基于三阶矩法的CRTSⅡ型轨道板横向抗裂时变可靠度研究

邹 红，卢朝辉，余志武

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

CRTSⅡ型板式无砟轨道在我国京津城际铁路首次应用，随后在京沪、京石武、宁杭、津秦、沪杭、合蚌、杭甬和杭长等10余条设计时速为350 km的高速铁路上大规模应用。截至2017年底，CRTSⅡ型板式无砟轨道正线总里程为4 852 km，占高速铁路无砟轨道线路总里程的30%左右。

雨水、温度及列车荷载等共同作用使轨道板出现了伤损。文献[1]分析高速铁路无砟轨道线路的调研结果，发现轨道板下翼缘裂缝为CRTSⅡ型板式无砟轨道最常见的伤损类型(图1)。文献[2]指出，轨道板产生的裂缝会加速其内部钢筋的锈蚀，锈蚀的钢筋反过来会挤胀混凝土，使裂缝继续扩展，降低轨道板耐久性和承载力，影响乘坐舒适度和列车运营安全，增大养护维修部门工作量等(图2)。

图1 预应力钢筋边缘裂纹网

图2 裂缝修补

研究者对轨道板裂缝形成的机制开展研究。文献[3]提出温度梯度应力以及混凝土收缩是轨道板产生裂缝的主要原因，建议通过优选原材料、二次振捣等措施来延缓裂缝的产生与发展。文献[4]认为温度应力与外界荷载耦合作用加速了裂缝的形成与发展，建议从养护及施工温度控制等方面入手控制裂缝。

列车荷载、温度等环境作用以及轨道板材料和结构力学性能等具有随机不确定性，相关学者从概率论角度对轨道板裂缝开展研究。文献[5]考虑温度翘曲弯矩、列车荷载弯矩以及有效预应力弯矩等随机不确定性条件，提出基于FORM中心点法的轨中截面以及轨下截面上下缘的横向抗裂可靠度分析，但未从结构设计上具体考虑有效预应力弯矩使轨道板上、下缘产生拉压应力的大小，且FORM法求解可靠度存在求导迭代确定验算点等弊端。文献[6]考虑列车荷载以及有效预应力随机不确定性条件，开展基于蒙特卡洛法的轨道板横、纵向抗裂可靠度研究，并且将轨道板抗裂上升到串联体系可靠度，研究变量参数对体系可靠度的敏感性等，但其未考虑温度应力对轨道板抗裂的影响。文献[7]认为：无砟轨道温度梯度荷载引起的轨道板纵、横向翘曲应力以及翘曲变形甚至超过了列车荷载引起的无砟轨道板应力及变形，因此温度对轨道板开裂的影响不可忽略。

综上，要开展轨道板横向上、下缘抗裂可靠度分析，必须综合考虑轨道结构在运营期内受到随机不确定性的影响，按照最不利荷载进行工况组合，再采用一种有效又简便的可靠度计算方法分析轨道板横向抗裂可靠度。

本文发展了轨道板抗裂时变可靠度分析的三阶矩方法。首先，借助单联宽轨枕模型[8]发展考虑有效预应力损失条件时简支箱梁桥上CRTSⅡ型轨道板轨中与轨下截面上、下缘横向抗裂抗力时变模型，结合列车荷载弯矩与温度翘曲应力，分别建立轨道板轨中与轨下截面上、下缘横向抗裂的功能函数，利用这些功能函数，建立轨道板抗裂时变体系可靠度分析模型。其次，分别用7点估计一维减维法求解单一失效模式下轨道板横向抗裂时变功能函数与时变体系功能函数前三阶矩，采用三阶矩可靠度公式求出可靠度指标及失效概率。

1 单一失效模式下轨道板横向抗裂时变功能函数的建立

考虑抗力衰减的轨道板横向抗裂极限状态功能函数可表示为

G(t)=R(t)-S

( 1 )

式中：R(t)为轨道板混凝土抗力，包括混凝土自身抗拉强度与有效预压应力；t为轨道结构服役时间，a；S为外界荷载作用，本文考虑列车荷载及温度梯度工况组合在轨道板轨中与轨下截面上、下缘产生的拉应力。

1.1 有效预应力条件下轨道板横向上、下缘压应力计算

依据文献[9]，得到有效预应力条件下轨道板上、下缘预压应力为

( 2 )

式中：σPC(t)为有效预应力条件下轨道板上、下缘压应力，若为负数，则表示σPC(t)为拉应力，正数表示σPC(t)为压应力；NP0(t)为时变有效预应力合力；A0为换算截面面积；eP0为换算截面重心至预应力筋合力点的距离；y0为换算截面重心至计算纤维处的距离；I0为换算截面惯性矩。

