分数阶粒子群的模糊聚类图像分割算法研究

王文娜 马瑜 姜雲腾 罗宇卓

摘  要： 针对模糊C?均值聚类算法易受初始聚类中心的影响而陷入局部极值的缺陷，提出基于分数阶粒子群的模糊聚类图像分割算法。利用分数阶微积分容易跳出局部极值的固有优势，将其引入粒子群的速度、位置更新进程，同时改进分数阶阶次的自适应调整机制并引入步长控制因子。实验结果表明，该算法与传统算法相比，具有更高的分割精度与更快的收敛速度。

关键词： 模糊C?均值聚类; 初始聚类中心; 分数阶粒子群; 自适应调整; 步长控制因子; 图像分割

中图分类号： TN911.73?34; TP391                   文献标识码： A                  文章编号： 1004?373X（2019）11?0059?05

Abstract： Since the fuzzy C?means clustering algorithm influenced by initial clustering center is easy to fall into local extremum， a fuzzy clustering image segmentation algorithm based on fractional particle swarm optimization is proposed. The inherent advantage of fractional calculus which is easy to jump out of local extremum is introduced into the velocity and position updating process of the traditional particle swarm. The fractional?order adaptive adjustment mechanism is improved， and the step?size control factor is introduced into the algorithm. The experimental results show that the proposed algorithm has higher segmentation accuracy and faster convergence rate than traditional algorithms.

Keywords： fuzzy C?means clustering; initial clustering center; fractional particle swarm; adaptive adjustment; step?size control factor; image segmentation

0  引  言

图像分割是进行图像分析的重要基础和关键步骤。模糊C?均值聚类（Fuzzy C?Means Algorithm，FCM）[1]由于其简洁性、良好的处理图像信息的多解性和不确定性，而受到了广泛的应用。但FCM算法易受初始聚类中心的影响，使其迭代寻优过程容易陷入局部最优。为了克服上述缺点，近年来不少学者做出了很多努力。文献[2]提出增量核模糊聚类，通过优化FCM的初始聚类中心，为每个数据块提高聚类结果的质量，但该算法并未提高FCM算法的稳定性。文献[3]利用改进的遗传算法优化FCM，改善了FCM对初始聚类中心敏感的缺点，但分割效果与分割时间有待提高。文献[4]提出利用带约束的支持向量机优化FCM，求解多目标问题，提高了噪声识别能力，但算法结果易受初始化质心的影响，容易陷入局部最优。

针对传统FCM算法的缺陷，本文利用分数阶微积分优化粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[5]改进分数阶阶次的自适应调整机制并引入步长控制因子，进而优化FCM算法，从而改善FCM算法对初始值较敏感而容易陷入局部极值的缺陷，提高算法的全局寻优能力。

1  模糊C?均值聚类算法

FCM算法最早于1974年提出，利用其无监督性及模糊性分割图像，可以有效地解决图像分割过程中的不确定性以及减少外部因素对图像分割效果的影响。设[x=（x1，x2，…，xn）]为空间中样本数为[n]的样本子集，将其划分为[s]个簇类， FCM的目标函数一般形式如下：

2  全局自适应的分数阶粒子群算法

2.1  传统粒子群算法

假设在[E]维空间中，有粒子数为[N]的群体，[xi=（xi1，][xi2，…，xie）]表示第[i]个粒子在该向量空间中的位置，[vi=][（vi1，vi2，…，vie）]表示第[i]个粒子的速度，[pi=（pi1，pi2，…，pie）]表示第[i]个粒子的最优位置，[pg=][（pg1，pg2，…，pge）]表示粒子群体的最优位置。粒子的速度、位置更新公式如下：

式中：[c1]，[c2]为学习因子;[r1e]，[r2e]为区间[0，1]内的随机数;[ω]为惯性权重因子;[pie]为个体极值;[pge]为全局极值。粒子的速度、位置通过式（3），式（4）不断更新，使整个种群不断逼近全局最优解。

