函数中“解析式”、“表格”、“图象”的三位一体教学

侍书丽

(江苏省苏州国际外语学校 213151)

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合包括两个方面：一是“以数解形”，二是“以形助数”.初中数学的函数教学中，画函数图象是函数中数形结合思想的正式开始，这一思想有一个要求是函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，所以教学目标是让学生达到见“数”脑中就要有“形”，见“形”脑中就要有“数”的境界，即实现函数教学中“解析式”、“表格”、“图象”的三位一体.

一、在初学函数图象的画法时精心设计能搭建三者关系的问题

一次函数图象的画法是学生第一次学习，他们的认知基础是小学学习的折线统计图，如何实现从解析式到图象的转换呢？我对画图三部曲“列表——描点——连线”是这样思考的：

案例画函数y=2x+1的图象.

(1)精设问——所设问题具有启发性，引出下一环节

针对函数关系式，设计这样的三个问题：(1)两个变量可以取哪些数，即取值范围是什么？(2)对自变量x每取一个值，对应函数值y与之有怎样的数量关系？即对自变量x每取一个值，对应函数值y都比x的2倍大1；(3)如果将x取的每一个值与对应的y的值形成一对有序数对，会想到什么？即平面直角坐标系中有序数对与点的关系.

(2)巧过渡——每一环节都有其各自的作用，但又相互联系，所以过渡要自然

紧接上面的第三问指出：每一个有序数对如何体现呢？数学中，表格最能体现两个量之间的关系.特别注意的是：列表绝不仅仅是画图的一个工具，还是“以数解形”的良好铺垫，故列好表不用急着画图，而是要“驻足”看一看表格中到底蕴含着什么规律？是否有解析式所看不到的东西？

x…-3-2-10123…y…-5-3-11357...

(3)慢思索——每一个结论都要通过探索得到，要能水到渠成

①除了表格两端的省略号表示还有无数有序数对没能体现以外，一定要让学生明白，其实每两个整数之间也有无数有序数对没能体现，这样才能解释画出的图象为何是线.

②每一个有序数对除了y是x的2倍加1外，还要能发现x每增加1，y便增加2.这是为什么呢？是解析式中哪个量引起的呢？这里要让学生去思考并发现，是由比例系数k决定的，若函数解析式是y=3x+1则表示x每增加1，y便增加3，学生这时会想，若是y=-2x+1呢？这样做有三个好处：Ⅰ.图象的两类不同趋势就自然在脑中形成了，无需依靠画一批函数图象通过观察归类而得到，学生多了一层探索和理解，紧紧抓住了问题的本质；Ⅱ.以后有一类题是给出表格中数据，如何判断是学过的哪一类函数，学生便可依靠x每增加某相同的单位，y也增加或减少另外的某相同的单位来判断是一次函数；Ⅲ.比例系数|k|可以通过算tanα(其中α是直线与x轴的夹角即坡角)的值来确定，既方便又准确.

③描点、连线过程中，描出第一个点，而准备描第二个点时，一定要让学生体会x变大时，点便会向右移，而y变大时，点会上移，如此，x变大而y也同时变大时，点会朝右上方移动，这样学生不难体会朝不同方向时，x、y是如何变化的，学生才会对增减性有一个系统性的认识.而且边描点时要边体会每两个点都是网格中“横1×竖2”的长方形对角上的两个点，这样才会让学生对图象是一条直线心服口服.

上面的案例说到底就是讲究一个“慢”字和“探”字，著名教育家约翰杜威指出：““慢而稳”才能使印象较为沉着，思维较为深澈，问题感觉得深，思维才能渗透得切，任何教学，仅为报表记忆、夸示娴熟等，而把问题轻轻掠过，不去深刻思维的都违反了真正的思维训练的方法.”大多数老师这三步进行的是很快的，因为还要画更多的图，然后通过所画的图象总结相关的性质，然而我在这一“慢”一“探”中，所有的性质不仅全部形成，而且都是在理解的基础上形成，学生的思维得到了发散和深入，一幅图可见无数图，即见树木亦见森林.

二、在一定认知基础上画图时要仔细剖析和驻足观察内在联系

我认为，只有实现函数教学中“解析式”、“表格”、“图象”的三位一体，才能真正地实现“数形结合”思想的渗透；只有实现函数教学中“解析式”、“表格”、“图象”的三位一体，才能更深入地探究复杂函数里的难点问题.例如：二次函数的左右平移问题，本可以通过画一组函数图象，可轻松看出平移的规律，但事实上，学生总是觉得奇怪，因为点在坐标系中移动时，若向右移动则点的横坐标变大，而向左移动则点的横坐标变小，那按理应该是“左减右加”才对啊.通常老师只会向学生解释说这两者是不一样的，或不厌其烦地再拿出画的图让学生看，事实摆在面前嘛！为了解决这一问题，下面的案例我是这样设计的：

案例画出二次函数y1=x2与y2=(x+1)2的图象.

(1)关系式所体现的数量关系可折射出点的位置关系

学生已经有了画图的经验，是可以快速画出来的，但是，在画图之前，我抛出了一个问题：当两个函数值取相同的值(正数)时，自变量x的取值有什么联系？这个问题看似简单，但一下子让学生有了思考并发现：第二个函数自变量x的两个取值分别比第一个的两个小1，有了这个思考，其实已经为后面的研究埋下伏笔，已经能够理解后面的结论了.

(2)表格所体现的点的位置关系可折射出图象位置关系

所列表格如下：

x…-52-2-32-1-12012132252…y1…94114014194…y2…94114014194…

我国数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休！”结合上面的两个案例，都足以说明函数关系式、表格和图象之间成一一对应的关系，这种一一对应想要有机结合，需要我们一一去探究并通过设问架起搭在它们之间的桥梁，而不是在已经完成了的“成品”上观察归纳，这样会使学生越来越把记结论变得理所应当，而失去了学习数学的兴趣，更失去了数学本身的意义了.