鸽巢原理在中学数学中的应用

刘强

摘 要：深刻理解鸽巢原理并作为思维工具分析和解决问题，不仅对学生的逻辑思维的培养大有裨益，帮助学生提高学习兴趣，而且可以提高中学生创造性地将问题进行抽象的能力。

关键词：中学数学;鸽巢原理;构造

一、鸽巢原理

鸽巣原理又名抽屉原理，或者由发明人命名为狄利克雷原理，其发现归功于德国数学家狄利克雷（Divichlet，1805—1855）。鸽巢原理在组合数学中起着非常重要的作用，在数论和密码学中应用丰富。鸽巢的构建是巧妙用鸽巢原理解决问题的关键，即通过转化找出符合题设要求的分类准则。

二、中学数学中鸽巢原理的构造方法

鸽巢构造的方法较多，其中有两大类最具有普遍性和参考意义：（1）分割图形、等分区间的方式;（2）鸽巢通过分组和分类的方法来构建的。

（一）分割图形构造鸽巢

几何图形题中存在多个点时，一般讲图形进行分割，将分割得出的子图做为鸽巢。通常使得鸽巣间的元素既互不重复，且覆盖所有元素，但也不绝对，某些情况下根据题设情况，鸽巣间也可以包含公共元素。

例1如果直径为5的圆内有10个点，其中有某两个点的距离小于2。

证明 如图（3）所示，将圆等分成8个扇形，中心作直径d=1.8的圆，把已知的圆分成了九个鸽巢。由鸽巢原理，圆内的10个点，必有两点落在同一区域内，只需证明每个区域中的两个点距离都小于2。

显然，小圆内任两点间的距离小于2，曲边扇形ABCD中，   AB﹤2，AD﹤2，CD﹤2，而任两点距离最大者AC，有

（二）等分区间构造鸽巢

若某區间内存在若干个的点，一种构造方式是把区间等分成n-1个子区间（若有n个点）。根据鸽巢原理，则必有两点落于同一子区间，且间距小于等于 。该构造法对于一些不等式的证明具有奇效[6]。

证明 如图（2），将实数轴上0到1线段等分为10小段，每小段长为  。根据鸽巢原理，则11个点中至少有   个点落在同一条小线段上，设为xi，xj，（i≠j），这两点相应的数之差的绝对值     。

（三）分组构造鸽巢

用这种方法解决鸽巢的分组问题的关键是确定鸽巢分组。只有把鸽子分成合适数量的鸽子，才能应用鸽子原理。

例3对于n+1个不大于2n的不相等的正整数，其中必然存在两个数是互素的。

证明 先证明以下的事实：任何两个相邻的正整数是互素的。用反证法。假如n与n+1有公因子q（q≥2），则有

（四）按余数分类构造鸽巣

对于诸多自然数的问题，一种惯用的手法是对模同余分类法，即构造n个鸽巣，以n为模，将所有自然数分为{余数为0的自然数}，{余数为1的自然数}，…，{余数为n-1的自然数}，共n个鸽巣。

例4证明：对于任意给定的12个不同的自然数，两个数的和或差可以被20整除。

证明：自然数按余数除以20分为20类。任何给定的12个不同的自然数，如果它们中的两个落在同一个类中（即，两个数的剩余除以20），那么它们的差是20的倍数，并且结论成立。

一般来说，如果取一个不同的自然数，则必须有两个数的和或差的倍数。

三、总结

鸽巢原理在中学数学提供了广泛的应用，本课题仅探讨了其中的部分应用，生活中也有很多情形可以采用鸽巢原理的思想来解决。在相同的问题中应用鸽巢原理有很多方法。

参考文献：

[1]虞华芳.发兴趣，走出误区——高中数学教学探索[J].考试周刊，2016（56）：84.

[2]陈景林，阎满富.组合数学与图论.北京中国铁道出版社出版，2000.04