2.2  全局自适应分数阶粒子群算法

2.2.1  分数阶粒子群算法

PSO算法存在的一个缺陷是容易陷入局部最优[6?8]， 本文将分数阶微积分引入PSO算法中，提出分数阶粒子群算法（IMFPSO）。由于分数阶微积分固有的优势，基于分数阶微积分的学习训练算法能够很容易地跳出局部极值，使得PSO算法的粒子寻优轨迹更适合全局最优的情况。

假设一元信号[f（s）]为连续信号，[s]的持续时间为[[a，t]]，把[s]按[h=1]划分为[n]份，则[n=（t-a）h=t-a]。当[v>0]时，Grunwald?Letnikov定义（简称G?L定义）下[f（s）]的表达式为：

式中[a]表示分数阶次。由式（8）可得，PSO算法中粒子的当前速度由历史速度综合决定，当前速度之前的第一次粒子速度对当前速度的影响最大，第二次、第三次的影响程度逐渐降低，且影响大小可由[a]调节。考虑到粒子前一次位置对当前位置的影响，引入影响因子[b]，对PSO算法位置公式进行更新，得：

式（10）表明，对位置的加权相当于对速度的约束，速度约束因子[1-b]可以控制当前粒子速度的步长，防止粒子因步长过快而陷入局部极值，影响分割精度。为合理地控制步长，将[b]的大小设为[a]，即步长控制因子大小等于[1-a]。在纹理信息较丰富的部分或图像边缘，[1-b]较小，粒子移动的步长变小，可以实现该部分较精细的分割。同粒子群速度的更新公式，将式（10）引入分数阶微积分，得PSO算法的位置更新公式：

从式（11）可以看出，粒子的当前位置由历史位置综合决定，充分利用已有经验更新当前位置，有利于每个粒子的全局寻优，步长约束因子[1-b]可自适应地控制步长，根据纹理信息实现图像的精细分割。

2.2.2  分数阶次[a]自适应调整机制

对于分数阶粒子群算法，如果只采用固定的分数阶阶次，难以达到理想的效果。因此本文采用全局自适应的方式动态调整分数阶次，引入进化因子[ρ]：

式中：[k1]，[k2]为加权系数，且满足[k1+k2=1];[κ]表示图像的梯度;[ζ]表示方差。[κ]与[ζ]可以很好地反映图像的纹理信息与纹理复杂程度，在图像纹理信息丰富、纹理复杂的地方或边缘部分，梯度与方差较大，在图像分割过程中，取较大的分数阶次， 可保持分割图像较好的纹理特性。梯度与方差的计算公式如下：

式中：[M（s，t）]为梯度幅值的均值，[M1]为[M（s，t）]的最大值，[M2]為[M（s，t）]的最小值。[Q（s，t）]为像素的局部方差。由此可知，[ρ]的取值范围为[0，1]，而分数阶次在[0.5，0.8]范围内算法能够获得更快的收敛速度[9]，故构造新的分数阶次动态调整函数如下：

[ρ]越大，[a]越大，即在梯度值与局部方差较大处，取得较大的分数阶次，反之取较小的分数阶次，故可以较好地保持图像的纹理特性，提高图像的分割精度。

3  分数阶粒子群的模糊聚类图像分割算法

FCM在进行图像分割时，算法性能过分依赖于初始聚类中心而容易陷入局部最优解，致使分割精度降低。因此本文采用分数阶粒子群算法优化FCM的初始聚类中心，提出分数阶粒子群的模糊聚类图像分割算法（IMFPSO?FCM）。利用FPSO强大的全局搜索能力，弥补FCM的不足。算法步骤如下：

1） 初始化聚类数目[s]，模糊加权指数[m]，粒子群种群规模[N]，最大迭代次数max_iter，最优解改变量阈值TE，惯性因子[ω=1]，学习因子[c1]，[c2]等参数。

