基于码长近似度的极化码性能分析

叶铭 李晖 童强 张瑞清

摘  要： 极化码是未来5G通信中的控制信道编码方案。针对码长类型不同的极化码之间的码长不等性和距离谱性能分析的不确定性等难点问题，提出一种基于码长近似度的极化码性能分析方法。该方法能根据码长近似度直接评估基于2×2核矩阵[G2]和[l×l]多维核矩阵[Gl]的极化码的性能。实际情况和仿真结果都表明：基于2×2核矩阵[G2]的极化码比基于3×3核矩阵[G3]的极化码具有更好的误比特率和误帧率性能;码长近似度越大，所提方法极化码性能分析的精度越高。

关键词： 极化码; 码长近似度; 多维核矩阵; 距离谱; 信道编码; 误码率; 误帧率

中图分类号： TN919.3+1?34; TN911.7                文献标识码： A                  文章编号： 1004?373X（2019）11?0024?04

Abstract： Polar codes coding scheme is a kind of channel?controlling coding scheme for future 5G communication. In allusion to the difficulties of the inequality of code lengths between polar codes with different code length types and uncertainty of distance spectrum performance analysis， a performance analysis method of the polar codes is proposed， which is based on code length approximation degree （CLAD）. The performances of polar codes based on 2×2 kernel matrix [G2] and l×l multidimensional kernel matrix [Gl] are evaluated directly according to CLAD. The actual situation and simulation results show that the polar codes based on 2×2 kernel matrix [G2] have higher performances in the aspects of bit error rate （BER） and frame error rate （FER） than polar codes based on 3×3 kernel matrix [G3]. The experimental results demonstrate that the greater the code length approximation degree is， the higher the analysis accuracy of the polar codes performance is.

Keywords： polar code; code length approximation degree; multidimensional kernel matrix; distance spectrum; channel coding; bit error rate; frame error rate

0  引  言

信道编码方案中的极化码是5G通信领域中的研究热点。最初介绍的极化码是非系统极化码（Non?Systematic Polar Codes，NSPCs）[1]。它是一种具有编译码复杂度低、可达二进制离散无记忆信道对称容量的编码构造方法。这类极化码的生成矩阵是基于2×2极化核矩阵的。当码长[N]足够大，且[β<][12]时，对于任意二进制输入离散无记忆信道[W]且其对称容量[I（W）]小于码率[R]，极化编码在串行抵消（Successive Cancellation，SC）译码下的译码误块率[peN，R=o（2-Nβ）]，即[G2]有指数[2][12]。当核矩阵足够大时，该指数可任意逼近1，且越接近1极化码的性能越好[3]。因此，研究基于[l×l]核矩阵[Gl]构造的极化码（[l≥3]的核矩阵为多维核矩阵）具有重要意義。

码长类型为[Nl=ln]的（[l≥3]）极化码的合理性已被证明[3]，这类极化码的构造方法也被提出。因此，码长类型为[N2=2n]形式的限制被打破，极化码的码长更加灵活。然而，码长类型不同的极化码由于码长的不等性，给其性能分析带来很大的困难。与极化核矩阵[G2]只有一种形式所不同的是，多维极化核矩阵在形式方面拥有更多的选择，在编码构造上复杂度更大的同时也更加灵活。相应地，基于[l×l]多维核矩阵的极化码相比基于2×2核矩阵的极化码更加复杂，前者的编码构造和码长类型也不同于后者。

对于多维核矩阵构造的极化码，本文仅考虑基于3×3核矩阵的极化码的分析。距离谱可以用来分析极化码的性能趋势，但却不能用来具体地分析多维核矩阵构造的极化码的性能[2，4]。因为根据距离谱得到的只是极化码性能的模糊上界。针对这些问题，本文提出一种可以直接分析码长类型不同的极化码之间的性能方法。仿真结果表明，码长近似度越大，该方法极化码性能分析的精度越高。上述方法对极化码性能的评估与优化有重要的借鉴意义和理论价值。

1  基于3×3核矩阵的极化码

对于二进制删除信道（Binary Erasure Channel，BEC），基于3×3多维核矩阵[G3]的极化码的信道[W（i）N]的可靠性可由下式计算得到[2]：

信道[W（i）N]的可靠性也可通过密度进化或高斯近似的方法计算[5?6]。 基于2×2核矩阵[G2]的极化码只有一种核矩阵形式，即[G2=1011]，而多维核矩阵[Gl]随着[l]的增大而拥有更多的形式，码长类型为[Nl=ln]的极化码在编码构造上更灵活，同时也更难找出一个更好的核矩阵形式。例如，码长类型为[N3=3n]的极化码的核矩阵[G3]就有[24=16]种可能形式，而不同的多维核矩阵形式[G3]满足信道极化条件的也只有四种[7]。

