“复变函数与积分变换”教学改革思考

王科 王颖 张霆

摘要：“复变函数与积分变换”是高等院校工科专业的一门重要基础课，其在许多领域有广泛的应用，如何教好这门课程是教师非常关注的问题。通过优化教学大纲、加强相关课程的融合、丰富实践性教学案例、增加演示实验等几个方面对复变函数与积分变换的教学改革进行讨论，提高复变函数与积分变换的教学效果，为应用型人才的培养积累经验。

关键词：复变函数与积分变换;课程融合;教学改革

中图分类号：O1745 文献标志码：A

文章编号：2095-5383（2019）01-0102-02

Thoughts on the Teaching Reform of Complex Functions

and Integral Transformation

WANG Ke1a， WANG Ying2，ZHANG Ting1b

（1. a. Department of Information and Computing Sciences;b. School of Electrical Engineering，Chengdu Technological University，Chengdu 611730，China;2. School of Mathematical Sciences， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 611731，China）

Abstract：Complex Function and Integral Transform is an important basic course in engineering colleges. It has a wide range of applications in many fields. Many teachers pay attention to the problem that how to teach this course. The teaching reform of Complex Funcions and Integral Transform from the aspects of optimization syllabus， strengthening the integration of relevant courses， enriching practical teaching cases， and increasing demonstration experiments was discussed in this artical. It can improve the teaching effect of complex functions and accumulate experience for the construction of applied universities.

Keywords： Complex Function and Integral Transform;curriculum integration;teaching reform

“复变函数与积分变换”是高等院校工科专业的重要基础课程，该课程是实变函数理论的推广和发展，它的许多理论和方法是培养学生思维能力和计算能力的重要工具，并在自动控制、通信原理、信号分析、机械系统、流体力学等诸多领域有广泛应用。本文将分析如何对复变函数与积分变换进行教学改革，以便让学生更好地学习相关专业课程做好铺垫。

1“复变函数与积分变换”教学现状及存在问题

11

课程内容较多，学生很难构建完整的知识体系

“复变函数与积分变换”涉及内容较多，一些内容之间的连贯性不强，如果采取蜻蜓点水式全面介绍，会使得学生理解不够深入，无法构建完整的知识体系。

12学生学习中存在严重的畏难情绪

本课程作为高等数学的后续课程，与高等数学知识密切相关，许多理论知识是将实变函数推广到复变函数。大多数内容都必须使用高等数学知识来完成，但一些学生对高等数学知识掌握程度不理想，不能为该课程的学习提供必要的基础。

13课程理论性较强，缺乏直观性

“复变函数与积分变换”作为理论性很强的课程，数学推导严谨，缺乏实际应用背景，这使得教学内容沉闷，学生学习的热情低落，没有主动性，这样导致学生在学习过程中形成依赖，缺乏创新意识。不仅如此，课程需要记住许多结论和公式，这些公式的表达式比高等数学中的公式更难记忆，例如柯西积分公式、拉普拉斯变换公式等[1-2]。

2教学改革的设计

针对以上问题，应从以下几个方面来进行改革：

21优化教学大纲，理清课程脉络

教学大纲的制定是教学的重要环节，制定合理的教学大纲为教学的开展提供了有力的参考。“复变函数与积分变换”是高等院校工科专业的重要基础课程，为了在有限的时间完成有效的教學内容，教师必须优化教学大纲，在保证课程严谨性的前提下，构建完整的知识体系。所以，该课程应在了解复数与复变函数的基础上，以函数的解析性为主线，研究常见初等函数的解析与调和，结合柯西积分定理，着重讨论复变函数在封闭曲线的积分，从而讨论复变函数级数的求和以及和函数展开成级数，并讨论其推广到整个复平面的洛朗级数，最后讲解傅立叶变换和拉普拉斯变换。以上优化省略了留数和共形映射这两部分，虽然这两部分也很重要，但并没有影响到整个知识体系的完整性，课程脉络清晰，课程结构如下图所示：