2） 计算图像的梯度均值与方差。即根据式（15）调整分数阶次[a]与步长控制因子[1-b]。

3） 根据编码规则随机生成初始种群，每个粒子对应一组聚类中心。设置各粒子的[pie]为初始位置，[pge]为种群的初始最优位置。

4） 根据式（8）更新各粒子的速度，根据式（11）不断更新粒子的位置。

5） 计算各粒子的适应度值。若该值大于[pie]对应的适应值，则更新该粒子的最优位置;若当前[pie]对应的适应度值大于[pge]，则用[pie]更新[pge]。

6） 若当前的迭代次数[i]达到max_iter，迭代或最优解改变量小于阈值TE，得到适应度值最大的粒子所对应的编码串，进入步骤7）;否则返回步骤4）。

7） 根据步骤6）返回的编码串得到FCM逼近全局最优的初始聚类中心。执行FCM，得到图像的最佳分割阈值。

4  实验结果与分析

4.1  分割结果

为验证本文算法的有效性，分割灰度图像的准确性以及算法的收敛速度，实验分别利用Lena图像、Cameraman图像与Hurricane Andrew图像进行处理。实验前，对原图像加椒盐噪声，并利用中值滤波进行去噪处理，得到一幅去噪后仍含有噪声的模糊图像，分别用PSO?FCM、文献[10]中的IMPSO?FCM算法与本文IMFPSO?FCM算法进行处理，得到的分割结果如图1～图3所示。

图1  Lena图像分割结果

图2  Cameraman图像分割结果

图3  Hurricane Andrew图像分割结果

4.2  分割精度

本文在评价算法分割精度时，采用的标准是统一度量标准参数，即参数[u]。该参数由Sahoo P K等人首次提出，并由Maitra等人首次用于图像分割质量评价[11]。参数[u]的表达式如下：

式中：[Mj]表示第[j]个分割区域;[xmax]，[xmin]分别为像素的最大值与最小值;[hj]表示第[j]个区域中像素的平均灰度值。Sahoo等人指出，[u]值越大分割质量越好，分割精度越高;反之，分割质量越差，分割精度越低。

分割图像[u]值表如表1所示。从表1可以看出，在阈值图像分割时，IMFPSO?FCM的度量标准[u]值最大，可以分别取到0.980 5，0.992 4，0.985 9，算法分割性能最好，可见本文算法的分割精度优于其他算法。

表1  分割图像[u]值表

4.3  收敛速度

为验证本文算法的收敛速度优于其他算法，以Lena图像为例给出聚类中心收敛情况图，如图4所示。3幅图像的聚类中心随迭代次数的收敛情况见表2。

图4  Lena图像聚类中心收敛情况对比图

表2  三种算法收敛迭代次数比较

綜合图4与表2可以看出，本文算法分别在约25次，20次，30次迭代时，聚类中心达到最优，收敛速度最快;IMPSO?FCM虽然分割精度有所提高，但算法的收敛速度较PSO?FCM变慢。可见，本文算法在确保分割精度的同时，具有较快的收敛速度。

5  结  语

在聚类过程中FCM算法容易受到初始聚类中心的影响而陷入局部极值，导致分割结果不精确。本文提出的IMFPSO?FCM算法，通过在粒子群算法中引入步长控制因子，并与分数阶微积分结合，根据图像的像素信息，构造新的分数阶阶次函数，实现[a]的全局自适应调整，以此对FCM算法的初始聚类中心进行优化，提高FCM算法的全局寻优能力，避免FCM算法易受初始聚类中心的影响而陷入极值。通过实验证明，本文算法IMFPSO?FCM与PSO?FCM，IMPSO?FCM相比，能保证较好的分割精度，且收敛速度加快。但本文算法仅仅局限在对灰度图像的分割，将算法应用到彩色图像与三维图像是下一步的研究方向。

注：本文通讯作者为马瑜。

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