传统数学好课中有核心素养落实吗？

江苏第二师范学院数学系

胡晋宾 (邮编：210013)

南京师范大学附中数学组

刘洪璐 (邮编：210003)

1 研究缘起

《普通高中数学课程标准(2017年版)》以数学核心素养为基本理念，指出数学核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，数学核心素养包括数学抽象等6种.许多一线优秀教师的日常教学设计，就与数学核心素养落实是高度契合的.2017年12月1日是百年名校南师附中的教学开放日，数学组资深教师兰松斌应邀开设了一节《三角函数的周期性》的公开课并进行了网络直播，受到了许多专家和听众的一致好评.以下结合现场观摩和录像整理，从数学核心素养的课堂落实角度进行探讨.

2 过程实录

2.1 教学导入(时间00′00″—07′50″)

师：今天是12月1日，农历丁酉年十月十四，前两天南京的天气非常沉闷，今天终于出现了太阳，我们当然希望也有月亮，正好我早晨打开手机一看日历，明天就是十五啦！我们常说，十五的月亮最圆，我忽然想起了这样一副对联：天上月圆，人间月半，月月月圆逢月半；今夕年尾，明朝年头，年年年尾接年头.请同学们给它加一个横批吧.

生(众)：周而复始.

师：很好，这是一个周而复始的现象.在日常生活中、在自然界，我们常常会遇到类似的现象.同学们，你还能举出类似的周而复始的现象吗？

生(众)：昼夜交换、四季更替、摆钟、时钟、人的心跳.

师：嗯.人的心跳，要是这个人生病了怎么办？(就不是周期性的)(学生笑)

生：太阳直射点移动.

师：这个问题比较专业，我不能加以判断.还有吗？

生：车轮上一点的轨迹.

师：这个应该是的，这个应该是旋轮线……慢，这个可能不一定.(学生笑)……你这么说，是有一些问题的……还有吗？

生：红绿灯.红绿黄交替.

师：类似的现象举不胜举.比如：星期几过7天就重复，白居易的“离离原上草，一岁一枯荣”，周华健的“黑夜又白昼，春去春会来，花谢花会再开……”我们统称这种“周而复始”现象为周期性.(板书“周期性”)

问题1 今天是12月1日星期五，再过1000天是星期几？(学生很快得到答案)

师：这个问题很简单，是被7除的余数.让我们从数学上，更确切地说从函数观点来看，自变量x(与今天相隔的天数)与函数y(星期几)之间有何关系.教师板书并归纳.x：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9…对应的y：5，6，7，1，2，3，4，5，6，7，…从中我们发现x与y有怎样的关系式？

生：f(x+7)=f(x).

师：这种函数具有“周而复始”的性质.什么叫做周而复始呢？就是又回到原来的函数值了.

问题2 教材第18面诱导公式一中，令k=1，有sin(α+2π)=sinα，cos(α+2π)=cosα，tan(α+2π)=tanα.从上面的公式中，能看出y=sinx，y=cosx，y=tanx的共同特征是什么？能用一个数学表达式表示出来吗？

生：f(x+2π)=f(x).

2.2 讲解新课(时间07′51″—14′30″)

师：这两个例子都具有周而复始的性质.从这个诱导公式一可以看出，三角函数具有周期性.正弦函数、余弦函数、正切函数具有奇偶性，但具有奇偶性的不只有三角函数.通过刚才的讨论，我们发现三角函数具有周期性，那么具有周期性的函数是否只有三角函数呢？为此，要研究怎样的函数可以称之为周期函数，也就是说，怎样给周期函数下一个定义呢？从上面2个例子中，如何概括出周期函数的定义呢？

生：一般地，如果对于函数f(x)，存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

师：你为什么要说是非零常数T呢？

生：假如T=0的话，那么f(x+T)=f(x)对于任意的函数都成立，那就没有意义.

师：从以上定义可以看出，正弦、余弦和正切函数都以2π为周期.既然周期性如此定义，定义域内的每一个值都满足条件，那么它对定义域有什么要求吗？这个问题比较难、不好思考，具体地，比如T>0，将会怎样？

生：定义域大于0.

师：当T>0时，根据f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=…=f(x+nT)，那么在数轴右边将走向无穷.如果T<0，那么在数轴左边是无界的.所以对于周期函数，定义域至少有一端是无界的，可以在一端是有界的.因此，周期性对定义域是有严格要求的.注意：①T是非零常数；②任意x∈D(D为定义域)，都有x+T∈D，可见周期函数定义域必定至少一端无界；③周期性是反映函数在定义域上的整体性质(同奇偶性单调性一样).

2.3 巩固理解(时间14′31″—30′18″)

生：①③错误，②④⑤正确.

师：①是错误的，为什么？

生：按照定义，它们构不成因果关系.