轨道板长期预应力损失主要由混凝土的收缩、徐变和预应力筋的松弛三部分组成。在结构的使用过程中，混凝土有效预压应力的减小可能导致混凝土出现开裂现象，进而影响结构的耐久性。预应力结构的长期预应力损失在使用初期速度较快，随着使用时间的增加，其预应力损失速度逐渐变缓[10]。

依据文献[11]所述，预应力筋的松弛在使用40 d左右时完成，混凝土的收缩徐变在使用3年时完成，在使用1年时其收缩徐变预应力损失完成85%。由于无砟轨道结构承受列车荷载高频疲劳作用，轨道板在列车荷载激励下发生高频振动，会形成“琴弦效应”发生持续的高频振动，导致预应力钢筋的不断松弛；疲劳荷载作用导致的混凝土残余变形增加等会引起预应力的损失[10]。文献[10]在分析文献[12]研究成果之后，采用式( 3 )预测无砟轨道结构预应力损失。

( 3 )

式中：NP0为预应力初始值。

1.2 列车荷载条件下轨道板横向上下缘拉应力计算

依据文献[9],活荷载弯矩(本文仅考虑列车荷载作用于轨道板产生的弯矩)在混凝土构件相应截面上、下缘产生的拉压应力为

( 4 )

式中：σst为活荷载弯矩在轨道板计算纤维处产生的拉压应力；M为列车荷载作用于轨道板产生的横向弯矩。

当列车荷载作用于无砟轨道-桥梁结构体系时，基于弹性地基梁-板有限元模型，文献[13]利用ANSYS软件求解了轨道板的竖向挠度及横向弯矩，分别如图3、图4所示。

图3 轨道板位移变形(单位：m)

图3、图4表明：在列车荷载作用下，轨道结构轨底下截面(轨下截面)将承受较大负弯矩，中间截面(轨中截面)将承受正弯矩，此时轨中截面上缘混凝土受拉、下缘受压，轨下截面上缘混凝土受压、下缘受拉。

图4 轨道板横向弯矩变化

1.3 温度作用下轨道板横向上下缘拉应力计算

文献[14]认为：无砟轨道板在外界温度作用下会产生3个部分的温度应力，即轴向温度应力、温度梯度翘曲应力以及非线性变化的内应力，其中温度翘曲应力影响最大，甚至超过了列车荷载作用引起无砟轨道板的应力和变形[15]。若不受约束作用，轨道板变形能自由展开，则结构内部不会产生温度应力；反之，温度变形不能自由展开，在正温度梯度条件下轨道板上缘受压，下缘受拉，负温度梯度条件下应力相反。

根据轨道板截面静力平衡条件，文献[16]推导了温度翘曲作用下轨道板上、下缘混凝土拉应力公式

( 5 )

( 6 )

式中：σTt为轨道板在正温度梯度作用下的下缘拉应力；σTt′为轨道板在负温度梯度作用下的上缘拉应力；a为轨道板材料的线膨胀系数；Eg为轨道板弹性模量；ν为轨道板泊松比；Tz、Tf分别为正、负温度梯度。

文献[17]认为，“真实”的抗裂可靠度应当以外界荷载产生的拉应力抵消掉余压应力后达到混凝土抗拉强度，混凝土即将开裂为极限状态。根据文献[18]，考虑有效预应力损伤以及荷载最不利组合的轨道板轨中及轨下截面的上、下缘混凝土横向抗裂可靠度分析的功能函数可表述为

( 7 )

( 8 )

( 9 )

(10)

式中：g1(X,t)、g2(X,t)分别为轨道板轨中截面上、下缘抗裂极限状态函数；g3(X,t)、g4(X,t)分别为轨道板轨下截面上、下缘抗裂功能函数；ftk为混凝土轴心抗拉强度；MZ、MX分别为列车荷载作用在轨道板轨中、轨下截面处产生的横向弯矩。

2 多重失效模式下轨道板横向抗裂时变体系功能函数的建立

1.3节建立了轨道板4个位置处的混凝土抗裂时变功能函数。本文认为任何位置处混凝土抗裂失效结构不再满足使用要求，因此将这些单一抗裂失效模式视为串联关系，建立如图5所示的多重失效模式下轨道板横向抗裂时变体系可靠度模型。

图5 轨道板抗裂体系可靠度串联模型

文献[19]认为，串联体系失效概率Pf可以表示为

Pf=Prob[g1(X,t)≤0∪g2(X,t)≤0∪
g3(X,t)≤0∪g4(X,t)≤0]

