集中荷载作用下FRP圆弧拱的面内非线性弹性失稳研究

张紫祥，刘爱荣，钟子林

(广州大学-淡江大学 工程结构灾害与控制联合研究中心， 广东 广州 510006)

在现代土木工程领域，纤维增强材料以其高强、质轻、抗腐蚀等优良性能，日益成为结构选材的新宠[1].随着纤维增强材料工艺大幅改良，近年来国际上相继建成了十余座全纤维增强复合材料(FRP)拱桥(见图1).其中，以西班牙Lleida 跨线人行天桥[2]，荷兰Ooypoort跨河人行单拱桥[3]及ApATeCh俄罗斯公园桥[4]最为著名.建筑结构领域，德国斯图加特大学ICD/ICKE研究展厅的弧形外壳，美国乔布斯剧院圆形碳纤维屋顶，zara香奈儿展馆玻纤外壁等均利用了FRP材料低成本化、可设计的优良特性，极大的满足了建筑形态多样化的刚性需求[5-8].然而，FRP虽然能有效减轻结构自重，增加跨越能力，但也加剧了结构失稳的风险.与蓬勃发展的FRP拱形结构的工程应用相比，目前关于FRP拱结构静力稳定性设计理论的研究仍停留在初步阶段，失稳机理尚不明确，设计缺乏依据，无法完全指导工程实际设计.

由于FRP材料性能的特殊性，FRP拱的解析解公式推导过程复杂，基本上均借助于数值模拟.Luu 等[9]基于NURBS插值等几何法，开展了考虑剪切变形影响下层合曲梁的弹性失稳数值研究.Fraternali[10]基于有限元理论，研究了双模量层合拱的非线性面内、外弹性失稳问题，分析了拉压模量比对拱后屈曲响应的影响.Sonawane[11]通过试探函数法，开展了集中荷载作用下双层复材圆弧浅拱的非线性屈曲数值研究，给出了失稳临界荷载的近似解析式，但是理论结果与有限元结果存在较大差距.Kim and Chaudhuri[12]开展了对称铺层条件下圆弧薄拱的后屈曲理论研究，由于未考虑压弯耦合矩阵，其研究结果适用性大大受限.

本文开展了集中荷载作用下固接FRP圆弧拱的面内弹性稳定理论研究，在此基础上提出了新的修正长细比公式以表征层合拱的失稳模式，通过有限元模拟结果验证了理论结果的正确性.

图1 FRP拱结构的工程应用Fig.1 Engineeringapplication of FRP arch structure

1 新解析推导

为便于公式推导，本文引入如下假设：

(1)各铺层之间粘接牢固，形变过程中各层不发生相对滑动.(2)各层近似处于平面应力状态.(3)变形前后直法线不变.(4)由于截面宽度b≪弧长S，忽略侧向泊松效应.(5)材料在形变过程中保持弹性.(6)满足平截面假定.

拱顶集中荷载作用下的FRP拱的力学模型如图2所示.本文拟采用FRP片材叠合截面，截面高度为H，宽度为B.圆弧拱的开口角为2φ，ν和ω分别表示中面处的径向位移和轴向位移，R是圆弧拱的初始半径，r是横截面上任意一点P(r, φ)的坐标值.

综合考虑拱失稳前非线性影响，构建FRP圆弧拱在极坐标系下膜应变εm及弯曲应变εb组成的轴向应变表达式[12-21]：

图2 纤维复合材料拱的力学简图(注意边界)Fig.2 FRP fixed circular arch subjected to acentral concentrated load

(1)

考虑拱失稳前非线性影响计入径向变形一阶导数的平方项,有

(2)

(3)

其中,E11为弹性主方向纵向弹性模量，E22为弹性主方向横向弹性模量，G12为面内剪切模量，ν12为纵横泊松比，θ为纤维布置方向.

由于最小势能原理力学概念清晰，解法便利，较易获得收敛的解析解，因此常被用于解决结构稳定问题.基于以上优势，本文构建了拱的变形能和外力势能，建立了整体结构的势能泛函.

(4)

上式中，FRP拱的轴力和弯矩可以表示为

(5)

(6)

圆弧拱的固接边界条件可表示为

(7)

联立式(5)和式(6)，求解弯矩的二阶导数：

(8)

将式(8)代入式(4)并进行分部积分，引入边界条件，得出集中荷载作用下FRP圆拱的径向位移：

(9)

其中，Q是外部集中荷载，H为Heaviside阶跃函数.μ和β为轴力参数，定义如下：

(10)

A1P2+B1P+C1=0

(11)

其中，

(12)

参数A1，B1，C1分别为

(13)

(14)

(15)

拱的修正长细比及等效回转半径定义为

(16)

(17)

平衡路径线上的极值点可由式(11)对β求微分得出，即

A2P2+B2P+C2=0

(18)

其中，

(19)

2 数值验证

为了验证解析公式的正确性，本文采用ANSYS软件中Shell 181单元建立图3所示的有限元模型.表1给出了有限元模型采用的材料特性.通过设置Tsai-Wu失效准则，较为精确地模拟了FRP圆弧拱模型的非线性弹性失稳，跟踪了拱的失稳平衡路径曲线.