问题3 函数y=sinx，y=cosx的周期除了2π之外，还有没有其他的周期呢？它们到底有多少周期呢？

生：2kπ，k∈Z，k≠0.(师强调k≠0)

问题4 对函数y=sinx，y=cosx而言，是否存在比2π更小的正周期呢？(教师当堂板书证明，2π是正弦函数的最小正周期，强调反证法使用时关键在于否定结论并列举反例)

问题5 是否所有的周期函数，都具有最小的正周期呢？更确切地说，是否所有具有正周期的周期函数，一定有最小正周期呢？先给出最小正周期的定义，即对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做函数的最小正周期.

生：不.常函数.它对于任意的正数，都是它的周期，因此没有最小的正周期.

师：嗯，y=2，这个是平凡的例子，找不到它的最小正周期.有没有不是平凡的例子，它不是常数函数，但是它是周期函数，并且没有最小正周期呢？

生：……

师：想一想课堂上曾经讲过的函数，并说明原因.

生：狄利克雷函数.

生(众)：有的说周期是任意实数，有的说周期是除0以外的有理数.

师：狄利克雷函数是一个经典的案例，除0以外的所有有理数都是它的周期.但是，在所有的正有理数中，并不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.以后大学学习时，大家会知道它经常作为数学分析中的反例出现的.

2.4 课堂练习(时间30′19″—46′00″)

问题6 正切函数是周期函数吗？若是，它有最小正周期吗？

生：有.从诱导公式tan(α+π)=tanα可知.

师：此处需要注意的是，正切函数的定义域有限制.当然，我们也可以证明正切函数具有最小的正周期π，此处我们从略.这就是我们今天研究的三角函数的周期性.(教师在原来“周期性”板书的前面补加“三角函数的”板书)

师：根据刚才的定义，以及类似例2的方法可以推导.如果ω≠0,那么结果是什么？为什么？

生：取绝对值.

师：为什么？

生：因为T>0.

师：这不对，这是混乱的逻辑.(学生笑)如果ω<0，那么情况会是什么呢？

生：……

师：这个问题考验大家的理解和转换能力.有人想出来了吗？(众生沉默，在思考)

生：我可以把负号提到外面去.

图1

例3 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图1所示.①求该函数的周期；②求t=10s时钟摆的高度.(教师一带而过，指出t=10s时可以利用周期性进行转化，过程略)

问题7 教材第19页第四组诱导公式sin(π+x)=-sinx，cos(π+x)=-cosx，将之推广到一般函数，即满足的关系式为f(π+x)=-f(x).试问：满足该式的y=f(x)是周期函数吗？(如果定义域是R)能概括出更一般的结论吗？

生：是周期函数.但是周期是……

生：是周期函数.如果……先代入……

师：你代100个值也没有用啊，你难道不知道周期函数的定义是对任意的数值都成立的吗？(学生会心一笑)

生：因为f(2π+x)=f(π+π+x)=-f(π+x)=f(x)，所以2π是它的周期.

师：更一般地，你能概括出什么结论？

生：如果f(a+x)=-f(x)，那么2a一定是它的周期.

师：嗯，很好，其中的a是常数.这就说明诱导公式四揭示了正弦和余弦函数都是以2π为周期的函数.今天，我们学习了周期，这有什么用呢，实际上它可以用在简谐振动分解的周期延拓和周期函数的傅里叶级数展开等方面，函数周期性具有重要价值.

2.5 回顾反思(时间46′00″—48′00″)

师：通过这节课学习，你们有哪些收获？

生：利用周期性，可以从特殊性结论得出一些普遍性结论等.此外，还有一些有关周期性的具体结论.

3 设计浅析

3.1 教学内容：数学知识的深度理解

数学核心素养的培养不是空穴来风，而是立足于知识的深刻把握，来源于问题的成功解决，取决于数学思维的参与经历.对于函数的性质，高中主要研究周期性、单调性、奇偶性以及最值等.作为一个整体性的概念，周期性的一个认知难点是，利用有限来认识无限，把周期性作为一个模型来驱动三角函数的学习.在有的版本教材中，是先讲三角函数的图象再讲周期函数的概念，从而让学生观察图象中的“周而复始”等特点，从中抽象和概括出周期性概念.而苏教版是以周期性作为基本模型和驱动主线来贯穿整章的，并且先有函数的周期性再讲三角函数的图象.因此，苏教版中的周期性概念的重要性不言而喻.有关周期性的知识谱系的问题主要有：为什么要提出周期性概念？生活中有哪些周期性的案例？数学中有哪些经典的案例？周期性概念的数学定义是什么？周期函数的内涵有哪些？周期函数的周期有多少个？周期函数有没有最小(正)周期？任意一个函数都有周期性吗？如何判定函数是周期函数？什么样的函数才有周期性？为什么2π是正弦函数的最小正周期？怎样去求周期性函数(三角函数)的周期？周期性概念的提出有什么意义？这些问题的深刻理解和把握，是周期性概念理解的关键.