(11)

相反地，整个串联体系不失效的概率Ps可表示为

Ps=Prob[g1(X,t)>0∩g2(X,t)>0∩
g3(X,t)>0∩g4(X,t)>0]
=Prob{min[g1(X,t),g2(X,t),
g3(X,t),g4(X,t)]>0}

(12)

图5所示串联体系的功能函数G(X,t)>0可以描述成在串联体系中所有抗裂失效模式下的最小值，即

G(X,t)=
min{g1(X,t),g2(X,t),g3(X,t),g4(X,t)}

(13)

3 轨道板抗裂可靠度分析的三阶矩方法

3.1 计算功能函数前三阶矩的点估计方法

对于功能函数G(X)，可以采用标准正态空间上的m点来估计函数的前三阶矩，即

(14)

(15)

(16)

式中：n为随机变量个数；ci(i=1,2,…,n)为组合系数c的第i项；c=mn，为变量估计点的组合数，即针对每个变量每次从1,2,…,m中选取一个，重复m次；m为估计点个数；uci为第ci个估计点；Pci为uci对应的权重；T-1(·)表示Rosenblatt逆正态转换[20]；μG、σG、α3G分别为功能函数的均值、方差和偏度。

对于式(14)～式(16)，必须对其计算mn次才能确定函数的三阶矩，随着n的增大，计算次数会呈幂级增加。为提高计算效率，文献[21]提出基于m点估计的一维减维方法

(17)

Gμ=G(μ)

(18)

Gi=G(μ1,μ2,…,μi-1,T-1(ui),μi+1，…，μn)

(19)

式中：ui为标准正态空间随机变量(i=1,2,…,n)；μ=[μ1μ2…μn]T,μ1，μ2，…，μn为随机变量均值；Gi为仅含有参数ui的单变量函数。

G(X)的前三阶矩可表示为

(20)

(21)

(22)

式中：μGi、σGi、α3Gi分别为单变量函数Gi的前三阶矩。

(23)

(24)

(25)

式中：uik(k=1,2，…,m；i=1,2,…,n)为ui的第k个估计点；T-1(uik)为第i个随机变量的第k个逆正态转换值；pk为相应的权重。若采用标准正态空间中的7点估计，其估计点值uik及权重pk为[21]

(26)

3.2 单一失效模式下轨道板横向抗裂时变功能函数的前三阶矩计算

根据式(17)～式(19)有

gi,1=M1(μ1,…,μi-1,T-1(ui),μi+1,…,μn1,t)-M2(μn1+1,…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μn1+n2+n3)
1≤i≤n1

(27)

gi,1=M1(μ1,…,μn1,t)-M2(μn1+1,…,μi-1,T-1(ui),μi+1…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μn1+n2+n3)
n1

(28)

gi,1=M1(μ1,…,μn1,t)-M2(μn1+1…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μi-1,T-1(ui),μi+1…,μn1+n2+n3)
n1+n2

(29)

gμ,1=M1(μ1,…,μn1,t)-M2(μn1+1…,μn1+n2)-M3(μn1+n2+1,…,μn1+n2+n3)

(30)

式中：T-1(ui)为式( 7 )中随机变量xi的逆正态转换值；μ1,μ2,μi-1,μi+1,…,μn1+n2+n3分别为式( 7 )所有随机变量(不含第i个)的均值；M1(μ1，…,μi-1,T-1(μi),μi+1,…,μn1,t)为变量xi取逆正态转换值(1≤i≤n1)，其余变量取均值时方程M1(X1,t)的值；M2(μn1,…，μi-1,T-1(ui),μi+1,…,μn1+n2)为变量xi取逆正态转换值(n1

当gi,1(i=1,2，…,n)确定后，若采用7点估计，单一失效模式抗裂功能函数的前三阶矩计算步骤如下：

步骤1 把每个变量的7个逆正态转换值与式(26)的权重代入式(23)～式(25)，可得到gi,1的前三阶矩μgi,1、σgi,1、α3gi,1；

步骤2 将gi,1的前三阶矩分别代入式(20)～式(22)可以得到功能函数的前三阶矩μg1、σg1、α3g1；

步骤3 依次重复步骤1、步骤2得到μg2、σg2、α3g2、μg3、σg3、α3g3、μg4、σg4、α3g4。

即确认功能函数的前三阶矩只需要计算m×n次。

3.3 多重失效模式下轨道板横向抗裂时变体系功能函数前三阶矩的计算

第2章已建立轨道板横向抗裂时变体系功能函数，类似地按照式(27)～式(30)，将时变体系功能函数的单变量参数方程以及均值分别表示为

Gμ(t)=min{gμ,1,gμ,2,gμ,3,gμ,4}

(31)

