概率中数学期望的变式应用

乔碧江

[摘   要]通过高中数学課本例题的研究，分析、利用等可能事情的概率分布列解决了一类直线上关于动点到某定点的距离之和的最值问题.研究高中数学课本的例题解法及其变式，对开阔学生视野，提高学生能力有现实意义.

[关键词]数学期望;高中数学;例题;变式

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）14-0026-03

人教版高中数学第三册选修2第11页有道例题：

随机抛掷一个骰子，求所得点数[ξ]的数学期望.

∴当[c=x]时取得最小值.

而数学期望[Eξ]就是概率意义下的平均数，所以利用离散型随机变量的分布列的数学期望可解决上述问题的最值问题.

若把“19”改为“[n]”，则可引申出更为一般的结论：当[n]为奇数时，会议室应设在[n+12]层;当[n]为偶数时，会议室设在[n2]或[n2+1]层中的任何一层均满足题设要求.

解决这种离散型的问题利用数学期望提供了一种十分巧妙而且简单的方法.如果我们将变式2的实际背景抽象出来，把楼房“摆平”，同时将离散型问题改为连续型问题，则可得变式3.

变式3：数轴上有[n]个定点[A1]，[A2]，…， [An]，其中对应的坐标分别为1，2，…， [n]，[p]为数轴上动点，坐标为[x]，求函数[f（x）=x-1+x-2+…+x-n]的最小值.

分析：设题的常用方法是利用数形结合法分类讨论进行求解.但我们也可这样思考：动点[p]在[x]轴上运动时，落在哪个位置是随机的，尽管问题是个连续型随机变量，但所求函数[f（x）]的最值仍可用上述方法求得.

通过课本上一道“小题”的研究，分析、利用等可能事件的概率分布列解决了一类直线上有关于动点到某些定点的距离之和的最值问题.解法可谓新颖别致，大大丰富了数学解题方法的研究.可见“小题”也可“大有作为”.

（责任编辑 黄桂坚）