化归思想在数学应用中的五种思维形态*

□姬梁飞

（华中科技大学教育科学研究院，湖北武汉 430074）

一般地，数学界将数学知识的存在形式分为原始形态、学术形态及教育形态.原始形态的知识被认为是客观的、稚嫩的、尚待完善的，学术形态的知识被认为是美丽的、高贵的、冰冷的.国际数学教育委员会前主席H.弗赖登塔尔曾评论道，任何一种数学思想的公开发表形式均非是它当初被发现时的模样，一旦它被作为解决问题的工具时，就相应地发展成某种形式化的技巧，至于它的求解与发现过程则被漠视在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽[1].教育形态的数学知识是知识在教育环境下所呈现的形态，也是需要教育工作者进行转化的知识形式.张奠宙教授曾主张将数学知识的学术形态转换为教育形态，并作为数学教学的基本目标之一[2].他认为，学术形态的数学往往表现成一种冰冷的美丽，教育形态的数学却是一种火热的思考[3].化归是转化和归结的合称，它是一种思维方法，是提升学生数学素养的利器.化归思想的构建与完善经历了原始形态和学术形态，数学教育工作者的职责是把它的学术形态转换为合适的教育形态.重视教育语言与学术语言的表述差异、教育形态与学术形态的知识功能差异、学生与教师的思维层次差异.教师需要引导学习主体深刻理解隐藏“冰冷美”背后的知识本质和思维过程，让化归思想的“冰冷的美丽”回归于学习者的“火热思考”，用教育智慧和逻辑去表达与转化，充分暴露化归思想形成的思维形态.本文谨从化归思想在数学应用中的五种思维形态入手，阐释化归思想在应用中的一般路径.

一、从合情推理到公理系统的演绎

思维的推演离不开化归思想，逻辑系统是数学中应用化归思想比较显著和高度集中的一个板块.早期，人们根据已有的事实或问题，通过观察、分析、联想、比较得到一些合乎情理的推理论断，这种推演方法主要是类比和归纳，也统称为合情推理.例如，类比平面直角三角形中的勾股定理（a2+b2=c2），推演出空间直角四面体的性质，即三个直角面的面积平方和之和等于斜面的面积平方（S12+S22+S32=S2）.这些推理过程借助化归思维，将三维空间“降维”为二维空间，用二维空间图形性质类推立体图形性质.演绎推理是从已知的一般原理出发，推出研究对象在某种特殊情况下具有的性质，带有抛砖引玉、借古讽今、以旧引新的意蕴.波利亚曾指出“合情推理是冒险的、有争议的、暂时的”.事实上，演绎推理，既要有合情推理的成分，又要有论证推理的证明.后来，欧几里得利用演绎推理将《原本》转化为一个典型的逻辑系统，用尽可能少的原始概念和不需证明的原始公设.这种公理化方法在数学发展史上具有丰碑式的不朽价值，它基本上完善了初等几何理论体系，此后这种公理化方法被迅速应用到社会科学和自然科学领域.正如波利亚所言，欧几里得几何不仅是一个公理系统，而且是此类系统中的第一个，也是最了不起的一个，其他科学领域已经而且至今都在努力模仿[4].

化归思想是如何渗透其中的呢？首先，化归方法有助于几何学研究对象的确立.几何学的研究内容繁多，需要通过化归方法将烦琐的几何要素归结为最普遍情形予以考察.研究几何问题，只需抓住几何研究要素中的本质特征，即研究对象：点、线、面.其次，公理系统的建立需将系列的、具体的事实概括、转化、归结为一般公设、公理.从这些公设、公理出发，超越事物的具体表象，寻求几何世界里的普遍规律，利用化归与演绎方法，将公理、公设逐步推演出467条定理.最后，化归思想促进欧氏几何公理系统的不断完善.在认识世界的过程中，人们通过观察、实验、推理等方式获得知识经验，这些经验的真理性、完备性、相容性都需要得到检验和辨别.从逻辑结构上看，初等几何理论作为一个封闭的演绎体系，从基本假设演绎出众多复杂的结论，从一般原理到特殊问题的推理，这些结论和推理都需要经过严格的数学证明，而证明思路的发现、构建、实施，除了必要的逻辑规则外，较大程度上还需依赖于基本的数学思想方法，尤其是化归方法.通过化归方法的辅助证明，几何公理系统更加条理，则有limαn=a.经历一定量变的临界点后，便扬弃了有限性重复发生现象，进入飞跃阶段，即质变段[6].所以，微积分中重要概念的建立不得不借助实数系中并不存在的无穷小量来描述，需要解决无穷小存在性矛盾，从而化归为高层次的数学结构.从认识论角度看，思维形态在反映物体运动时存在着思维的飞跃性，即思维摹写运动.无限概念的化、系统化，走向相容和完备，最终趋于成熟和完善.

