浅析数学建模思想在数学教学中的应用

肖厚国

摘  要：数学在高等教育阶段扮演着举足轻重的角色，大学生学习数学知识的过程中，数学建模思想一直发挥着重要的作用，它对提高学生数学素质和解决问题的能力，有着非常重要的意义。在讲授数学知识的时候渗透数学建模思想，加强了实际生活及专业知识与数学的联系，能够强化学生应用数学思想解决问题的意识，提高学生的综合应用能力。最后用实例说明，数学建模思想对数学教学的促进作用。

关键词：数学教学  数学建模思想  线性规划  应用

中图分类号：G623.5                                文献标识码：A                          文章編号：1672-3791（2019）03（c）-0133-02

数学是工科院校必不可少的基础课程，是一门博大精深的科学，其具有概念的抽象性、结论的明确性、逻辑的严谨性与体系的完整性等特性，也是众多科学与技术必备的基础。在数学产生和发展的过程中，一直与各种各样的问题相联系。随着科学技术的迅速发展与计算机的日益普及，人们对问题的解的要求也越来也精确，这不可避免地使得数学的应用也越来越普及、深入;并且依靠数学对所研究问题的建模技术与强大的求解能力，使得其在自然科学、工作技术领域发挥着重要的作用，数学的理论和方法已经渗透到社会的各个领域。

数学模型是描述现实对象数量规律的图形、数学公式或算法，一般是由字母、数字或者其他数学符号组成。它根据问题本身固有的规律，做一些必要的简化假设，运用数学工具得到数学结构。数学建模是一个完整的过程，在理清问题后，进行数据搜集，建立模型求解并对答案进行解释，并逐步修改模型，因此，在进行数学建模过程的同时也锻炼了学生的信息加工能力，它能弥补传统数学课程教学的不足，更注重知识的应用性。数学公共课由于课程的特性——概念多、性质多、公式多、抽象难懂，轻应用，很多学生学起来没有兴趣。而在数学教学过程中，融入数学建模思想，不仅能够激发学生的学习兴趣，提高课堂的效率，还能能够最大限度地培养和训练学生的思维能力和创造能力。

1  大学数学课程教学存在的问题

目前在普通高等院校中公共课的教学现状不容乐观，存在着数学教学中理论教学与实践脱节、学生数学综合素质的缺失等问题。数学公共课课程侧重理论，概念多、性质多、公式多、抽象难懂，过分强调教材，按部就班，不能因材施教，没有专业针对性，使学生觉得大部分数学课程缺乏应用性，空洞，应用数学解决实际问题能力不足;部分学生还存在着错误的认识，他们认为数学知识的唯一用途就是用来应付各种数学考试;很多学生学起来没有兴趣，教师上课也没有积极性，教学效果不佳。这些问题的存在影响着学生数学思维及应用能力的培养及创新实践能力的形成，缺乏能激励学生学习数学课程的积极性，缺少培养学生运用数学知识和数学方法的能力，不利于培养学生的想象力和创造力。

2  数学建模思想的主要概念

数学建模是一门十分重视理论联系实际的课程，它有别于传统的数学课程，它需要学习众多的基础数学课程，如概率论与数理统计、解析几何、数学分析、微分方程、计算数学、图论等课程，其以实际问题为载体，把数学知识，数学软件和计算机编程有机结合，融知识性、启发性、实用性和实践性于一体。简单地讲， 数学建模就是利用数学、物理和计算机等相关学科知识，建立模型解决实际问题的学科。数学建模的主要分为以下几个步骤：建模准备→基本假设→模型建立与求解→模型分析→模型的检验。

