初中数学相似基本模型解题法

江菊珠

[摘   要]相似三角形是中考的热点内容，常出现在压轴题中，难度较大 .解题突破口是从复杂的图形中发现或构造相似的基本模型.

[關键词]相似三角形;基本模型;构造

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）14-0023-03

相似三角形是中考的热点，它作为工具，应用广泛，是几何综合题中主要的运算和证明手段 .绝大部分与几何相关的综合题、压轴题，往往都可以用相似三角形知识去解决.相似三角形在压轴题中常与四边形、方程、函数、圆紧密联系，难度系数较大 .教师在平时的教学过程中要善于引导学生归纳总结常见的相似基本模型，教会学生用模型解题的方法.

一、常见常考的相似基本模型的归纳

应用相似三角形解决问题的几何综合题，题型千变万化，但万变不离其宗，即离不开相似的基本结构 .因此，模型的认识、归纳和理解掌握，有助于培养学生直观的图感，为较综合的问题的解决及在复杂图形中发现或构造相似三角形做好充分的准备.

经典的相似基本模型有以下几种.

二、模型是显性的，要善于发现

有些几何综合题中，相似的基本模型是显性的，关键是要善于发现，学会从复杂的图形中把它分离出来.抓住了解题关键，可以化繁为简;套用模型，然后围绕该模型的结构整合信息，可以化难为易.

[例1]如图1，在Rt[△ABC]，[∠C=90°]，翻折[∠C]，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.

（1）若以C， E， F为顶点的三角形与以A， B， C为顶点的三角形相似，当AC = 3，BC = 4时，AD的 长为________;

（2）当点D是AB的中点时，[△CEF与△CBA]相似吗？请说明理由.

分析：（1）解决问题的关键是抓住“A字型”相似的基本模型和轴对称的性质（对应点的连线被对称轴垂直平分）.观察图形可知，折痕EF是[△ABC]的截线，所截得的[△CEF]与[△ABC]相似，是属于“A”字型相似.因为可以平行截，也可以斜截，所以要考虑“正A”和“斜A”两种情况，要注意分类讨论.但是不管哪种情况，不变的是点C和点D关于EF对称，所以EF垂直平分CD，则CD[⊥]EF.解题时需要根据不同情况画出相应图形.

①当 [△CEF]∽[△CAB]时，如图2，因为[∠CEF=∠A]，所以[EF//AB]，又[CD⊥EF]，故[CD⊥AB]，从而用等积法求出CD的长，再由勾股定理即可求出AD的长.

②当[△CEF] ∽[△CBA]时，如图3，因为[∠CEF=∠B]，又[CD⊥EF]，故[∠CEF+∠ACD=90°]，而[∠A+∠B=90°]，易得[∠A=∠ACD]，因此AD=CD .同理可证得BD=CD，所以[AD=12AB ].

[例2]操作与探究：综合实践课，教师把一个足够大的等腰直角三角尺AMN靠在一个正方形纸片ABCD的一侧，使边AM与AD在同一直线上（如图4），其中[∠AMN=90°]，AM=MN.教师将三角尺AMN绕点A逆时针旋转[α] . 若[45°<α<90°]，如图5，边AM，AN分别与BC、CD交于点E、F，连接BD，分别交AM、AN于点G，H，连接EF、EH，试证明：[EH⊥AN ].

分析：此题图形较为复杂，采用逆向思维和熟悉的“8字型”相似的基本模型是解题的关键.由题目要证的结论逆向分析，若EH[⊥]AN，而已知[∠EAH=45°]，则[∠AEH]一定等于45°，由题意可知[∠ABG=45°]，所以要证[∠AEH=45°]，只要证[△ABG]与[△HEG]这两个“8字型”三角形相似，即有对应角[∠ABG=∠AEH]，而要证这两个三角形相似，已经具备对顶角相等了，所以只要两夹边成比例即可，这时从复杂的图形（图5）中分离出“双8字型”（图6），我们知道在这个模型中，由上下两三角形相似对应边成比例，交换内项的位置即可得左右两个三角形的两边成比例，那么分析到此，此题的证明思路就已经明了，解决问题的出发点是证[△BGE] ∽[△AGH].

[例3]如图7，在矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连接AE、AF、AC.请问图中是否存在非全等的相似三角形？若存在，请写出并证明.

分析：此题三角形的个数较多，从中找出相似三角形，对很多学生来说是有难度的，学生常不知如何下手.而题干给的显性条件是唯一的，只有线段之间的数量关系，即“BC=3AB”是解题的突破口，所以设AB=[x]，则BE=EF=CF=[x]，易得AE=[2x]，并在图形上标注出来，到这里有一部分学生就不知道如何进一步解答，此时，熟悉“母子型”相似的基本模型及其边的数量关系（即公共边是共线边的比例中项）是解决问题的关键.从复杂的图形中分离出图8，易发现[AE2=EF·EC]，即[AEEF=ECAE]，又[∠E=∠E]，可得[△AEF] ∽[△CEA] .

