一道习题的变式研究

黄亚河

尽管现在全社会都在提倡素质教育，减轻学生学业负担，但现在的高中生学习还是非常辛苦。“数学问题是数学的心脏”，提高学习数学解题能力是数学教学的一个重要任务，一题多变，能使学生发散思维，提高学生数学解题能力。因此，对待课本的例习题，绝不能就题论题，应用运动的观点动态处理例习题，是提高解题能力和思维能力的法宝之一，也是创新能力的一种体现。本文以一道习题为例，说明习题演变的方法技巧，供同学们参考。

例题：△ABC中，b=1， b=60°.求a+c的最大值

解：∵b2=a2+c2-2accosB

∴1=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac

∴（a+c）2-1=3ac≤3×（ ）2

∴（a+c）2≤4，当且仅当a=c=1时，等号成立

即a+c≤2

评注：（1） 利用余弦定理找出a+c与ac的关系，

（2） 利用基本不等式把ac转化为a+c，此时注意不等式中等号成立的条件。

变式1：改变结论

（1） 求△ABC的面积的最大值。

解：∵b2=a2+c2-2accosB

∴1=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac

∴（a+c）2-1=3ac≤3×（ ）2

∴（a+c）2≤4，当且仅当a=c=1时，等号成立

即a+c≤2

（2） △ABC中，b=1， b=60°.求a+b的取值范围

∵b2=a2+c2-2accosB

∴1=a2+c2-2accosB

∴ac+1=a2+c2≥2ac

∴ac≤1，当且仅当a=c=1时，等号成立

即S△ABC= acsinB≤

∴△ABC面积的最大值是

（3） 求△ABC的周长的取值范围。

解：由（1）知a+c的最大值是2

利用组成三角形的条件“任意两边之和大于第三边”求出a+c>1，由b=1

所以2

即△ABC的周长的取值范围是（1，2]

变式2：改变已知条件

（1） 锐角△ABC中，b=1， b=60°.求a+c的取值范围。

分析：利用余弦定理和基本不等式只能求出a+c的最大值，而求不出最小值。所以可参考解三角形的另一工具“正弦定理”，把问题转化为“形如y=Asin（？棕x+？兹）”形式的函数，再利用函数性质求解。

解：∵ = = =2R， 且b=1， B=60°

∴a= sinA， c= sinC

∵A+B+C=？仔

∴C= -A

∴a+c= （sinA+sinC）

= （sinA+sin（ -A））

= （sinA+ cosA+ sinA）

= （ sinA+ cosA）

=2sin（A+ ）

∵△ABC是銳角三角形

∴0

∴

∴

∴

∴ <2（sin（A+ ）≤2

即：a+c∈（ ， 2]

评注：本题关键是找出a+c关于角A的函数关系式，在根据A的取值范围求出函数的值域。

（1） 已知条件不变，求△ABC的周长的取值范围

（2） 把“锐角三角形”改成“钝角三角形”，其余不变

（提示：当A是钝角时，a+c∈（1， ）。当C是钝角时，a+c∈（1， ））