间歇激励条件下电液伺服系统的复合自适应控制

郭秦阳， 施光林， 王冬梅

(上海交通大学 机械与动力工程学院， 上海 200240)

电液伺服系统因功率密度比大、刚度高、响应速度快等优势，在工业中得到了广泛的应用[1-2].然而，受到伺服阀死区、输入饱和与滞后、液压缸泄漏、无杆腔与有杆腔流量不匹配等因素的影响，电液伺服系统通常具有高度的非线性行为[3].此外，系统中的未知参数，如泄漏系数、阻尼系数及刚度系数等，也导致液压系统难以被精确建模[4].这些影响都使得电液伺服系统的高精度位置控制成为一项艰巨的任务.因此，能够对系统中的未知参数进行估计与补偿的自适应控制技术受到了高度重视.

针对电液伺服系统的轨迹追踪问题，文献[5]设计了一种自适应鲁棒控制方法，文献[6]设计了基于扩展状态观测器的反步控制方法，文献[7]开发了具有衰减记忆滤波器的自适应反步控制方法，文献[8]则设计了一种自抗扰自适应控制器，文献[9-10]也报道了类似的研究.然而，以上所提及的方法大都采用反步技术，在控制器的设计过程中需要对相关虚拟控制信号进行复杂的偏微分计算，使控制器的结构变得异常庞大[11].另外，如果系统中存在未知参数，形如θTφ(x)，那么在对系统进行控制时，如果能够有效地识别与补偿未知参数向量，就能够极大地提高系统的控制性能.其中：θ=[θ1θ2…θn]T为系统中的未知参数向量；φ(x)是由已知函数构成的激励向量.对于传统的自适应控制方法，如果需要精确地识别系统中的未知参数向量，则需要满足严格的持续激励条件.

1—液压缸与位移传感器，2—压力传感器，3—伺服阀，4—负载，5—弹簧阻尼系统 6—液压动力源，7—滤油器，8—溢流阀，9—电动机，10—定量泵，11—电磁阀图1 电液伺服系统原理图Fig.1 Schematic diagram of the electro-hydraulic servo system

由文献[12]给出的有关间歇激励(IE)和持续激励(PE)的定义可知，在系统的实际工作过程中，相比于间歇激励条件，持续激励条件更难实现.因此，传统自适应方法的推广受到极大限制.本文针对电液伺服系统的高精度轨迹追踪问题，设计了一种适用于间歇激励条件的复合自适应控制方法，利用动态面控制(DSC)技术构建了系统的非线性控制器；针对系统中的未知参数，构建了新颖的复合自适应律，松弛了传统自适应方法中严格的持续激励条件；利用Lyapunov理论分析了闭环系统的稳定性，并通过对比仿真结果验证了所提出控制算法的有效性.

1 电液伺服系统的建模与问题的描述

本研究涉及的典型电液位置伺服系统如图1所示.系统拥有的液压动力源采用三相异步交流电动机驱动一个定量液压泵为系统提供压力油液，其供给压力可以通过溢流阀进行设定.伺服阀用于实现液压缸的高精度位置控制，液压缸上安装有位移传感器.3个压力传感器分别用于采集液压动力源的供油压力信号以及液压缸无杆腔、有杆腔的压力信号.液压缸驱动负载在直线导轨上运动，弹簧阻尼系统则用于模拟液压缸所受到的外负载力.

液压缸活塞杆上的力平衡方程为

(1)

式中：p1与p2分别为液压缸无杆腔与有杆腔的压力；A1与A2分别为液压缸无杆腔与有杆腔的等效截面积；m为液压系统的等效负载质量；x为液压缸活塞杆的位移；b为系统的等效阻尼系数；k为弹簧的刚度系数.考虑到密封技术的发展，液压系统的外泄漏通常可忽略[1]，因此，液压缸无杆腔与有杆腔的流量动态方程可以表示为

(2)

式中：Ke为液压油液的等效体积模量；V01与V02分别为液压缸无杆腔与有杆腔的初始控制容积；ci为液压缸的内泄漏系数；q1与q2分别为液压缸无杆腔及有杆腔的流量，

s(xv)=1/2+tanh(rxv)/2

xv为伺服阀的阀芯行程，s(xv)是用于描述伺服阀阀芯泄漏的函数[13]，kq为伺服阀的流量增益，u为伺服阀的控制信号，ps与pt为液压动力源的供油压力与回油压力，r为阀芯泄漏的近似系数.

