数学建模在常微分方程中的应用

陈尹刚

[摘要]建立数学模型来解决数学学科中的问题可以说是目前理论联系实际最好的例子，运用模型与实际情况之间的微妙联系对问题做出合理的分析和选择最优方案来解决问题，这是一种将理论知识上升为个人能力的最好途径。本文通过先介绍常微分方程同数学建模的关系，进而提出将常微分方程运用于数学建模中，用实例展现出数学建模中常微分方程的运用方式。运用数学建模方式解决生活中的实际问题，在此过程中常微分方程的运用，使得解题过程更加合理，并且极大提高实际问题的可解性。

[关键词]数学建模;常微分方程;应用

[中图分类号]G642 [文献标识码]A [文章编号]1671-5918（2019）06-0103-03

doi：10.3969/j.issn.1671-5918.2019.06.046 [本刊网址]http：//www.hbxb.net

在数学专业的课程中，常微分方程是一门基础性的必修科目，在目前的教学环境下，常微分方程与数学建模相结合，是一种最有效最直接的解决理论知识与实际问题的方法，也是目前教学模式中最常使用的一种教学手段。通过教师建立模型将书本中的理论和实际情况进行一个实体转换，有效的缩小了解题难度，也提升了学生的思想灵敏度，强化了几何空间想象力和建模思维等，所以建模思维在解决常微分方程这类抽象问题上通常具有重要作用。

一、常微分方程在数学史中的历史发展

在17世纪中期，从普通微分方程中分离产生的数学专业，属于数学学科的一个重要分支，同时也是一个高度与现实结合应用的主题。不过目前对于常微分方程的教学，老师都侧重于微分方程理论的重要性，从而忽视了学生的综合实践能力，导致很多学生都缺乏应用常微分方程到实际中的能力。微分方程中高度应用的数学建模方法，是解决具体问题的模型也是实践现象与数学理论的结合。这种相对固定的方法是培养学生的思维方式和研究技能的应用。常微分方程作为数学专业的培养方案中一门重要的基础性学科，其发展进程也是有着一定的历史渊源的，从最初同时代的微积分和微分方程的诞生开始，就为后来的常微分方程的萌芽埋下了种子，常微分方程从19世纪后半叶开始，才逐渐发展成数学学科的一个分枝。

（一）微分方程与其他学科间的发展关系

数学中的微分发展与其他学科的科学技术发展也有着密切的联系，如物理这一学科中的力学部分，尤其是机械力学和天体力学这两个分支，当时牛顿在研究天体行星的运动轨迹时也运用了微分方程来解决研究过程中所遇到的问题。在天文科学领域中，科学研究者们也经常使用这一工具，例如历史上海王星的位置发现和确定，就是两位著名天文学家结合微分方程进行计算推演而得出的。由此可以看出，人类在认识自然和发现自然的过程中都离不开微分方程这个充满能量的学科。

（二）常微分方程的诞生

在微积分和微分方程不断发展的过程中，一些小的分支部分又被拿出来做了重点研究，例如因为微分方程中涉及函数的导数，一些自变量的计算以及未知函数，在碰到实际问题时往往有点难以划分，所以就慢慢形成了常微分方程。常微分方程的概念是：在一个微分方程里如果出现了只包含一个自变量的未知函数，则这个方程就被称为常微分方程。我们也可以简称它为微分方程，它向我们表达了量与量在运动过程之中的关系，并结合客观世界做出规律解释，常微分方程作为一个重点分支发展到现在，已经有了其完整的理论系统，合理的运用常微分方程也已经是我们人类探索自然解决现实问题的一个重要途径了。

二、建立数学模型

建立数学模型是学习数学专业的人必备的一项重要技能，目前也有许多高校学生自发的设立了数学建模社团，开设数学建模比赛项目等等，这都说明建模这一科学思维在人们心中占有的地位正在逐渐提高。而我们如果想要运用书本上的数学理论知识来解决生活中的实际问题时，就一定离不开建立数学模型，把抽象的问题具体化，化虚拟为实物，就很容易解决了。

（一）数学模型的运用

运用数学理论来解决生活中的问题，建立模型是不可或缺的一个步骤，建立数学模型可以將事物的内在核心关联放大，外部的干扰信息被剔除，体现出它本身固有的特性本质和规律特征，使问题更加清晰简单的呈现出来。让我们可以透过表象看到本质，将一些错综复杂的问题的核心部分直接呈现出来，侧重于主要目标，建立起物与物之间的内在关联，发现内在规律，最后结合理论知识来加以分析理解最终达到解决问题的目的。要将灵活地运用常微分方程，首先将数学建模和常微分方程结合起来，将数学建模思想渗透到常微分方程的教学过程中，使学生了解问题的本质，进一步提高解决问题的能力，也激发了学生学习常微分方程的兴趣，提高了学生在实际问题中应用常微分方程的能力，也锻炼了学生对数学建模的分析能力，因此高中数学的教学，应该把数学建模思想发展开来。理论与实际的结合使得建立出的模型更加贴合实际，对最终需要解决的问题更加有利。

（二）建立数学模型的方法

在建立数学模型的过程中，首先要根据实际问题本身出发，用理论联系实际的方法，针对不同的问题，结合实际具体分析，来确定一个合理的模型。比如在解决求一个几何物体的表面积时，我们就可以根据几何的理论知识，确定变量，函数以及未知量之间的联系，建立一个便于理解的实体模型，将多维的物体平面化，从而解决这个问题。在求概率问题，例如买福利彩票中奖概率等，也可以运用建模方法来解决，还有求变化率的时候可以运用导数模型，或者统计学科中的抽样调查等等问题，都可以采用建模思维，对应不同的问题建立不同的模型，这是一个解决实际问题的十分重要的方法。