Gi(t)=min{gi,1,gi,2,gi,3,gi,4}

(32)

式中：下标i为整数，i∈[1,n]；n为g1(X,t)、g2(X,t)、g3(X,t)、g4(X,t)随机变量数总和，此时gi,1、gi,2、gi,3、gi,4所含的单变量参数即xi是相同的；Gi(t)为单变量参数方程。

重复3.2节中的步骤1～步骤3便可求得体系功能函数的前三阶矩μG、σG、α3G。

3.4 三阶矩可靠度指标及失效概率计算

将得到的功能函数前三阶矩代入式(33)和式(34)，可计算出三阶矩可靠度指标β3M和失效概率Pf[19]

(33)

Pf=Φ(-β3M)

(34)

4 算例

参考原铁道第三勘测设计院集团有限公司设计的时速250 km客运专线上CRTSⅡ型板式轨道板结构设计图(图6)[22]：整块轨道板长为6 450 mm，厚度为200 mm，宽度为2 550 mm；每一块轨道板之间用直径为20 mm的螺纹钢连接；混凝土标号为C55；横、纵钢筋交叉口采用绝缘设计；每块轨道板由10块单联宽轨枕组成，如图7所示；中部偏下10 mm处设置6根φ10预应力钢筋，如图8所示。

图6 CRTSⅡ型轨道板俯视图(单位：mm)

图7 单联宽轨枕俯视图(单位：mm)

图8 N-N剖面图(单位：mm)

4.1 单一失效模式下轨道板横向抗裂时变可靠度计算

功能函数g1(X,t)中，将M1(X1,t)中的参数ftk和NP0假定为随机变量x1和x2，即n1=2，将A0、y0、I0、eP0当作常量；在M2(X2)中，利用ANSYS软件内嵌PDS模块把列车竖向轮轨力P、扣件刚度Ek、桥面弹簧刚度系数Eq分别当作随机变量x3、x4、x5，即n2=3；在M3(X3)中，把α、Tf看成随机变量x6、x7即n3=2，h、Eg、ν当作常量。另外，g1(X,t)中未含有Tz变量，为了便于后文分析体系可靠度，将Tz看成随机变量x8，各变量分布类型与常量取值分别见表1、表2。

表1 算例随机变量分布特征

表2 常量取值

根据表1随机变量的分布特征，用式(26)标准正态空间的7点估计值经过Rosenblatt逆正态转换后，可得到相应随机变量原始空间的7点估计值，结果列于表3。

表3 随机变量7点逆正态转换值

利用文献[13]建立的梁-板有限元模型，在ANSYS软件中，先将列车荷载x3取表3中7点估计值，x4、x5取表1中均值，得到M2(T-1(u3m),μ4,μ5)的7个值为932、1 374、1 762、2 131、2 499、2 887和3 329 N·m。同理分别得到M2(μ3,T-1(u4m),μ5)、M2(μ3,μ4,T-1(u5m))的7个值，见表4。

表4 M2(x3, x4, x5)的7点有限元解 N·m

t=0时，将表1中xi均值、表2常量、M2(μ3,μ4,μ5)代入式(30)得μgi,1=2 351 293 Pa；将g1,1、表3中x1的7个逆正态转换值、表2常量、变量均值(x1除外)、M2(μ3,μ4,μ5)、式(26)相应权重代入式(23)～式(25)可计算得到g1,1的前三阶矩分别为2 351 340 Pa、448 177 Pa、0.004。

同理，可得到gi,1(i=2,3,…,7)的前三阶矩，见表5。

将μgi,1、表5中的gi,1(i=2,3,…,7)均值代入到式(20)，得到μg1=2 356 114 Pa；

将表5中gi,1方差代入到式(21)，得到σg1=618 171 Pa；

将表5中gi,1方差、偏度代入式(22)，得到α3g1=0.008；

将μg1、σg1、α3g1代入式(33)和式(34)得到β3M=3.82；Pf=6.41×10-4，与蒙特卡洛法对比见表6。

表5 gi,1前三阶矩

表6 g1(X,0)前三阶矩及可靠度

同理，当t∈(0，60]，利用式( 3 )估算有效预应力损失，方程g1(X,t)中随机变量、常量保持不变，将g1(X,t)时变可靠度整理为图9。

图9 g1(X,t)时变可靠度

图10 轨道板抗裂时变可靠度

图9表明：本文方法与蒙特卡洛法计算出的最大误差只有0.03，满足精度要求。轨道板轨中截面上缘抗裂可靠度从初始的3.85下降到2.07，当t=3年时(轨道板混凝土收缩徐变最大值时刻)，混凝土抗裂时变可靠度会有一个如图9所示的突变点，服役期间的后半时段，下降过程较为平缓。同理，求解g2(X,t)、g3(X,t)、g4(X,t)时变可靠度，如图10所示。