(3)

式中：

g3(x1,x2,x3)=

n=A2/A1,n1=mx3/A1

h3(x1,x2)=

q3(x1,x2,x3)=

需要指出的是，对于图1所示的电液位置伺服系统，伺服阀的流量增益可以通过厂家的样本获得.文献[14]对液压系统中泄漏系数的测量方法进行了详细的介绍，而系统中的弹簧阻尼系统则用于模拟液压缸所受到的外负载力.系统的阻尼通常会随着环境温度、润滑条件、磨损等因素的变化而改变，难以被精确测量.同时，对于不同类型的负载，其刚度系数与阻尼系数均存在差异，而未知的刚度系数与阻尼系数将成为影响液压系统位置控制精度的主要因素.在控制器设计过程中，如果能够有效地补偿液压缸所受到的外负载力，就可以在很大程度上提高系统的跟踪精度.因此，本文选取b与k为系统中的未知参数，定义未知参数向量θ=[θ1θ2]T，而激励向量则为φ=[φ1φ2]T.其中：θ1=b，θ2=k；φ1(x2)=-x2/m，φ2(x1)=-x1/m.继续定义f3=h3+q3，则式(3)可简化为

(4)

在开始设计控制器之前，需要给出以下合理假设.

假设2系统的回油压力pt≈0，考虑到伺服阀阀芯的压降，显然，液压缸腔内压力p1与p2均以系统的供油压力ps与回油压力pt为界，即0p2A2，因此，|pL|=p1-np2与 0<|pL|p1A1，考虑到这种实际情况，|pL|=np2-p1与0<|pL|

2 电液伺服系统的复合自适应控制器设计

本节利用DSC技术设计电液位置伺服系统的非线性控制器，通过引入一阶指令滤波器对虚拟控制信号进行处理，可以避免传统反步控制方法对于虚拟控制信号的复杂偏微分计算.通过设计复合自适应律，可以松弛传统自适应方法中严格的持续激励条件.

2.1 非线性控制器设计

对于如式(4)所示的电液伺服系统，选择系统的第1个误差面为s1=x1-xd.显然，s1关于时间的导数为

(5)

而系统的第1个虚拟控制信号a1为

(6)

式中：l1为控制器增益，l1>0.引入一个一阶指令滤波器对虚拟控制信号，即式(6)进行处理：

(7)

继续选择系统的第2个误差面为s2=x2-a1c，结合式(4)，s2关于时间的导数为

(8)

(9)

式中：l2为控制器增益，l2>0.继续引入第2个一阶指令滤波器对虚拟控制信号式(9)进行处理：

(10)

选择系统的第3个误差面为s3=x3-a2c，结合式(4)，s3关于时间的导数为

(11)

而系统的控制输入可以被设计为

(12)

式中：l3为控制器增益，l3>0.另外，式(5)、(8)与(11)也可以被重新写成

(13)

2.2 复合自适应律设计

(14)

式中：

Q(t)=

(15)

参考文献[12]中给出的有关持续激励的定义，若Ta>0是系统的初始响应时间，对于任意正实数δ>0，存在时间常数Te>Ta+δ使得式(15)满足间歇激励条件.当t∈[0,Ta)时，DSC技术所引入的指令滤波器收敛[15]，而复合自适应律为

(16)

(17)

式中：cθ为预先定义的θ的界；预测误差信号ζ(t)为

(18)

(19)

3 控制算法稳定性分析

为了分析闭环系统的稳定性，定义Lyapunov方程如下：

(20)

(21)

结合式(13)、(16)以及投影算子式(17)，V(v)关于时间的导数为

(22)

(23)

由于

对于任意t∈[0,Ta)，可以得到

(24)

式(14)中，当t∈[0,Ta)时，Qe=0.结合式(17)与(20)，对于∀t>0，可以得到

-lminV(t)/2-lmin(V(t)-w2)/2

(25)

Ωcv0=Ωcx0∩Ωcd×Ωcθ

Ωcv=Ωcx∩Ωcd×Ωcθ

且满足Ωcv0∈Ωcv.对于v(t)∈Ωcv与t∈[0,Ta)，式(25)可简化为

(26)