兰老师认识到本节课的教学重点不是获得三角函数周期的求解公式，并帮助学生简单套用这些公式解题，而是借助三角函数来把握和理解周期性概念的数学本质.因此，他的教学从生活中的案例和已学知识诱导公式出发，让学生不断建构周期性的概念，加深对周期性概念的深度理解.指出周期性是一个重要的数学模型，并非所有的函数都是周期函数，周期性函数的定义域具有一端无限的特点，周期不能为零，并借助正反例子帮助学生深度理解周期性的含义.其中，选用了狄利克雷和常数函数等反例的思想来帮助理解周期性的概念，介绍了反证法思想等.特别是，考虑到生源基础缘故，兰老师对2π是正弦函数的最小正周期给予了证明，而对于三角函数的一般周期公式则一带而过.

3.2 教师教学：传统特征的自觉践行

数学核心素养的培养落实，数学课堂的组织设计是关键.中国数学教育教学中的一些传统做法，就是很好的数学素养培养方式.就中国数学教育(教学)的特色，许多人有不同的总结.例如，张奠宙指出，中国数学教育，具有许多与世界主流研究不同的特色，至少有“新课导入”教学，“大班级的师生互动”、“数学思想方法教学”、“变式引领练习”、“熟能生巧的演练”等5个方面.[1]涂荣豹等指出，中国数学教学的5个特点分别是：注重教学的具体目标；教学中长于由旧知引出新知；注重对新知识的深入理解；强调解题，关注方法和技巧；重视及时巩固、课后练习、记忆有法.[2]

在新课改中，面对纷繁复杂的外来教育理论，多元教学理念和新颖教学方法，许多新手教师在组织教学时往往迷失方向.而在一些名校中，许多优秀教师扎根课堂，在看似朴实无华的课堂教学中，传承着中国数学教育的优秀传统，彰显着深厚的数学功底和非凡的教学实力.本课中的兰老师，就是一个代表.兰老师在该课中充分体现了上述多条传统教学特征.首先，兰老师注重教学导入和衔接过渡.兰老师洞悉学生的数学现实，一开始就从生活常识和旧有知识中自然切入.整节课上，层次清楚，过渡自然，衔接流畅，清新亲切，绝不矫揉造作、绝不生拉硬拽.其次，在大班的师生互动中，兰老师充分采用了启发式教学方法.兰老师的这节课不是以技术取胜，不是以情境见长，不是以活动为本，而是采用了传统的启发式教学，所有提出的问题，都在学生思维射程之内.整节课的教学过程水到渠成、轻松自然.学生在看似轻松活泼的学习氛围中，却不断经历了数学思维的历险和穿越.再次，体现出了问题驱动和变式理论的特色.兰老师借用变式设计帮助丰富学生对周期概念的理解，借助有思维深度的多种问题，在提出、探究、解决和反思中来推进整个教学活动.

3.3 学生学习：数学素养的建构生成

数学是思维的科学，数学教学是数学思维活动的教学.数学核心素养的获得，当然离不开学习主体的自主建构.《课标(2017年版)》把数学活动划分为情境与问题、知识与技能、思维与表达和交流与反思4个方面.从教学设计来看，兰老师尊重教材把周期作为一个思维主线贯通全章的处理方式，整节课循循善诱地以周期为核心，充分经历水平数学化和垂直数学化的过程，在现实生活和已学知识的基础上开展学习活动.兰老师创设生活和数学情境(情境与问题)，从中抽象出周期性的定义和判定原则(知识与技能)，借助问题串这一高效脚手架，促进思维的严密、表达的精准和形式的抽象，达到对周期性概念的深度理解(思维与表达)，课堂中师生之间的对话声中，充斥着数学表达、质疑、批判和反思(交流与反思).

从数学核心素养的6种分类来看，本节课中主要体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模等多种核心素养.其中，在情境中抽象出数学概念，在多个问题的解决中发展运算能力，在正反多方面的批判和交锋中磨练(演绎)推理能力，把周期性作为一类数学模型，等等.此外，在周期函数定义域特征的探索和解决例3的过程中，也体现了直观想象的核心素养.而从核心素养的水平划分来看，主要有毕业水平、高考水平和拓展水平，本课中的相应水平较高，显然是充分考虑了生源优秀的实际.当然，这些核心素养的养成是整体实现的，是借助数学思维形成的.在整节课中，体现出的数学思想方法有：化归思想，模型思想，数形结合思想，特殊与一般.发展了学生的以下能力：抽象能力，概括能力，形式化能力，演绎能力.在教学过程中，体现出的联系有：和先学知识诱导公式的联系，和生活的联系，和函数的联系，和大学知识的联系，和其他学科的联系，等等.总之，本节课中师生、生生的交互协商和思维建构，最后磨砺了思维品质，铸就了关键能力.不难想象，经过天长日久的积累，学生数学核心素养就养成了.

致谢：感谢兰松斌老师的精彩设计和无私分享