启示：复杂的图形基本上都可以看成由基本图形组成的，所以如果能够熟悉一些基本模型，并对重点典型模型边的数量关系熟练掌握，加深对相似基本模型的理解，可以培养学生的图感和全面思考问题的习惯，使学生解题时往往目的明确，缩短思考、解题的时间，事半功倍.

三、 模型是隐性的，要学会构造

在很多几何压轴题中，模型结构是残缺的，需要添加适当的辅助线，构造出完整的几何模型.而作辅助线是学生最大的难点，熟悉常见的相似基本模型对作辅助线有指引作用，是突破难点的有效方法.

[例4]如图9，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将[△ADM]沿直線AM对折，得到[△ANM].连接BN，当DM=1时，求[△ABN的面积].

分析：如图10，学生一般都能过点N作[NE⊥AB]，也知道要求[△ABN]的面积，必须求出高NE的长，但是很多学生到此就不知道如何进行下去.此时的突破口之一是在NE这条线上已经有两个直角了，常用的方法是构造“三垂直”模型;突破口之二是[∠ANM=90°]，延长MN，可发现NE是从直角引出的高，于是就想到了构造“双垂直”模型;突破口之三是观察图形分析题意，图中存在“角平分线+平行线”模型，那么就要找等腰，于是就能作出延长MN这条辅助线构造等腰三角形.因此，解决此题就有以下两种方法.

方法一：如图10，易证[△MFN] ∽[△NEA]，则[MFNE=FNAE=MNAN].设NE=[x]，则NF=[3-x]，可得[MFx=3-xAE=13]，再根据DF=AE，列出方程，即可求出[x]的值.

方法二：如图11，由折叠可知[∠AMD=∠AMN]，易证[∠AMD=∠MAB]，所以[∠AMN=∠BAM]，故AP=MP，设AP=[x]，则PN=[x-1]，在[Rt△APN中]，根据勾股定理得[32+（x-1）2=x2]，从而求NE的长就能迎刃而解了.

[例5]如图12，矩形[ABCD]中，[AB=6]，[AD=8]，P、E分别是线段[AC]、[BC]上的点，且四边形[PEFD]为矩形.（Ⅰ）若[△PCD]是等腰三角形，求[AP]的长;（Ⅱ）若[AP=2]，求[CF]的长.

分析：（Ⅰ）略;（Ⅱ）很显然，要求CF的长，需证[△ADP] ∽[△CDF]，而题干中的条件很简单，两个矩形有一个公共顶点D，“共点等角”是一个突破口，易得[∠ADP=∠CDF]，那么证三角形相似一般有两种思路，要么找另一对角相等，要么证这组角的两夹边成比例.而[ADCD=43]，因此若能求得[DPDF=43]，那么问题就解决了.而DF=PE，所以把问题转化为求[DPPE]的值.

方法一：观察图形发现这里存在“平行线间夹一个90°角”模型，常做的辅助线是过直角的顶点作平行线的垂线，构造“三垂直模型”，如图13，由[△DHP]∽[△PGE]，得[DPPE=DHPG=CGPG=tan∠CPG=tan∠CAB=BCAB=43]，问题得以解决.

方法二：仔细观察图形，从中分离出四边形DCEP，这是一个“90°的对角互补”模型，作两条高，构造出“共点等角”.如图14，作[PM⊥CD，PN⊥BC ]，易证[△PDM]∽[△PEN]，所以[DPPE=PMPN=PMCM=tan∠ACD=ADCD=43] .

方法三：逆向分析，若能证[∠DAP=∠DCF]，问题也可以得以解决.而[∠DAP=∠ECP]，所以把问题转化为证[∠ECP=∠DCF]，这时发现这里又存在“共点等角”，因为[∠ECD=90°]，因此只要证[∠PCF=90°]即可，如图15，连接PF、DE、OC，由[OC=12DE=12PF=OP=OF]，可得[∠PCF=90°]，那么接下来的问题就能轻松解决.

启示：以上这两题都是中考压轴题，简单的条件，不简单的思维，每一题都可一题多解 .不管哪种解法，都涉及模型思想.寻找突破口，准确作出辅助线，使模型由隐性变显性是解题的关键.常见相似模型的熟悉掌握是迅速作出辅助线的依据.

综上，模型的重要性不言而喻，模型解题法以不变应万变 .培养学生应用模型解题的思维方法，能让学生举一反三、触类旁通，使他们解难题更简洁、更高效.

（责任编辑 黄桂坚）