以画图能力为基石 发展几何直观

摘 要：《小学数学新课程标准》明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”小学阶段的孩子对画图比较感兴趣，又容易从中获得成就感。从画图入手，让学生在经历动手操作的过程获得实践经验的基础上发展几何直观。

关键词：几何直观;画图操作;数形结合;图文相符;画图策略;教师示范

小学数学的学习是由具体的形象思维进入到抽象思维，在这一过程中，数形结合相辅相成。几何直观是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。

数学教学中通过画图能够将抽象的数学关系转化成形象的具体图形，利于学生的观察发现、归纳总结。但在课后的反馈中，老师们常常会发现我们通过画图已经讲解很清晰的题目，还是会出现有学生难理解的现象。

一、 几何直观的发展受到画图能力牵制的原因

（一） 学生被动接受图形表征，几何直观受限

低年級的数学教学以具体形象思维为主，不论是课本的例题还是练习的题目都是以图形形式居多，学生通过已给出的图形中找出里面的数量关系、列出算式。升入中高年级以后，学生从具体的形象思维转入抽象思维的过程中离不开图形的帮助，但这些图形表征大部分也都来自课本已经给出的，或是教师在教学过程中主动画图分析呈现给学生。用图形的性质来说明数量关系的事实，非常的直观。但当学生独立审题做题时，发现大部分的学生并不能做到数形结合，以形助数。因为他们已有的经验是借助现成的图去分析问题，被动地接收已经准备好的图形信息，而无法做到主动地去画图表征数量关系。

（二） 学生所画图与文不符，几何直观被阻

有的学生是急于做题，错漏信息;有的是概念不清，导致原则性错误;有的是只关注题中的显形条件，而忽略分析隐形条件;有的是题目类型混淆，没有分类意识等原因。不同的错误原因都会导致最后画出的图形表征与原题不符，使得画出的图不仅没有帮助到学生理解题目，还阻碍他们分析问题。

比如题中出现的洒水车或收割机（图1），已知它们的作业宽度和行驶的速度，和工作地方的图形面积条件，求它们几小时可以完成工作这类的题。学生一开始会觉得无从下手，因为会忽视作业宽度和行驶的速度这两条显形条件下的隐形条件是洒水车或是收割机的工作效率，而这些机子的工作效率往往可以表征成常见的图形——长方形。又如题目已知长方形的长和宽，长和宽各增加1厘米，求图形的面积增加多少（图2）。有的学生画图时并没有意识到到把变化后的图形依旧是长方形。这一类的错误属于概念混淆，长和宽增加应该是每一条长和宽都同时增加，还是长方形。

（三） 学生画图意识和策略的缺失，几何直观难发展

学生画图意识和策略的培养不是一朝一夕的，是需要学生通过长期去实践去发现感受图形表征在分析问题解决问题中的优越性，逐渐归纳出画图的方式方法，形成画图策略。比如锯木头问题，虽然该问题是属于五年级的植树问题，但是在中年级的练习中已经开始渗透。学生往往会把锯木头的段数当作锯木头的次数而直接作答导致错误。这类问题只要一画图就会非常直观看出锯木头的次数要比段数少1，可是很多学生在解决时没有画图意识，直接跳过图用直觉思考（图3）。又如“杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树一共有180棵，桃树和杏树各有多少棵？”这里有的学生根本不会画图，有的画出了两条线段图表示桃树和杏树的棵数各有多少，却不懂如何表征一共有180棵，所以在看图列式时，有学生并不知道最右边的大括号表示“一共多少”（图4）。这就说明他们缺乏画图经验和画图策略。

（四） 教学中不重视画图能力的培养，几何直观无成长沃土

现在很多教师面临着班级学生数量多、学生数学能力两极分化、课时紧张等问题，导致教师往往只关注了当下课程的要求，对学生的数学的长远发展关注不够，没有做到承前启后的作用。学生的画图能力培养不受重视。

由于课时紧张问题，教学中很少有专门的画图课，或是在课堂中放手让学生去画。为了节约时间，教师经常自己边说边画，觉得把题目通过图分析得很透彻了。实则很多数学基础不扎实的孩子没有获得动手实践的经验，往往不知老师在说什么，或是跟不上老师的教学进度，根本不懂得老师每一步得画图的表征意图。这样学生的数学能力不仅没得到培养，数学思维没有得到发展，对数学得学习兴趣也下降了。

二、 提高画图能力，发展几何直观

（一） 画图获得数学操作经验，提高直观感知

几何直观帮助学生从形的角度去思考数的问题，形和数应是相互呼应有机结合才能达到事半功倍的效果。如在三年级的搭配问题中（图5），刚开始时，有的学生会选择画出具体的上衣和下装来进行搭配。接着就有学生会选择用不同的数学图形（正方形、长方形、三角形、圆形等）来表示不同的服饰;有的会选择用文字来表示;有的会选择字母来表示。在接下来的分析讨论中，最后总结出用A1、A2等表示不同的上衣，就可以用B1、B2、B3等表示不同的夏装，以此类推。通过树形图就能分析得出一共几种搭配情况。学生通过自己的画图探究比较发现用最简单最直观的图形表征才是最适合数学分析的。

