发展学生数学思维建模能力策略摭谈

董志俊

【摘 要】本文通过对经典的问题及相关知识和结论的剖析，从中提炼关键词，建构思维过程，让学生不断积累基本活动经验，在遇到新问题时，可以快速提取关键信息，形成有效的解决策略，促进学生的数学思维建模的发展。学生的思维建模有助于学生思维品质的培养，使每个学生形成具有个性特征的数学思维方法。

【关键词】经典问题;关键词;思维建模

【中图分类号】G633.3  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）35-0031-04

一、问题提出

笔者在教学中常遇到下述状况：（1）学生对数学问题的解题策略体现出“无章法”，学生在解题时的指向性与组织性不强;（2）学生对一些问题的解决过程呈现出“碎片化”，学生不能把涉及问题的相关知识有效的整合在一起，处在一种似懂非懂的状态;（3）学生对一些问题的细节处理揭示出“欠优化”，解题时往往事倍功半，容易迷失方向，也很难体现数学的简洁美。

以上的状况说明，当学生遇到问题时，缺乏一套相对完整的应对策略，笔者认为“思维建模”能很好地解决上面提出的问题。

二、国内外研究借鉴

“思维建模”的概念最早是由美国密苏里大学的教育专家乔纳森（David Jonassen）教授系统提出。乔纳森在《技术支持的思维建模：用于概念转变的思维工具》一书中认为：思维建模通过思维建模工具帮助学习者具化内部的认知概念模型，促使学习者在建模的过程中积极地调整与修改自我的概念模型结构，并通过多种形式的认知呈现，帮助学习者丰富和拓展内部的认知概念模型的意义。有意义的学习需要概念参与，学习的目标就是概念的转变与发展;对学习者来说，支持有意义学习最有力的策略之一是对他们所学的知识进行模型的建构，思维工具的使用可以看作是能引发和支持概念转变的建模工具。乔纳森的这些思想在整个世界产生了很大的影响。

国内目前也已有部分学者专家对思维建模的理论进行了关注及研究。北京师范大学刘儒德在《建模：一种有效的建构性学习方式》的文章中提出，建模作为一种建构性学习方式，可促使学习者根据先前的知识经验，使用所给与的物件和工具，来探究当前情境，建构起对当前情境的理解，并将自己的这种理解表达出来，从而可促进学生对知识的深层理解和灵活应用。刘教授还具体将建模分为探究性建模和表达性建模两种形式，并提出了关于有关建模的三种抽象水平，即定量、半定量和定性;他同时强调在教学中，教学者可根据学生的发展水平，提供适当的支持，帮助学生展开不同形式、水平的建模活动。《中小学信息技术教育》杂志还曾专门发表郭秀霞研究思维建模的文章《浅析思维建模工具对学习者思维品质的培养》，该文着重对思维建模（思维建模也是一种思维工具）和思维品质做出理论性的研讨。

本文中的“思维建模”强调通过对经典的问题及相关知识和结论的剖析，从中提炼关键词，建构思维过程，让学生不断积累基本活动经验，在遇到新问题时，可以快速提取关键信息，形成有效的解决策略。

三、探析思维建模途径

思维建模不是知识建模，是对学生知识内化过程的模型，知识建模通常是知识的逻辑体系化过程。如何才能实现知识的最优组合与新知识网络的构建，促成学生数学思维的提升，是每一位教师都值得思考的问题。笔者对此作了一些探究，具体过程如下：

1.挖掘关键词，形成知识链。

数学是一门非常严谨的学科，每一个字、每一词都有确切的含义。在高中数学教学中，教师要“字斟句酌”，将每一个字、每一词的意义讲清楚。例如，在教学“函数”概念时，通过对“非空”“任意”“唯一”等几个关键词的分析，能进一步加深学生对函数概念的理解。

提炼关键词除了可以帮助学生认识到数学语言的严谨性，也可以让学生构建解决问题的知识链。学生在学习新知识和练习时，首先要进行读文、读图。在读的过程中要找关键词，把所找到的关键词进行勾画、批注。这一步可操作性强，通过长期落实，学生自主阅读能力自然提高。关键词的提炼是思维建模的前提，学生整合以往所学数学知识和数学经验，制订解决本题解题思路从知识、方法和思想三个维度去探索问题的解决方案。具体如图1所示。

2.剖析经典，设计题组。

哲学家库恩认为学生正是通过学习范例，通过做习题等活动来掌握一门科学知识及其方法，没有范例，科学知识就不能清楚地表达出来。设计题组是思维建模的关键。题组是具有内在联系的一组习题，一般先易后难，问题背景可以不同，但核心知识是相同的。思维建模需经历“感知—感受—感悟”一系列过程，在题组设计上充分考虑学生思维的最近发展区，切合教学实际。在课堂实施中要注重学生的主体性和教师的主导性，让学生积极主动参与教与学的全过程，从而促成各个层次学生思维的最优发展。

例如，在人教版高中数学必修二中有如下3道习题。

（1）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，求M的轨迹方程。（P124）

（2）已知点P（2，0），Q（8，0），点M与点P距离是它与点Q的距离的，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹方程。（P140）

（3）已知点M（x，y）与两定点M1，M2的距离之比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。（考虑m=1和m≠1两种情形）（P144）

它们都涉及平面到到两个定点的距离之比是不等于1的正常数的点的轨迹，其共同的数学背景就是经典的轨迹——阿波罗尼斯圆。教学中可以在分析三道题目共性的基础上，归纳引出阿波罗尼斯圆，并设计如下两个引申习题。

问题1：已知平面向量a，b，c满足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|，若对每一个确定的向量b，记|b-ta|（λ∈R）的最小值为dmin，则b变化时，dmin的最大值為。

问题2：四棱锥P-ABCD满足：AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB则四棱锥P-ABCD的体积最大值为。

设计这样的类似题组，能让学生学会对经典题型和知识点的归类，可提升学生的数学思维建模能力。

3.理清思维脉络，构建逻辑框图。

学生的数学认知过程是一个建构的过程，在数学认知方面需要培养建构思维，建构数学概念、定理、公式、命题以及蕴涵其中的思想方法的思维，建构的结果应符合学生的基本知识与基本技能。为此，提升学生构建数学思维建模能力的第3个策略，是帮助学生形成逻辑框图，理顺解题思路与策略。

例如，如图2，已知抛物线x2=y，点A（-，），B（，）抛物线上的点P（x，y）（-

在教学时要引导学生通过关键词“垂直”，纵横链接相关知识点，构建解题逻辑框图。如图3。

综上，数学思维建模能力的提升是一个逐步的过程。学生的思维建模有助于学生思维品质的培养，让每个学生都有个性特征的数学思维方法，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标。