4.2 多重失效模式下轨道板横向抗裂时变体系可靠度计算

随机变量分布特征以及常量可以根据表1、表2直接选取，7点逆正态转换值可以根据表3直接选取，轨下截面弯矩MX(P,…)的7点有限元解可以参照轨中截面M2(x3,x4,x5)的求解方式。

当t=0时，根据式(31)：将表1中xi均值(此时i=(2,3，…,8))、表2常量代入式(30)得Gμ=min{2 356 114，3 576 037，2 847 931，388 551}=388 551 Pa。

根据式(32)，得到G1(0)=min{x1+111 292,x1+1 346 175,x1+603 235,x1-1 851 443}=x1-1 851 443。

将x1的7点估计值、Gμ、式(26)所示权重及G1代入式(23)～式(25)得到μG1=388 857 Pa、σG1=448 000 Pa、α3G1=0。同理，可得Gi(0)(i=(2,3，…,8))的前三阶矩，见表7。

表7 轨道板抗裂体系功能函数Gi(0)前三阶矩

重复4.1节，得到t=0时刻的轨道板横向抗裂体系可靠度，见表8。

表8 轨道板抗裂体系功能函数前三阶矩及可靠度

同理，当t∈(0，60]时，得到轨道板横向抗裂体系时变可靠度，如图10所示。

由图10(纵坐标为对数坐标)可知轨道板横向抗裂时变可靠度变化规律。在服役期限内，从式( 9 )可知：虽然有效预应力使轨下截面上缘混凝土产生的压应力较小，但外界荷载中只有负温度梯度在上缘才产生拉应力，且负温度梯度产生的拉应力较正温度梯度小，造成轨下截面上缘(g3(X,t))混凝土抗裂可靠度指标最高(3.00～4.76)。从式(10)可知，有效预应力使轨下截面下缘混凝土产生的压应力较大，但外界荷载(正温度梯度与M2(x3,x4,x5))在此处使混凝土产生的拉应力均较大(M2(x3,x4,x5)约为MZ(x3,x4,x5)的7倍[13])，两者效应叠加，最终造成轨下截面下缘混凝土抗裂可靠度(g4(X,t))在整个服役期限内都处于最低水准；当t∈[0,3]时，由于混凝土收缩徐变在此段时间内发展较快，其预应力损失较快，最终反映到抗裂可靠度的较快下降，因此抗裂可靠度存在如图10所示的突变点。另外，轨道板抗裂体系可靠度(βsys∈[0.011,0.342])比任意单一失效模式的可靠度还要低，建议工程设计人员着重提高轨下截面下缘混凝土抗裂可靠度设计值，进而提高轨道板横向抗裂体系可靠度水准。

5 结论

(1)本文建立列车荷载与温度翘曲应力工况组合作用下CRTSⅡ型轨道板不同位置处混凝土抗裂功能函数，结合现有轨道板预应力损失预测模型，进一步发展了单一失效模式下轨道板抗裂时变功能函数及考虑多重失效模式的体系功能函数。利用这些时变功能函数，发展了基于三阶矩的单一失效模式以及多重失效模式的轨道板抗裂时变可靠度分析方法。

(2)与蒙特卡洛方法对比分析表明：本文方法在保证计算结果精度的前提下，亦能提高计算效率，因此本文方法易于轨道结构抗裂可靠度分析与应用。

(3)时变可靠度分析结果表明：本文方法计算的轨下截面下翼缘混凝土抗裂可靠度处于最低水准，与实际工程中CRTSⅡ型轨道板裂缝分布情况较吻合。由于下翼缘混凝土开裂会加速轨道板内部钢筋锈蚀以及下层砂浆层老化等；考虑多重失效模式后，轨道板抗裂体系可靠度比任意单一失效模式的可靠度更低，为了践行我国高速铁路“零风险”运营理念，建议工程设计人员着重提高轨下截面下缘等薄弱位置处混凝土的抗裂可靠度，进一步提高体系可靠度。另外，本文采用了已有的轨道板预应力损失模型，实际工程中CRTSⅡ型板式有砟轨道有效预应力损失规律有待进一步研究。