（二） 画图过程，引领思辨论证，发展几何直观形成数学思维

选择什么样的图，如何作图才能将有效的信息呈现出来，都需要作图者有思辨能力。人教版三年级上册练习二十三第五题“同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人，去动物园一共有多少人？”学生通过画韦恩图对本题分析（图6），直观理解重叠部分表示“两个馆都参观的有18人”，问题就迎刃而解。又如“方阵最外围有20个学生，每行有几个学生？”（图7）如果不画图学生就会用直接用20÷4=5（人），5是不重复数人的情况下每边可以数出5人，但忽视了行和列交集处有1人是重复的，每边实际有6人，最外围总人数才会是20人。借助画示意图就能用直观帮助学生更缜密的思考问题。

（三） 画图能提高直观洞察力，完善数学思维

小学阶段的数学教学中，学生直观洞察力、想象力思维发展还是要借用具体形象的事物作为辅助，通过具体的操作和观察先形成初步的印象，在一次次的实践中内化成脑中的表象。如平行四边形的边长分别是10cm和7cm，其中一条高是9cm，求平行四边形的面积。如果光靠学生没有具体形象为基础的想象很难判断出9cm是以哪条边为底的高。通过画图就直观清晰看出根据直角三角形斜边比直角边长这一性质，发现以10cm为底的高长度不能超过7cm，以7cm为底的高长度不能超过10cm。所以9cm是以边长7cm为底的高，面积就是63cm2。（图8）一旦有了这一类的作图经验，学生碰到类型题时就更有意识地选择画图去分析问题，各种图形表征就储存在大脑中，知识之间的联系框架逐渐建立起来。

三、 培养学生画图能力，发展几何直观的策略

（一） 注重培养解说图的规范性语言

画图的前提首先要会认图，明确图形本身及各部分之间的关系。对图的规范解说培养了数学语言同时也发展了数学思维，让图和文字信息对应起来，为画图做铺垫。画图后也要让学生说一说他作图的过程，分析学生的思路是否合情合理，也起到了回顾检验的作用，让几何直观更精确，数学思维更加完善。

（二） 体会画图的价值，培养画图意识

孩子天生就是喜欢画画的，在教学中适当安排设计一些画图环节，激发孩子的学习兴趣积极参与课堂同时也能够让孩子通过自己的动手画，将抽象的文字条件一一对应在图中。这个过程孩子们收获了宝贵的数学操作经验、发展了几何直观，让学生感受到画图能帮助他们更便捷的思考解决问题、发展数学思维。

（三） 审题选择作图方式

小学阶段常用的图有示意图、树形图、韦恩图、线段图以及长方形图。在教学的过程中教师要有意识地引导学生进行归纳总结不同的情况应该用什么样的图，在学生有初步的感知基础上，让他们多练手多说多做，将不同的情况对应起来，内化成自己的知识。

（四） 由单一关系图入手递进到复杂关系图作图

分析数量关系的时候一般会选择用线段图。复杂的数量关系经常是一环扣着一环，这就需要作图时抓住最本质的关系，从单一关系入手。因此在教学时，画图能力的培养是循序渐进的，从单一的关系画起，才能以单一的关系为基础表征出复杂多重的关系。

如在用方程解决问题教学中，要先从第一个例题入手让学生动手画和差问题的线段图，到最后用画图解决倍差、倍和问题时才能起到深入浅出的作用。人教版数学五年级上册《解决实际问题》例题2中“足球上白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块，共有多少块黑色皮”，用方程解決本题，要先找出等量关系，这就需要用线段图来表示出各数量间的关系。在教学中，我要求学生先思考要先画哪个数量的线段图，原因是什么。学生就能通过自己的尝试作图讨论分析发现，要先画黑色的皮，因为它是一倍量。只有在画出了一倍量的基础上才能画出多倍量。这也为后面学习单位“1”埋下伏笔。画“比黑色皮的2倍少4块”时，学生懂得画图表征“黑色皮的2倍”，但是“少4”却画得五花八门，这里就要引导学生理解是在2倍的基础少4，2倍的线段图要少一小段用虚线画，表示去掉了4块。而如果是“多4”，就是在2倍线段的基础上延伸一小段用实线表示。

（五） 教师起示范作用，学生动手操作

要做到所做的图与文相符合，信息条件一一对应，教师的引导示范作用非常关键。画图分析问题要从模仿开始，学生最重要的模仿对象就是老师。教师从何处入手作图，作图的顺序实则也是数学思想方法的渗透。新知教授或是复杂问题分析时，教师先示范作图，学生再动手自己模仿画图。教师可以通过对学生的图分析发现学生的问题，进而进行指导，更具有针对性。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.中华人民共和国教育部[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

作者简介：陈媛媛，福建省福州市，福州市施程小学。