22加强相关课程的融合，促进课程概念理解

多课程融合为我们提供了一种新的教学理念，它不但打通了课程间知识点的联系，提高了教学效率，也有利于学生完成综合性问题的求解，进而提高学生解决实际问题的能力。“复变函数与积分变换”作为高等数学的后继课程，同时也为“自动控制原理”“信号与系统”等课程提供了理论基础。尤其是傅立叶变换，这部分内容的教学一方面通过复变函数定积分的定义、定积分在对称区间的性质推导傅立叶积分公式，让学生加深对傅立叶变换概念的理解。另一方面，通过与“信号与系统”“自动控制原理”等课程结合，明确傅立叶变换的实际意义，比如频谱分析，即信号频谱分析是将时域信号变换至频域加以分析的方法称为频谱分析，其目的是把复杂的时间历程波形，经过傅里叶变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。所以，虽然傅立叶变换可以将微分方程变成代数方程，将卷积变成乘积，但从实际意义来看，可以说傅立叶变换是时域和频域的一种转换，所以傅立叶变换应从时域和频域两个方面来考虑它的性质，即平移性质、微分性质、积分性质、卷积计算都有时域性质和频域性质，具体如下图所示：

23结合专业特点，丰富实践性案例

“复变函数与积分变换”课程教学真正做到有的放矢，应结合专业特点，使得教学更具有针对性。在课堂教学中根据学生所在专业设计丰富的实践性案例，这样可以有效提高学生的学习积极性。对于自动化专业的学生应多讲解一些信号与系统中的案例，比如连续系统的时域分析和频域分析，主要利用的就是复变函数与积分变换中周期函数和非周期函数的傅立叶变换，以及在此基础上研究连续系统的复频域分析，即拉普拉斯变换及相关的应用。对于测试与控制专业应多讲解一些控制系统的相关案例，比如对于控制系统的时域分析和频域分析，即一阶、二阶控制系统的阶跃响应，主要利用复变函数与积分变换的零点、极点的判断，以及在此基础上研究代数稳定的判据，即讨论微分方程解的稳定性等。

24通过演示实验，增强计算和概念的直观理解

在教学过程中，适当补充一些演示实验，用数学软件快速进行数值计算，比如计算函数值的实部、虚部和幂等，简化繁琐的问题，并用数学软件绘制复变函数与积分变换的图形，让学生直观地了解新知识。例如，在解释三角函数时，复数正弦和复数余弦具有奇偶性、周期性、可微性等，尽管它们与实数中的正弦和余弦形式上相同[3]。但是，在复数域中，正弦和余弦不再有界。又比如，“复变函数与积分变换”中的欧拉公式，该公式将复数三角表示转变为指数表示，虽然形式简单，结果却惊人，被誉为“数学中的天桥”。对于傅立叶变换的频谱分析，应结合信号与系统将振幅谱和相位谱概念讲清楚，通过实验演示，让学生认识到机械领域的人利用欧拉公式圆周与振动运动的互相转换，以此创造了缝纫机，如图3所示。

当曲柄遥感机构图片中OP作圆周运动的时候，PQ在水平线之间作正弦振动（保持Q的横向位置不变），从而说明了这个机构就是缝纫机的脚踏板机构。

3教学改革的效果

通过以上改革，学校“复变函数与积分变换”课程课堂上学生的出勤率、作业完成率和课堂学习效率得到了大幅度提高，成绩较以往有了大幅度提升，不及格率从以往的50%以上下降到30%以内。在实践教学方面，学生兴趣也有所增加，通过Matlab软件自己动手完成一些复变函数与积分变换中的实验。比如，画出多个波形叠加的图形，观察图形的变换。同时，在学习后继的专业课程的时候，任课教师感到学生傅里叶变换和拉普拉斯变换掌握较好，为以后的学习做了良好铺垫作用。

4结语

为了让“复变函数与积分变换”课程更好地为后续的专业课程服务，优化教学大纲、加强相关课程的融合、丰富實践性教学案例、增加演示实验等，并辅之合理的考核方式，必将有利于教学效果的提升。学校教师要以“复变函数与积分变换”的教学改革为突破口，将该课程的改革思想融入到其它理论课程中，为应用型人才的培养积累经验[4]。参考文献：

[1]

李泽. 复变函数与积分变换课程教学改革浅谈[J]. 数学学习与研究：教研版，2017（21）：34.

[2]谢娟，邱剑锋. 复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J]. 合肥师范学院学报，2009（3）： 2628，44.

[3]谷菲菲. 工科复变函数与积分变换教学改革的探索[J]. 科教文汇，2016（14）：3031.

[4]刘显全. 复变函数教学法探讨[J]. 大学数学，2012，28（2）：156158.