数学建模首先去了解要解决问题的实际背景，掌握对象的信息，明确建模的目的。在建模过程中，需要对采集的信息进行加工整理，通过抽象、简化比较具体的、复杂的问题原型，来把握其本质属性，将那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，形成对建模有用的信息资源与前提条件，即把那些对我们关心的问题影响甚微的因素忽略掉，使得所建模型不会因为数学结构太复杂而失去数学可解性。在模型假设的基础上，进一步分析建模假设的各条件，建立各个量之间的等式或者不等式关系，确定其数学结构，选择恰当的数学工具与构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型，再根据已知条件与数学模型的特点，设计出求解模型的数学方法和算法，特别是需要辅助计算机编程，完成对模型的求解。最后根据建模的目的、要求，对模型求解的数学结果进行变量间的依赖关系分析，或进行灵敏度、稳定性、误差等方面的分析，如果不符合要求，重新建模;如果符合要求，可以对模型进行评价、优化、预测。模型分析符合要求以后，必须回到实际中对模型进行检验。

3  建模思想在数学公共课教学中的应用

数学上的不少概念、方法或理论，有些本身就来自在现实生活中的原型，高等数学中许多重要的概念是从实际问题中抽象出来的数学本质，如极限、导数和积分等，在数学公共课教学过程中，在引入数学建模教学内容时，我们首先要钻研教材，挖掘出应用数学的材料进行筛选、加工、应用，对原有的教学内容进行适当的调整，找出一些通俗易懂的实例，尽量以实际问题引出抽象概念，再回到实际应用中去。如在讲重要极限时，可引入如下例子，以便加深理解：设某地当年的人口总数为a0，人口增长率为r，问t年后该地区的人口总数为多少？若人口每年增长一次，则t年后该地区的人口总数为a0（1+r）t，而这种方法与实际不吻合，因为每时每刻都有人出生，若单位时间内增长率相同，如一年分为12个月，每个月增长率相同，则t年后该地区的人口总数为，如果把一年分为n期，当n→∞时的极限即为则t年后该地区的人口总数。通过这个式子，让学生掌握一些数学建模的思想，激发学生的学习兴趣。

在讲导数几何意义和积分以后，引入盯梢和追击模型：甲乙二人，乙对甲进行盯梢，即乙与甲保持一定距离，甲沿直线运动，乙盯着甲而动，求乙的运动路线。在建立模型时需要建立坐标系，使y轴为甲运动的直线，设乙开始时在x轴上的点（a，0），甲在原点，设乙运动轨迹为，由导数几何意义可得到以下式子，上式为盯梢的数学模型。积分可以得到解，從上式可知，当时，;但，说明乙开始在甲的侧方盯着甲而动，但后来受到甲的牵曳。

再比如在讲解线性规划问题时，研究在一组线性约束条件下，求解线性函数的最值问题。引用如下例子，建立运输规划和分配模型：设某种物质需要分别从n个产地A1，A2，...，An运往m个经销地B1，B2，...，Bn，每个产地的产量分别为a1，a2，...，an，每个经销地的销量分别为b1，b2，...，bn，从产地Ai到Bj的运费单价为cij，问如何调运可使中运输成本最少？该问题属于线性规划的运输问题，只要有产销平衡和不平衡两种。设从产地Ai到经销地Bj的运输量为xij，当产销平衡时有，其标准模型为;约束条件为：，，;当产量之和大于销量之时，有，其标准模型为;约束条件为：，，xij≥0，;当产量之和小于销量之和时，有，其标准模型为;约束条件：，，。通过上述引例，让学生了解数学在一些实际生活中的应用，培养学生在生活中运用数学知识解决现实问题的能力。

4  结语

在数学教学中，渗透数学建模思想，能增强学生的数学应用意识，培养学生的数学应用能力和自主学习的意识，提高大学生的自学能力和理解能力，在潜移默化中提升分析问题和解决问题的能力。数学建模利用数学解决实际问题，能够将书本上学到的理论知识和实际问题相结合，需要学生运用数学基础知识，对所建立的数学模型加以分析，利用数学、计算机、物理等相关学科知识解决问实际题，并且能够促进学科与学科的融合，提高大学生学习数学的兴趣，培养大学生的实际应用能力，开拓学生的知识视野。

参考文献

[1] 熊辉.数学建模[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

[2] 王树禾.数学模型选讲[M].北京：科学出版社，2007.

[3] 许建强.数学实验与数学建模课程教学改革与实践[J].高师理科学刊，2018（12）：59-62.