重视“好题”讲评，研发“一题一课”——以一道县区模考题为例

筅江苏省南通田家炳中学 严 莉

不少地区都是以地级市为单位组织中考命题，所辖的各县区在模拟考试中的命题导向往往都会精准应对中考试卷.这些模拟卷中常常会出现一些精彩的原创题、好题，如何发挥这些好题的讲评功能，提高学生解题能力，让学生从“解一题”走向“会解题”的能力发展呢？近期，笔者针对本地区一道模考题研发了一节“一题一课”考题讲评课，取得了较好的讲评效果，引发几点思考，现整理成文，供研讨.

一、“一题一课”教学设计

教学环节（一） 考题呈现，一题多解

考题：如图1，△ABC的角平分线BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所对的边记分别为a、c.

（1）当c=2时，求a的值；

教学预设：由于第（1）问方法很多，教学时引导学生在小组内交流、梳理不同解法后，再全班展示、互相学习不同解法.我们预设一些解法的思路，以便学生还没有出现类似解法时进行思路的启发.

思路1：如图2，过点A作AE⊥BD于点E.结合角平分线性质，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，则BE=

图2

由BE=BD，得点E与点D重合，则AD⊥BD.则a=c=2.

思路2：过点A作AH⊥BC于点H.结合外角∠ABH=60°，在Rt△ABH中，BH=c=1，于是可证△ABH△ABD，从而可得∠BDA=90°，进一步再证△ABD△CBD，问题获得突破.

图3

图4

思路3：如图4，过点D作DH⊥AB于点H.在Rt△BDH中，∠ABD=60°，BH=，于是AH=.在Rt△ADH中，可利用锐角三角函数求出∠ADH=60°.在Rt△BDH中，∠BDH=30°，则BD⊥AC，于是可证△ABD △CBD，从而问题获解.

思路4：如图4，过点D作DH⊥AB于点H，分别求出BH=.在Rt△ADH中，可利用锐角三角函数求出∠A=30°，于是由三角形内角和可得∠C=30°，则BC=AB=2.

思路5：如图5，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥BC于点G.分别求出BH=，DH=DG=.在Rt△ADH中，可利用锐角三角函数（或利用三角形相似）求出∠A=30°，于是由三角形内角和可得∠C=30°，即BC=AB=2.这种思路比思路4要繁冗，教学中如果学生构造了两条垂线段，可以画在黑板上收集起来，对这一小问来说有些思维回路，但是对后续问题的探索是有效的辅助线.

图5

图6

思路6：如图6，过点D作DM//BC，交AB于点M.先证△BDM是等边三角形，得BM=BD=1，于是AM=1，接下来有不少路径，比如，由DM=AM=BM，可得∠ADB为直角，从而获得思路贯通；或再证△ADM △ACB，根据对应边之比可得BC=2.

限于篇幅，我们不再展示其他思路.据本题的阅卷报告，该题多达20多种方法，教学时安排学生展示出5~8种即可，不必太多，有些路径相近的可归到一类解法，如果本质上不一样，要引导学生叙述它们的不同点，辨析解法的不同也是需要重点培养的能力.

教学环节（二） 拾级而上，前后呼应

问题“题干”不变.

（2）求△ABC的面积（用含a、c的式子表示即可）；（要求：至少给出两种不同解法）

（3）求证：a、c之和等于a、c之积.

教学预设：在第（1）问充分探究多种解法之后，第（2）问表示△ABC的面积也有很多思路，学生应该能想出多种方法，这里仍然安排学生进行多解展示交流.以下也预设几种解法.

思路1：如图7，过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G.

图7

图8

思路2：如图8，过点C作CH⊥AB于点H，用含a的式子表示出CH=a.于是S△ABC=AB×CH=

图9

以上两种思路都是基于面积法，这时注意启发学生对比两种解答结果的不同，并检查过程中有无错漏，如果确认无错，进一步可将成果扩大得出考题第（3）问的解答.比如，通过上面两种面积表示方法a，就可直接获解.另外，学生还可以从上一问其他解法得出解答，这里再提及一种思路，如图9，过点C作CE//AB，交BD的延长线于点E.可证出△BCE为等边三角形，所以BE=EC=BC=a，所以DE=a-1.由△CDE△ADB，得所以整理可得a+c=ac.

教学环节（三） 变式再练，拓展挑战

【变式改编】定义：在△ABC的边AC上取一点D，连接BD.当时，称线段BD为△ABC的“比例线”.

已知，如图1，△ABC的“比例线”BD的长为1，且∠ABC=120°.

（1）当AD=CD时，求BC的长.

（2）△ABC的内角∠A、∠C所对边是a、c.

①求证：a+c=ac.

（***供学有余力的学习挑战***）

②分析a、c之和有没有最小值.如果有，求出它的最小值；如果没有，请说明理由.

教学预设：第（1）问所给强化条件“点D恰为AC的中点”与原考题的第（1）问的强化条件是等价的，学生可以从不同角度进行突破，有效反馈这节课的讲评效果.

（2）①对应着上文考题的第（3）问，这里略去思路.

二、教学立意的进一步阐释

1.发挥“一题多解”的教学功能，促进学生深刻理解关联知识

一题多解是不少经验型教师在解题教学时经常进行的，但是一题多解不能只是简单地展示一道习题的多样化解法，甚至无度展示、炫耀不同解法，这对于提高解题教学效率无甚益处.我们认为，要努力通过一题多解促进学生深刻理解与考题相关联的不同知识点，这才是有意义的.上文考题的第（1）问虽然不难，但通过一题多解的展示、对话、互评，能促进学生理解角平分线、60°角、直角三角形、相似三角形、面积法等很多数学知识点之间的关联.可见开展一题多解的教学，需要深刻理解考题的结构，还要想清不同解法对应的关联数学知识是否适合本课时的复习目标.

2.注重变式再练的检测反馈功能，结合学情相机给出拓展问题

在上文“一题一课”教学设计中，我们最后给出了“变式再练”，通过改编设计成一道“新定义”习题，实质上仍然是三角形的角平分线带来的比例性质.结合学情，如果多数学生都能顺利掌握所讲评的问题，可相机给出拓展问题，让学有余力的学生挑战最后一问，这一问涉及高中“基本不等式”，但是优秀学生利用八年级就学习过的配方法也可进行有效转化.顺便提及，这个拓展问题是受一道江苏高考填空题的启发而改编的.当然，如果班级整体学情不好，对前面所讲评的不同解法没有充分消化理解，则这个拓展提升就不必呈现，这也正是“相机教学”的又一内涵.