定积分在不等式证明中的应用

【摘 要】定积分在不等式证明中有着重要的作用.运用定积分的知识去解决不等式证明的问题是在许多数学题中容易遇到的。本文在这里着重介绍定积分对不等式证明的一些技巧和作用。

【关键词】定积分；不等式；证明

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0017-02

定积分在不等式证明中有着重要的作用，不等式的证明方法很多，思想丰富，涉及的知识面比较广且技巧性较强，运用定积分的知识证明不等式有以下几种方法。

1 定积分定义

定积分是积分的一种，是函数在上的积分和的极限。设是定义在上的一个函数.对于的一个分割，任取点，，并作和式，称此和式为函数在上的一个积分和，也称黎曼和。显然，积分和既与分割T有关，又与所选取的点集有关。

2 定积分性质

性质1 如果在区间上是可积的，则它在区间上也是可积的，并且。

性质2 设在区间，与中最大的

一个上是可积的，于是它在其他两个区间上是可积的，并且不管点，与的相互位置是怎样的，等式成立。

性质3 如果在区间上是可积的，则

（其中=常数）在这区间上也是可积的，并且。

性质4 如果与在区间上都是可积

的，则在这区间上也是可积的，并且。

性质5 如果在区间上可积函数是非负的，并且，则。

如果在区间上可积函数是正的，且，则。

性质6 如果函数与在区间上都是可积的，并恒有（或），则在假定时，（或）。

性质7 设函数在区间上是可积的，并且；就有不等式。

3 定积分计算方法

3.1 换元积分法

若函数在上连续，在上可积，且满足

则有定积分换元公式：

3.2 分部积分法

若，为上的可微函数，且和都在上可积，则有定积分分部积分公式

4 积分中值定理

定理1 （积分第一中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得。

定理2 （推广的积分第一中值定理）若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得

（當时，即为积分第一中值定理。）

对以上应用举例如下：

例1 证明不等式。

证明 将原不等式左端的极限变形，使其对应某一函数在某个区间上的积分和式，根据定积分定义有

例2 证明不等式。

证明 由于是偶函数，故根据偶函数性质有

例3 证明不等式。

证明 因为在时，有，

例4 设函数在上有连续的导函数，试证明对于上任意的有。

证明 由积分中值定理得，

【参考文献】

[1]吴建强.利用定积分的性质证明不等式[J].高等数学研究，2016（19）.

[2]刘书田，孙惠玲.微积分[M].北京：北京大学出版社，2006.

[3]苏敏，耿魁.用定积分求极限及证不等式[J].黑龙江水专学报，1999（26）.

【作者简介】

于亚男（1995～），女，汉族，吉林省九台市人，学历：硕士研

究生。