由不同的多维核矩阵形式构造的极化码，其性能存在一定的差异。在本文中，不同的多维核矩阵形式[G3]中最好的形式为[G3]427，码长类型为[N3=3n]的极化码是基于多维核矩阵[G3]427构造的。

2  性能评估方法

这里提出一种新方法以分析基于2×2核矩阵和[l×l]多维核矩阵[Gl]的极化码之间的性能。

如果要分析码长类型不同的极化码，即码长类型为[Nl=ln]（[l≥2，n≥1]），那么应先设定一个码长阈值[Nf]和码长近似度阈值[fN]，即核矩阵[Gl（l≥2）]构造的极化码，约定其码长不能超过[Nf]且码长近似度[f≥fN]。码长近似度[f]为码长类型不同的极化码中小的码长数值与较大的码长数值两者之间的比值。一般选用码长数值相近的两个值求码长近似度[f]，进而求得数值较大的[f]。规定码长近似度[f≤]1。任意一种码长类型的极化码都可以作为一个模板，选其中的一种码长类型的极化码作为模板。对于要分析的码长类型的极化码与模板，将其码长数值作比较以求码长近似度[f]，再逐一选择其中码长近似度符合要求的码长数值组。最后，将选择的码长数值组视为码长相等来直接分析并判定码长类型不同的极化码之间的性能优劣。

上述方法被称为基于码长近似度的极化码性能评估方法。本方法经过一些处理忽略不同码长类型的极化码在码长数值上的不等性，而直接分析基于核矩阵[G2]和多维核矩阵[Gl]的极化码的性能，简单而有效。一般将码长类型为[N2=2n]的极化码作为模板，因为其码长数值较为灵活，码长数值间的差距最小。

3  仿真结果

假设要对码长类型分别为[N2=2n]和[N3=3n]（[n≥1]）的极化码进行性能分析和判定。分别设码长阈值[Nf=]3 000，码长近似度阈值[f=0.95]。以码长类型为[N2=2n]的极化码为模板，则码长近似度如表1所示。事实上，表1中一些不合理的码长数值已被去掉。

表1  码长类型分别为[N2=2n]和[N3=3n]的极化码的码长近似度

3.1  码长近似度[f=0.95]

从表1中可知，码长数值分别为256与243的这组码长数值的码长近似度符合要求。那么，可将码长[N2=]256视为与码长[N3=243]相等，然后直接进行这两种码长类型的极化码的性能分析与判定。这里的仿真实验是在加性高斯白噪声信道（Additive White Gaussian Channel，AWGN）下，对码率为[12]、码长[N]分别为243和256的极化码进行的。调制方式为二进制相移键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）。串行抵消列表（Successive Cancellation List，SCL）译码器的列表大小[8?9]设为32。

根据上面的方法，这里将码长[N2=256]和[N3=243]视为等长。码长[N2=256]和[N3=243]的系统极化码（Systematic Polar Codes，SPCs）[10]和非系统极化码的误码率的仿真结果如图1所示。

图1  码长[N2=]256和[N3=]243的系统极化码和非系统极化码的误码率

仿真结果表明：基于2×2核矩阵[G2]的非系统极化码在误码率性能上比基于3×3多维核矩阵[G3]的非系统极化码更具有优势;基于2×2核矩阵[G2]的系统极化码也比基于3×3多维核矩阵[G3]的系统有更好的误码率性能。

基于2×2核矩阵[G2]和3×3多维核矩阵[G3]的系统极化码和非系统极化码的误帧率的仿真结果如图2所示。

图2  码长[N2]=256和[N3]=243的系统极化码和非系统极化码的误帧率

仿真结果表明，码长类型为[N2=256]的系统极化码和非系统极化码分别比码长类型为[N3=243]的系统极化码和非系统极化码具有更好的误帧率性能。

综上所述，根據基于CLAD的极化码性能评估方法，能够得出这样的一个基本结论：基于2×2核矩阵[G2]的极化码比基于3×3多维核矩阵[G3]的极化码有更好的误码率和误帧率性能。

3.2  码长近似度[f=0.53]