二、从具体表征到数学抽象的归结

从哲学角度看，表象与本质是人们研究事物外部表现和内部联系的一对辩证法概念.表象是事物外部的具体表现，本质是事物内在的根本属性，两者是辩证统一的，表象反映本质，本质决定事物的内涵和发展趋向.在实践中，需要去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，最后实现从现象到本质、从不深刻到更深刻的无限过程[5].从心理学角度看，事物表征分为表象、图式以及认知地图.一方面它代表着客观事物形态，并反映客观事物的特征.另一方面，它是外界事物在人们心理活动中的再现，是人们心理活动需要持续加工、建构的目标对象.转化思想在具体表征和数学抽象之间的转换有双层内涵.具体来说，有两种体现，以无限观为基础的极限论和以坐标系为基础的数形互化.

第一种，以无限观为基础的极限论所蕴含的化归思想.实无限观产生于19世纪60年代，用无限的努力取得有限的结果，极限是在通过实无限的过程中发生的质变.例如著名的“Dedekind分划”借用有理数的稠密性将其集合分划为左右集合的形式.徐利治教授认为“无限”概念蕴含了矛盾，在微积分领域里，常用的ε-δ及ε-N语言，借用潜无限形式表达实无限 过 程 ，比 如 ∀ε＞0,∃N=Nε＞0，使 得完成最根本问题是能否实现人脑思维形态的运动与客观存在的化归过程，在这个摹写过程中，化归思维起到至关重要的作用，即联结和过渡.

在求圆形面积时，使用了“化圆为矩”的方法.通过把圆形无限分割成许许多多的小扇形，将这些小扇形拼接成一个近似矩形.在定积分领域，把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积，这种“化曲为直”或“以直代曲”的思想就是一种化归思想.解析几何中“以斜化直”，三角函数中的“以切代弦”等.在模糊数学领域，对于生活中许多外延不分明的概念，很难直接界定或定量分析.将不确定性问题归结为随机性和模糊性.通过建立模糊集合，利用变换规律，将模糊集合中的元素进行对应转换，以0～1之间的实数表述其隶属程度，建立隶属函数.这种转换方法便可以利用随机数学、精确数学等知识研究模糊数学理论，将模糊性研究对象予以确切化，用精确数学方法研究客观世界中的模糊现象，正是化归思想沟通了模糊性研究对象与精确性数学手段之间的关联，也促进了模糊数学作为现代新兴学科的迅速发展.

第二种，以坐标系为基础的数形互化所蕴含的化归思想.例如，函数图象直观地展示其性质，函数解析式从代数意义上高度抽象地描述概括其变化形态.在解析几何中，曲线与方程更是能够相互转化，以形助数、以形判数、以数辅形、以数定形，数与形相互转化，形影不离.总之，数学学习需要从情境中抽象出数学概念，从具体表征概括出事物的本质特征.

三、从问题变式到等价命题的类推

数学中存在许多通过数学变式分析来解决问题的化归方法.从已有的定义、定理、推论、等价命题等出发，寻找合适的化归目标，然后进行逻辑推理和数学运算，从而得出新的结论.从变式到等价，常需要构建转化条件，设置过渡元素，比如添加辅助元构造辅助函数、方程、不等式等.在几何中，添加辅助线，将斜三角形化为直角三角形，将不规则图形转化为规则图形，用割补法求其面积或体积.在代数中，算式的运算、变形、化简，方程与不等式的互化，一般数列向等差、等比数列的转化等.在函数中，函数解析式与函数图象之间的转化，函数零点与方程根的转化，函数与不等式恒成立问题的转化等.根据问题变式进行转换、对等价命题进行分解，根据研究对象在某些属性上的相同或相似性，类推出它们在其他属性上的相似特性.这种化归形式可以由一般到特殊、特殊到一般或特殊到特殊等方式进行近似类推，有正面类推和反面类推.

第一类，正面类推.它是将问题对象直接简化为熟悉的数学问题，或分解成若干个比较容易解决的、与旧知识相联系或相呼应的小问题.这种化归方向简单直接，逢山开路，遇水搭桥.在三角恒等变形时，将1转换为sin2α+cos2α或sec2α-tan2α的形式.在矩阵中，用正交变换化二次型为标准型，或将单位矩阵E转换为AA-1，AAT的形式，或用A-1，A*，An，A-E去作用矩阵方程.例如其中矩阵A，B均是n阶可逆矩阵.在不等式中，利用变式转换，将普通不等式转化为基本不等式.已知，x＞0,y＞0，9x+y=xy.求x+y的最小值.首先将9x+y=xy化为1=10≥16.当且仅当x=4,y=12时，原式取最小值16.在微积分中，常用的等价无穷小量替换转 化 ，x～sinx～tanx～In(1+x)，ex-1～x，(x+1)λ-1～λx等，其中x→ 0,λ∈ R.