在建立数学模型时，需要合理的假设，合理的假设源自初步的调查和对研究问题的分析，通过分析得出假设，然后用一定的数据进行验证假设的合理性。在生活中，许多问题都需要进行理想化的假设，例如将人口数作连续化处理，但是并不是所有的这类问题都可以进行连续化处理，比如说这种人口数已经确定下来，并且人口数没有达到一定的数量，这些情况将人口数量做连续化处理，就会存在问题，甚至使得自己建立出来的模型得出的结论不具有科学性甚至会出现错误。

三、用常微分方程来建立数学模型

将建立数学模型与常微分方程相结合，更有利于解决生活中所面临的实际问题。通常数学模型根据建立的方法不同大致可以分为几何模型，图论模型，微分方程模型，马氏链模型，初等数学模型以及规划论模型。微分方程模型就是我们介绍的重点，利用它我们又可以得到何种结果。

（一）常微分方程的模型建立

当我们所要求的问题是一个客观世界中的不断运动的状态时，它就具有了许多的不可预测性，这个时候我们通常就会建立微分方程模型，用来计算事物的内在变化规律，简单了解它的未来趋势，尝试分析演变过程或者预测变化形势等，总而言之，就是要将生物科学，化学科学，物理科学等等各种各样的科学技术相结合，不仅如此，还要杂糅社会科学和工程科学的内在规律和自然原理等，才能够建立起一个完整的常微分方程模型。在常微分模型里面可以结合计算机的知识，这样可以使得常微分问题能够被有效和快速的解决。探讨常微分方程的图像如何随时间的变化而变化，就需要通过引入模型的方法来研究，不过模型的形成过程一般比较复杂，我们很难用笔计算来解决它。因此，我们必须使用适当的数学软件来解决数值问题，我们也可以使用该软件来模拟数值。这不仅可以提高学生学习常微分方程的兴趣，而且可以提高学生利用数学建模思想解决常微分方程实际问题的能力。

（二）常微分方程模型的运用

常微分方程模型的应用有很多，例如地球人口预测，著名的有马尔萨斯模型和逻辑模型，都是运用常微分方程来解决人口剧增危机。虽然马尔萨斯模型不是完全正确，但是也为预测人口增长起到了积极作用，不仅可以用来预测人口，还可以用来预测任一物种的发展趋势，在人类认识自然中，逻辑模型就有着非常广泛的运用。

我们可以通过一个例子来进一步了解常微分方程模型的应用，例如振动模型。我们的生活中随处可见振动，不管是医疗上的核磁共振，还是工业上的电机驱动，都离开振动，那么生活中的大多数振动问题，都可以用下面这个例子来描述。

我们来假设在木板悬挂一个弹簧，将它的上端固定住，在其下端垂挂一质量为m的物体，来研究其振动规律。那么我们就可以先取其平衡点，再在平衡点上进行受力研究，除了重力与弹力大小相等方向相反，是一对作用力与反作用力以外，剩下的就是质量为m的物体所带来的力了，结合位移与初速度，在振动过程中所受的阻力，根据牛顿第二定律列出方程。再根据有无阻尼，以及是否做强迫运动等进行具体情况具体分析，用不同的方程来计算出设置的未知量，这就是一个完整的常微分方程模型的应用过程。

在常微分方程的研究中，每个理论之后都有许多具体的例子。我们可以应用一些简单的问题，用数学知识描述具体问题，并对它们进行合理的分析，进而确定后使用哪类理论知识和常微分方程，并将学习的微分方程应用于实际问题，达到将教学内容与数学建模方法相结合，从而有效地解决实际问题。

（三）常微分方程模型的發展趋势

常微分方程模型来源于实际生活所产生的问题，只要我们实际生活中的问题不得以解决，那么这个模型就会持续地发展下去，并且在未来的时间里，科学技术得到了更全面的提升，那么常微分方程模型这一科学方法也必将得到更大的发展。在不同的领域中，不断地更新迭代，用新的数学模型开建立新的常微分方程，去解决可能遇到的更多问题。这是一个十分重要的工具，以后会涉足这个领域的学科也必定会越来越多，所以未来肯定会有更多的人从事研究这个行业，将现在存在的不足加以改善，形成一个更完备的常微分方程模型系统向社会推行。

四、结论

数学建模与常微分方程的结合应用，是时代选择的成果。它不仅仅是一个研究物质与物质之间的内在联系，量与量的变化规律的工具，也是一个联系众多科学内容的桥梁，是解决实际问题与理论知识相结合的重要纽带。历史上有许多著名科学家是运用了这个工具才解答了很多未知的问题，提出了更多新的猜想，不仅在物理科学，天文科学中有着至关重要的作用。在自然界里，在航海领域中，在计算机科学与技术领域中，在经济学里，在探索人与自然的和谐相处中，它都有着举足轻重的地位。本文只是从小的方面阐述了它的部分意义，实际上在生活中处处可以找到它的影子，常微分方程已发展了三百多年，它的理论依据与研究也在逐渐趋于完善。相信在不久的将来，这个工具会成为人类的日常用具，在解决未来社会各个领域的问题中，它都有着不可或缺的地位。