出它们的方向向量anb的夹角，则cosθ=|cos|。

（2）求直线与平面所成的角，一是寻求过直线上一点作平面的垂线，再作出直线与平面所成的角;二是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角，可先求出平面a的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sinθ=|cos|。

（3）求二面角a-l-β的大小θ，一是转化为两平面法向量的夹角，先求出两平面的法向量n1，nz所成的角，则θ=或π一;二是用几何法，作出二面角的平面角，在三角形中求平面角的大小。

（4）利用法向量求解空间角在于四个关键步骤：

第一步，建立适当的空间直角坐标系;

第二步，准确求解相关点的坐标;

第三步，求出平面的法向量;

第四步，求夹角。