巧用对勾函数解决物理问题

梁鸿辉

(福建省龙岩第一中学 福建 龙岩 364000)

对勾函数是高中数学的一种典型函数，其形式为

图1 对勾函数图像

高中阶段大家所熟知的均值不等式，其取等时的值正是与对勾函数的极值相对应，关于均值不等式在物理中的应用已经非常多了，如文献[1]就对此作了详细的分析，但是这些仅仅是利用均值不等式取等时的值，当物理量的变化导致无法取等时，学生对物理量的判断往往束手无策，本文正是研究此类型问题．

1 巧用对勾函数比速度

【例1】如图2所示，斜面体固定不动，一轻质弹簧沿光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上．分两次将质量为m1和m2(m2>m1)的两物块从斜面上不同位置静止释放，两次运动中弹簧的最大压缩量相同(弹簧始终在弹性限度范围内)．物块从开始释放到速度第一次减为零的过程，则( )

A．m1开始释放的高度高

B．m1的重力势能变化量大

C．m2的最大速度小

D．m2的最大加速度小

图2 例1题图

答案：A，C，D.

本题的选项C无法直接判断，用常规方法也不容易得出物块质量与最大速度的关系．但是通过能量关系列式，采用对勾函数的相关性质可以做出准确的判断.

解析：设弹簧的最大压缩量为A，平衡位置时压缩量为x0,最大速度为vm，则平衡位置

mgsinθ=κx0

(1)

系统能量守恒有

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

图关系图像

2 巧用对勾函数比时间

A.紫光用的时间较长

B.红光用的时间较长

C.两者所用的时间相等

D.无法比较

答案：A.

解析：光路图如图4所示，折射率公式

(4)

图4 光束通过平行玻璃板光路图

速度公式

(5)

则光在玻璃板内传播的时间

(6)

式(6)并不能直接判断出t和n之间的变化关系，但是市面上大部分练习答案都直接给出n较大则t也更大，这显然是没有对式(6)进一步讨论的结果．

实际上可令

(7)

则有

n2=m2+sin2i

(8)

将式(8)代回式(6)并整理得

(9)

3 巧用对勾函数比功率

图5 例3题图

解析：杆MN上电动势

ε=Blv

(10)

杆MN接入电路电阻

(11)

由欧姆定律得

(12)

联立式(10)、(11)、(12)得

(13)