如表1中所示，当[f=0.53]，选取的一组码长数值为[N2=128]与码长[N3=243]。那么，将码长[N2=128]视为与码长[N3=243]相等，然后再直接进行这两种码长类型的极化码之间的性能分析与判定。这里的仿真实验是在AWGN下，对码率为[12]、码长[N]分别为243和128的极化码进行的。调制方式为BPSK。SCL译码器的列表大小也设为32。

这里将码长[N2=128]和[N3=243]视为等长。码长[N2=128]和[N3=243]的系统极化码和非系统极化码的误码率的仿真结果如图3所示。通过观察图3可知，码长类型为[N3=243]的系统极化码和非系统极化码分别比码长类型为[N2=128]的系统极化码和非系统极化码具有更好的误码率性能。由此，也许会判定基于3×3多维核矩阵[G3]的极化码比基于2×2核矩阵[G2]的极化码有更好的误帧率性能。然而，这种情况与实际情况是不相符的。

图3  码长[N2=128]和[N3=243]的系统极化码和非系统极化码的误码率

图4  码长[N2]=128和[N3]=243的系统极化码和非系统极化码的误帧率

仿真结果表明，码长类型为[N2=]128的系统极化码和非系统极化码分别比码长类型为[N3=243]的系统极化码和非系统极化码在误帧率性能上具有优势。因而，可以判定基于2×2核矩阵[G2]的极化码比基于3×3多维核矩阵[G3]的极化码具有较好的误帧率性能。

4  讨  论

实际上，距离谱不能用来具体地分析极化码的性能，但根据距离谱分析得出的性能上界却能如实反映出基于2×2核矩阵[G2]和3×3多维核矩阵[G3]的极化码之间的性能趋势[2，4]。当[f=]0.95，仿真结果表明，基于2×2核矩阵[G2]的极化码比基于3×3多维核矩阵[G3]的极化码具有较好的误码率和误帧率性能。根据距离谱的分析，这种情况与实际情况是一致的。当[f=]0.53，仿真结果表明的却不是这种情况。至于误帧率性能，[f=]0.95时的仿真结果比[f=]0.53时的仿真结果更符合距离谱分析所反映的误帧率性能趋势。

因此，这里可以得出另一个结论：码长近似度[f]越大，极化码性能评估方法的精度越高。码长类型为[N5=5n]的极化码的编译码是未来研究的重要课题，该方法也会因此得到进一步的验证。

5  结  语

基于多维核矩阵的极化码的构造理论及其应用尚待进一步的研究。当码长近似度足够大时，从本文提出的性能评估方法得出的判定结果与实际情况相符合。该方法还需要进一步的验证，但对极化码性能的评估与优化具有重要的借鉴意义和理论价值。

参考文献

[1] ARIKAN E. Channel polarization： a method for constructing capacity achieving codes for symmetric binary?input memoryless channels [J]. IEEE transactions on information theory， 2009， 55（7）： 3051?3073.

[2] LIU Zhenzhen， CHEN Kai， DONG Chao， et al. Performance analysis of polar codes based on 3×3 kernel matrix [C]// Proceedings of 2015 the 10th IEEE International Conference on Communications and Networking in China. Shanghai： IEEE， 2015： 382?386.

[3] KORADA S B， SASOGLU E， URNAKE R. Polar codes： cha?racterization of exponent of exponent， bounds， and construction [J]. IEEE transactions on information theory， 2010， 56（12）： 6253?6264.

[4] LIU Zhenzhen， CHEN Kai， NIU Kai， et al. Distance spectrum analysis of polar codes [C]// Proceedings of 2014 IEEE Wireless Communications and Networking Conference. Istanbul， Turkey： IEEE， 2014： 490?495.

[5] RICHARDSON T， URBANKE R. Modern coding theory [M]. UK： Cambridge University Press， 2008.

[6] MORI R， TANAKA T. Performance of polar codes with the construction using density evolution [J]. IEEE communications letters， 2010， 56（12）： 6253? 6264.

[7] ZHANG Liang， ZHANG Zhaoyang， WANG Xianbin. Polar code with block?length [N=3n] [C]// 2012 International Confe?rence on Wireless Communications and Signal Processing. Huangshan： IEEE， 2012： 1?6.

[8] TAL I， VARDY A. List decoding of polar codes [J]. IEEE transactions on information theory， 2012， 61（5）： 2213?2226.

[9] CHEN Kai， NIU Kai， LIN Jiaru. Improvement successive cancellation decoding of polar codes [J]. IEEE transactions on communications， 2013， 61（8）： 3100?3107.

[10] ARIKAN E. Systematic polar codes [J]. IEEE communications letters， 2011， 15（8）： 860?862.