最后，参考间歇激励的定义，若电液伺服系统中激励向量φ在[Te-δ,Te]区间满足间歇激励条件，则一定存在正常数σ>0，使得Q(Te)≥σI.基于式(24)，可以得到

(27)

令lvmin=min{lmin, 2κγσ}，则

(28)

V(t)≤V(Te)e-lvmint+w1/lvmin, ∀t≥Te

(29)

4 对比仿真与讨论

以文献[16]中所介绍的经典自适应控制方法作为对比算法，对比算法的控制律与本文所给出的控制律一致，自适应律如下[16]：

定义本文所提出的控制方法为C1，传统的自适应控制方法为C2.仿真过程所需的电液伺服系统参数如表1所示.用Simulink 中的 S-function模块编写电液伺服系统的数学模型与控制算法，用型噪声发生器模拟传感器信号所受到的干扰，位移信号与压力信号的噪声幅值分别为 ±0.01 mm，利用截止频率为80 Hz的低通滤波器对传感器的信号进行处理，仿真步长设定为 0.001 s.C1与C2的控制性能通过最大误差em、平均误差ea与标准差es3个性能指标进行评价.

表1 电液伺服系统的参数Tab.1 The parameters of the electro-hydraulic servo system

液压缸对于理想轨迹的跟踪结果如图2所示(图中ex为跟踪误差)，具体的追踪性能指标见表2，伺服阀的控制信号如图3所示.对于系统中的未知参数，虽然C2的自适应律的增益已经设置得足够大，却依然难以取得令人满意的估计结果.相比于C2，C1对于系统中的未知阻尼系数与未知刚度系数的估计结果，无论是在收敛速度方面，还是在估计精度方面，都有显著的提升，如图4和5所示.如果能够精确地识别系统中的未知阻尼系数与未知刚度系数，就可以有效补偿液压缸所受到的负载力，从而提高液压缸的跟踪精度.然而，系统中的激励信号φ1与φ2只能在有限的时间区间进行激励，无法满足持续激励条件，如图6所示.结合间歇激励的定义1，参数σ的值如图7所示，显然，复合自适应律所选取的积分时间常数δ能够满足间歇激励条件.由于复合自适应律对系统中未知参数的高性能估计，使得C1能够更加精确地补偿液压系统中的不确定结构，这也是C1具有更高的轨迹追踪精度的根本原因.

图2 液压缸跟踪结果Fig.2 Tracking results of the hydraulic cylinder

Tab.2 Tracking performance indexes of the electro-hydraulic servo system (t>0.2s)

控制方法em/mmea/mmes/mmC10.2300.0440.057C20.3430.0620.085

图3 系统的控制信号Fig.3 Control input of the system

图4 未知阻尼系数估计结果Fig.4 Estimation of unknown damping coefficient

图5 未知刚度系数估计结果Fig.5 Estimation of unknown stiffness coefficient

图6 系统的激励信号Fig.6 The exciting signals of the system

图7 间歇激励条件下σ的值Fig.7 The value of σ under IE condition

根据间歇激励的定义，在复合自适应律中，积分时间常数δ的选取决定了需要在线记录的与系统运行状态和系统误差有关的数据量.δ的值越大，积分时间越长，参数σ的值就越大，预测误差信号ζ(t)对于复合自适应律的作用也就越强.显然，提高积分时间常数δ可以有效地提高复合自适应律对于系统中未知参数的估计性能.然而，在实际应用中，参数δ不能设置过大，过大的δ值会过多地占用控制系统硬件的存储空间.

5 结语

针对电液伺服系统的高精度位置控制问题提出了一种无须持续激励条件的复合自适应动态面控制方法.利用动态面技术设计非线性控制器，可以避免传统反步控制方法对虚拟控制信号进行复杂偏微分计算所引起的“微分项爆炸”问题.所设计的复合自适应律能够适用于间歇激励条件，松弛了传统自适应方法中严格的持续激励条件.利用Lyapunov方法对系统的稳定性进行了分析，利用MATLAB/Simulink对所提出的控制算法进行了仿真验证.本文所提出的复合自适应控制方法能够在间歇激励条件下有效估计电液伺服系统中的未知阻尼系数与未知刚度系数，进而提高系统的跟踪精度.