辅助函数法在“数学分析”课堂教学中的应用

姜广浩

【摘要】本文在一节“数学分析”的课堂教学中，采用辅助函数法对一道考研题目进行多种方法证明，既体现辅助函数法的优点，又揭示辅助函数的构造本质.

【关键词】辅助函数法;数学分析;课堂教学;应用

一、引 言

在数学分析中，辅助函数的构造有着非常广泛的应用，不仅是对定理的证明，而且在对一系列的题目解答中也得到了广泛的应用.但辅助函数的构造是一个相对复杂的过程，它的灵活性较强，因而，构造辅助函数是一个创造性思维的过程.它的实质不在于对问题本身的求解，而是构造一个与问题本身有着相关联系的辅助函数进行求解.因此，在看到题目时应先分析问题所提供的条件与要求的结论，再结合自身的专业知识和基础技能，构造出合适的辅助函数.笔者从事多年“数学分析”的教学，下面通过一节课堂教学，巧妙构造多个辅助函数来证明两道考研题目，进而揭示辅助函数的构造本质.

二、主要内容

师：同学们好！在研究生入学试题中，下面一道题目经常出现.

师：大家看，如何证明这个题目？

很快有学生回答：利用拉格朗日中值定理.

师：好的，请把方法写出来.

下面是学生提供的一个方法.

师：不错！是否还有其他方法？

接着又有同学回答：利用柯西中值定理.

学生提供的方法如下：

师：很好！是否可以用罗尔中值定理？

没有学生回答.

辅助函数的构造没有固定的模式和方法，它不仅要求学生掌握基本的知識，其思维还需要具有创造性.辅助函数的广泛应用要求我们对基础知识进行深入学习并会融会贯通，这样面对难题时才能处变不惊、事半功倍.通过“数学分析”的课堂教学，师生互动起来，共同创造了一个和谐的大学课堂.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析·上册（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]钱吉林.数学分析题解精粹（第二版）[M].武汉：崇文书局所，2010.