图3 FRP圆弧拱有限元模型Fig.3 FE Model of FRP arches

材料特性E1/GPaE2/GPaG12/GPaν121308.74.30.320

图4(a)和图4(b)分别描绘了拱顶及1/4弧长处的无量纲荷载与位移关系曲线.图4(a)所示，固接FRP圆弧拱的非线性平衡路径曲线可以分成oa, ab和bc三个分支.加载初期，无量纲拱顶位移v/f沿路径线oa随无量纲荷载Q/2Ncφ的增大而增大，抵达上极值点a后圆弧拱失稳，拱轴内部产生力差，无量纲位移v/f沿路径线ab随无量纲荷载Q/2Ncφ减小继续增长；当荷载减小至下极值点b时，圆弧拱重新具备承载能力，无量纲荷载Q/2Ncφ随着无量纲拱顶径向位移v/f的增大，沿平衡路径线bc再次增大.图4(a)及4(b)表明，理论推导结果与有限元模拟结果基本吻合，推导得出的失稳临界荷载的解析式可以较为准确地描述FRP圆弧拱的失稳形式.

图4 有限元与理论对比图Fig.4 Comparison of FE and theoretical result

为了研究铺层角度对失稳临界荷载的影响，本文设计了铺层工况.以四层等厚铺层为例(见图5a)，任意选择某层布置90度铺层，其余各层布置0度铺层并绘出无量纲轴力-荷载曲线.由图可知，固定边界条件下，铺层[0,90,0,0]与[0,0,90,0]承载能力相当，铺层[90,0,0,0]与[0,0,0,90]的承载能力亦相等.然而，比较铺层[0,90,0,0]及[0,0,0,90]可以发现， 90度铺层位置显著影响拱的失稳临界荷载.

图5 铺层角度、铺层厚度及矢跨比对失稳临界荷载的影响Fig.5 The effects of ply-orientation, ply-thickness, and rise-span ratios on the buckling load of FRP arch

为了进一步研究铺层角度分布情况对失稳临界荷载的影响，本文设计了第二类铺层工况，即设定四层等厚铺层，其中两层为90度铺层，其余两层为0度铺层，该铺层条件涵盖了正对称铺层、反对称铺层及不对称铺层三类典型铺层方式.图5(b)为各铺层情况下无量纲荷载-位移的关系曲线.可以发现，对称铺层[0,90,90,0]的屈曲临界荷载最高，铺层[90,0,0,90]的临界荷载最低；反对称铺层[0,90,0,90]及不对称铺层[0,0,90,90]的失稳临界荷载适中，二者差异并不显著.FRP拱能够通过改变铺层的布置方式，实现对结构承载能力的主动控制，从而满足不同的工程需求.例如，在机械工程领域， FRP拱的跳跃屈曲常被用于制造变阻尼装置、微型阀门及精密传感器等机敏结构.

本文还开展了矢跨比及铺层厚度对失稳临界荷载的影响研究.图5(c)显示，FRP拱的失稳临界荷载随矢跨比的增大而增大，且随着矢跨比的增大，增长速率逐渐下降.有限元结果表明，对于矢跨比小于1/4 的FRP拱，本文提出的解析式可以较为准确的预测FRP拱的失稳临界荷载.由图5(d)可知，FRP拱的失稳临界荷载随着铺层厚度的增加而增加，其增长速率亦逐渐增大.表2分析了铺层数目对单种角度铺层拱的失稳临界荷载的影响.在铺层总厚度不变条件下，增加铺层数量不会引起单种角度拱的失稳临界荷载量值的变化.

表2 铺层数量对失稳临界荷载的影响

3 结语

本文开展了集中荷载作用下固接FRP圆拱的面内弹性稳定的理论研究，并通过有限元模型验证了理论结果的正确性.研究结果表明，90度铺层位置显著影响拱的失稳临界荷载，对称铺层 [0,90,90,0]与[90,0,0,90]铺层条件下的失稳临界荷载差异十分明显.此外，本文还研究了铺层厚度(3～9层)及矢跨比(1/10～1/3范围内)对失稳临界荷载的影响.研究发现，FRP拱的失稳临界荷载随着铺层厚度的增加而增加，且其增长速率亦逐渐增大；对于单种角度布置的截面，在保证铺层总厚度不变条件下，仅增加铺层数量并不会引起失稳临界荷载量值的变化.FRP拱失稳临界荷载随矢跨比的增大而增大，其随着矢跨比的增加，增长速率逐渐下降.