例谈法向量在立体几何中的应用

肖春仔

(江西省定南中学 341900)

大家都知道孙子兵法，古代行兵打仗要讲究谋略兵法，我们解决立体几何问题也要策略方法，胡乱解题是根本解不出答案的.方法不对，不仅浪费自己的时间，也对提高自己立体几何的解题能力没有帮助，甚至经过多次失败后，会挫伤我们的积极性，让我们对立体几何的学习失去兴趣和信心.而解决立体几何问题的一个重要方法就是代数化，就是利用向量代数的方法来解决问题.而其中，法向量在解题的时候有着重要作用，能够使立体几何问题的解决变得方便而又快捷.笔者将法向量在立体几何中的应用做出归纳、小结，并以例题的方式进行浅谈，以便让读者了解这一解题思路，提高解题技巧.

一、利用法向量，可以证明线与面、面与面之间的平行与垂直关系

要利用法向量来证明线与面、面与面之间的平行与垂直关系，主要有这样几种方法.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b,平面β的法向量为c.则在立体几何中，第一，证明线和面平行，就是要证明向量a垂直于向量b；第二，证明线和面相互垂直，就是要证明a向量平行于b向量；第三，证明面和面平行，就是证明b向量平行于c向量；第四，证明面和面互相垂直，就是证明b向量垂直于c向量.例如，在正方体ABCD—EFGH中，各棱长为1，证明平面AFC平行于平面EGD.这时，我们就可以以D—ACH为轴，建立一个空间直角坐标系，利用法向量的方法来进行证明，即用向量平行来证明.虽然，有时候，法向量的证明方法不如传统的几何方法简便，但是却十分的有逻辑性，会降低我们的空间想象难度，提高我们对立体几何问题的解决能力.

二、利用法向量求出角的度数

1.在线面角度数求解中的应用

2.在二面角度数求解中的应用

除此之外，我们还可以利用法向量来求出点面之间的距离.而同时，线与面之间的距离求解、面与面之间的距离求解就是求出点面之间的距离.所以掌握了如何求出点和面之间的距离的方法，就能解决立体几何问题中的距离问题了.综上所述，立体几何问题是高中数学中的重点问题，极其考验学生的空间想象能力.但我们都知道，学生的空间想象能力一般都比较差，所以要把这方面的知识学习好是比较困难的.而法向量在立体几何中的应用能极大地减轻学生这方面的压力.让只能想象的解题思路，有了坐标轴作为依托，极大地促进了学生对这方面的解题能力，还能让学生更加灵活地掌握和运用向量的有关知识，锻炼学生对数学知识的综合运用能力.也希望教师能不断改进和创新自己的教学方式，培养学生对立体几何的学习兴趣，提高学生立体几何的解题能力，增强学生的数学思维和数学素养，为学生的学习打下良好的基础.