第二类，反面类推.这类转换是将普遍情形化归特殊形式或极端形式去考察，将直接求解问题转换为间接求解问题.采用逆向思维，正难则反，通过迂回、反推、反证的化归方法使得问题得到有效转化，从而起到化难为易、事半功倍的效果.在概率中，事件A，B互为对立事件，则可相互向对立面转化，即事件A，B，C至少有一个发生的概率可表示为事件A，B，C都不发生的概率可表示为1-P(A∪B∪C).在逻辑推理中，原命题的真假性与其逆否命题的真假性可以相互转换.证明：若m2-n2+2m-4n-3≠ 0，则m-n≠1.如果直接证明是较困难的，但转换为其逆否命题，若m-n=1，则原式=(a+从而命题获证.这种特殊化、极端化形式是几何和代数推理中常用的方法，考察某些运动元素或变量运行到极端情形时的情况，从而突破待解决问题的难点.

四、从境脉情境到数学模型的建构

境脉学习理论强调学习者现有知识结构与外部世界的关联，人能够对学习情境进行自我认知建构.化归能力是学习者应该具备的通用能力，具有普适性，蕴含模型思想的育人价值.在PISA数学测试中，有四分之一以上的题目设置境脉情境，将生活中的情境问题转换成为数学问题，其实质就是通过建立数学模型解决数学问题.在数学中，许多看似抽象的问题常常可以转换为已知的数学模型，运用数学语言将情境问题中隐含的数量关系转化为数学模型，从文字表达向符号等式转化.这种数学转化既蕴含了数学特有符号、等式、方程、图形、公式之间的转换，又包含了化归思想方法的综合应用.

例如，已知甲、乙两地相隔1200m，在甲地听到某处发出的信号比乙地要晚3s，请描述信号源可能分布在什么形状上？这是一个现实情境问题，进行语义转换，建立直角坐标系设甲地坐标为M(-600,0)，乙地坐标为N(600,0)，信号源坐标为Q(x,y)，则又.所以，b2=c2-a2=99900.故信号源分布形状是在双曲线的右支上.首先，它需要实现生活语言与数学语言的语义转换，要把相近的生活问题予以数学化，引进数学符号、表格、图形等数学语言进行语义转化，即符号化与变换的思维意识.其次，通过设未知元，建立坐标系，引进向量等工具，寻找数学关系，建立方程、不等式、函数、概率模型、统计模型等.最后，对模型结果进行分析、检验、解释，回归现实问题.可见，数学建模是一个沟通已知和未知的桥梁，是主体和客体之间进行化归的媒介.本质是同一研究对象在情境和数学之间的变换，现实问题和数学问题的相互解释、相互补充，它是数学知识在不同领域里的迁移、推理与化归.在学习数学过程中，有意识地将情境问题向同类型数学问题化归，用数学符号、表格、图象等语言刻画问题情境，向已经建立或熟悉的数学模型、数学结构转化，将抽象问题具体化、模型化.

五、从主体目标到客体对象的转换

化归思想具有浓厚的哲学意义，它要求人们自觉地以运动、变化、联系的观点观察世界.在数学中，经常遇到动态问题、变量转换问题，若同时存在几个变量，直接处理是比较棘手的.可以把动态问题转化为静态问题，反客为主，以退求进，寻求变换变量，从主体目标向客体对象转化，更有利于问题的解决.比如，椭圆方程，原本是二元变量方程，在运算上很不方便，引入参数φ，可以把主元转换为辅元，即x=acosφ,b=sinφ.例如，z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，引入变量变换，便可以证明

通常情况下，问题的主体目标处于主要地位，解决问题要围绕主体目标寻求办法.但在特殊情况下，这样做却是很麻烦的.可以转变思路，将主体目标向客体对象进行转换，反客为主，变更主元，则会收到意想不到的效果.再如，从抛物线y2=2px,p＞0上各点向x轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程.设垂线段中点为M(x,y)，抛物线上各对应点为N(x0,y0)，则有x0=x,y0=2y.将其代入原抛物线方程，化简可得其轨迹方程为.原本动点M并没有现成的关系式和方程可用，但通过转换目标，将其嫁接到原抛物线的对应点N上，这样就可以借鸡生蛋，把待解决问题给盘活了.除此之外，根据研究对象的内部关联和外部呈现，解析几何中还有许多化圆为椭、化椭为圆的例子，函数中有化动为静、化主为辅等嫁接迁移的案例.

综上所述，研究化归思想的思维形态有利于优化数学知识的教育形态，升华数学知识的学术形态，将数学知识真正转化为数学能力、数学素养，将隐藏在“冰冷的美丽”背后的数学本质、数学思维呈现出来.化归思维也能够引发学生的合情思考，领会知识的来龙去脉，提升学生探求知识的愿望，这种愿望才是他们持久学习的内驱力 .□◢