对一道安庆“二模”试题的异议

安徽省枞阳县宏实中学

朱贤良 (邮编：246700)

2019年3月21-22日，是安庆市高三“二模”考试时间．由于命题细致考究(安庆“二模”有专门的命题组)、参考学生众多(整个安庆地区及周边市县的部分高三学生参加考试)、时间节点恰当(一轮复习即将结束、二轮复习即将开始)等原因，其考试成绩具有重要的分析与参考价值，因此每年的安庆“二模”都备受重视．理科数学第12题引起了笔者的关注与思考．

1 试题与参考答案

题目(2019年安庆“二模”·理12)若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域与值域都是[m,n](m

A．(1,+∞) B．(e,+∞)

参考答案函数f(x)=logax的定义域与值域相同等价于方程logax=x有两个不同的实数解．

图1

2 图象法另解

图2

3 被遗忘的情形

不难发现，上述两种解法实际上都是建立在“a>1”这一前提下的，其本质是研究a>1时，y=logax与y=x的交点个数问题，也就是函数y=ax与y=logax的交点个数问题．而未对“0

即m=an=logan．同理可得n=am=logam．问题归结为方程ax=logax的两个不等实根m、n，即曲线y=ax与y=logax至少存在两个不同交点(注意：由于m=an=loganm，故此两个交点均不在直线y=x上)．

图3

图4

同底的指、对数函数的图象的交点个数问题是一个极易犯错的问题，其研究与分析在中学数学期刊上并不鲜见．许多师生认为0

事实真的如此吗？借助画图软件，绘制了底数a=0.02时的函数y=ax与y=logax的图象，如图4所示．根据图象可以看出，y=0.02x与y=log0.02x的图象共有三个交点，其中有两个交点(0.0315,0.8842)与(0.8842,0.0315)(横、纵坐标为四舍五入后的近似值)不在直线y=x上，即函数f(x)=log0.02x在区间(0.0315,0.8842)上的值域也是(0.0315,0.8842)．再以底数a=0.001为例绘制函数图象(图5)，函数f(x)=log0.001x在区间(0.0011,0.9928)上的值域还是(0.0011,0.9928)．

图5

因此，本题的四个选项均不正确，其根源在于对同底数的指、对数函数图象的交点个数存在错误的认知．

4 正解