媒体报道影响下的传染病模型随机灭绝性分析

2019-06-14张培钰刘茂省

重庆理工大学学报(自然科学) 2019年5期

张培钰，刘茂省

(中北大学理学院，太原 030051)

媒体报道是一种有效控制传染病传播的途径，疾控中心将竭力阻止疾病的传播，尽快告诉人们适当的预防知识，有利于大众积极预防疾病，不仅可以影响个人对疾病的行为，而且可以采取恰当的预防措施，如社会疏远、戴防护口罩等。与此同时，任何传染病的流行都会依赖人群中容易感染的个体，疾病信息传播形成的意识活动也会导致疾病传播的性态发生改变。作为意识传播，人们对它作出反应，以至于改变他们的意识，从而通过改变他们的易感性来减小被感染的机会。基于传染病信息传播迅速的现状和信息传播对传染病预防的影响，可知建立含有信息传播因素的模型是非常有必要的。综上，更现实的方法是考虑媒体报道和疾病信息意识的相互作用。为了从数学上描述这种情况，文献[1-2]建立了研究信息传播对传染病传播的影响。

近年来，已经有很多传染病模型描述环境噪声对传染病动态的影响[3-5]，如气候、卫生习惯等都会引起环境波动，这些因素可能会影响自然出生率、自然死亡率等。文献[6]对这类问题展开了研究。对于人与人之间的传染病而言，由于每个人的活动范围随时发生变化，人际交往接触也不可预测，所以本文考虑在接触率上加随机扰动具有现实意义。本文首先基于确定性模型建立了随机性模型；其次，运用文献[7-9]中的相关知识对模型的正解存在唯一性及灭绝性进行了分析；最后，用数值模拟验证这些结果的正确性。

1 模型的建立

1.1 确定性模型的建立

由于媒体对疾病进行报道，易感者对疾病产生预防的意识，从而减少与感染者的直接接触形成新的一类——有疾病信息意识的易感者。因此，整个人群可以分为3类：无疾病信息意识的易感者、有疾病信息意识的易感者、感染者，分别用X(t),Xm(t),Y(t)表示t时刻其占总人数的比例。M(t)表示t时刻关于疾病形成的意识活动的累积密度，且与感染者的人数成比例，是一个随时间变化的函数。已知在文献[2]中建立了含有时滞项λX(t)M(t-τ)的传染病模型，因此令τ=0，建立不含时滞的模型，可得系统(1)：

(1)

其中，假设b是所考虑地区的易感者的移民率，疾病只有通过易感者与感染者的直接接触才能传播。β是无意识的易感者与感染者的接触率，d是自然死亡率，μ是媒体的执行率，μ0为媒体的耗散率，m0为爆发疾病的其他地区的信息传播对本地区的影响，λ是指意识在无意识的易感者中的传播率，λ0指有意识的易感者转变成无意识的易感者的死亡率，ν指感染者的恢复率，q指进一步假设恢复为有意识的易感者的比例。有X(0)=X0>0,Xm(0)=Xm0≥0,Y(0)=Y0>0,M(0)=M0≥m0模型里的所有参数为正数。

模型的吸引域为：

1.2 随机性模型的建立

在现实社会中，媒体报道的传染病模型会受到环境噪声的影响，使用随机模型可以更准确地预测系统将来的动力学行为。因此，本文假设接触率β和传播率λ会受到随机波动的影响，即β→β+σ1dB1,λ→λ+σ2dB2，假设恢复者恢复为易感人群，X表示易感人群，Y表示感染人群，Xm表示有意识人群，令m0=0，B(t)是带有B(0)=0的标准布朗运动，σ2>0表示白噪声的密度。媒体报道影响的随机传染病模型可以表示如下，即系统(1)可简化为系统(2)：

(2)

2 正解的存在唯一性

为了研究传染病模型的动力学行为，首先需要注意解是否为全局正解。接下来证明全局正解的存在唯一性，这是探究模型长期行为的先决条件。系统(2)的系数满足局部Lipschitz连续条件，但没有满足线性增长条件，因而系统(2)的解有可能在有限时间内爆发。本节中，我们用Lyapunov分析方法证明系统的解是全局正解。

证明由于系统(2)的系数满足局部Lipschitz条件，因此对任意给定的初值(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))，在t∈[0,τe]时，有唯一的局部解(X(t),Xm(t),Y(t),M(t))，这里τe是爆发时刻。要证明(X(t),Xm(t),Y(t),M(t))是全局解，需证明τe=∞。令ε0>0,使得初值(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))>ε0,对于任意的ε≤ε0,我们定义一个停止时刻：

τε=inf{t∈[0,τe]:X(t)≤ε或Xm(t)≤ε或Y(t)≤ε或M(t)≤ε}

对上述式子两边积分，可以得到：

EV1(X(t∧τε))≤V1(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))+K(t∧τε)≤V1(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))+Kt

另一方面，由V1(X(t∧τε))>0可以推出：

EV1(X(t∧τε))=E⎣χ(τε≤t)V1(X(t∧τε))」+E⎣χ(τε>t)V1(X(t∧τε))」≥E⎣χ(τε≤t)V1(t∧τε)」

(3)

(4)

结合式(3)(4)，对所有的t≥0有：

3 疾病的灭绝性

定理3.1如果R0<1,(Xm(t),Y(t),M(t))几乎处处收敛(0,0,0)。

证明令(Xm(0),Y(0),M(0))∈Ω,因为R0<1,令η>0使得

设V2(t)=ln(Y(t)+Xm(t)+ηM(t)),根据多维It公式，可得：

对上述式子两边求积分可得：

ln(Y(t)+Xm(t)+M(t))≤ln(Y(0)+Xm(0)+ηM(0))-pt+

引理2(非负半鞅收敛定理)[11]设X(t),A(t),B(t)均为实值连续适应过程，N(t)是一个实值连续局部鞅，A(0)=B(0)=N(0)。ξ是一个非负可测的随机变量，定义

X(t)=ξ+A(t)-B(t)+N(t)

也就是说，随机过程X(t),B(t),N(t)收敛于有限随机变量。

两边同时积分可得：

由定理3.1可得：

由引理2可得：

(5)

由定理3.1可得：

(6)

由式(5)和(6)可得：

(7)

证明利用It公式得出，

左右两端从0到t积分可得，

4 数值模拟和讨论

本节利用数值模拟的方法分析随机模型(2)无病平衡点的动力学性质。图1～4是当R0<1时随机性模型与确定性模型解的对比图，可以看出在噪声强度比较小时，系统(2)的解在其确定性模型的无病平衡点E0附近随机波动。

本文主要分析了媒体报道影响下的传染病模型的随机灭绝性，通过Lyapunov分析方法和It公式证明了模型存在唯一的全局正解，接着运用非负半鞅收敛定理，证明了当R0<1时，系统几乎处处收敛，并且给出了随机基本再生数和疾病灭绝的关系。通过数值模拟得知：当噪声强度小时，基本可以忽略噪声的影响，确定性模型和随机性模型差别不大。