怎样上好初三数学习题课

李卫

◆摘  要：数学解题的目标绝不是为了解题，而是通过数学问题解决，获得学生更长远的发展，同时对数学问题进行拓展研究，达到舉一反三，融会贯通的目标。习题课要设计出“问题串”的题系，要讲习题的核心所在，讲试题承载的思想方法。

◆关键词：数学习题课;平行;专题复习;问题串

《解题学引论》罗增儒教授对数学习题课的认识是这样说的：题——即是问题，特征是概念的抽象概括、定理的发现证明、数学的应用。数学题——练习型的题具有教学性，研究型的题具有学术性，考虑一种为狭义。解题：传统意义的“解题”注重结果、注重答案，而现代意义的“问题解决”则更注重解决问题的过程、策略及思维方法。因此数学习题课严格意义上应该是练习型数学问题解决的课堂，我们可以从三个层次深入理解习题课：认识习题课，从课到题;建构习题课，从题到解;反思习题课，从解到思。下面，将通过《平行专题复习》这个案例来让我们重新认识数学习题课。

案例：中考专题复习《玩转平行》

一、教学设计思路

中考常考察学生对两条直线特殊位置的应用，其中平行尤为常见，启发学生巧用平行线的性质给解题带来很大的帮助。这节课重点探讨平行线的两类应用：①平行在多边形变换中的应用;②平行在函数中的应用。难点是平行在函数中的应用。希望通过这节课能帮助学生有效利用平行的性质快速寻找到解相关题的思路。

二、教学环节

（一）平行在中考中的重要性

PPT展示近几年中考数学试卷中涉及到平行的考题所占比例，明确学生需熟练掌握平行性质解题的重要性。

提到平行，学生常联想到以下相关的知识：角的关系（同位角、内错角、同旁内角）、距离相等（平行线之间的距离）、平行线分线段成比例、直线表达式的一次项系数相等（[k1=k2]）等。老师板书关键点在黑板上。平行的相关知识掌握容易，但从这些基本性质出发，到熟练运用平行线相关知识解题的这条鸿沟确是很多学生感到为难的地方，我们该如何把握住题目的关键，快速破题呢？

（二）玩转平行

第四题：由平行与中点联想到构造全等的三角形。

本环节精选了四类题型：利用平行线构造相似的三角形，A型、X型等;利用平行线、角平分线构等腰三角形;利用平行线之间的距离处处相等进行等积变换;利用平行线、中点构全等三角形。通过这四类几何题型的练习，让大家对平行的基本性质的应用有个更系统化的认识，如果我们再给它加一个函数的背景，那么又该如何运用平行来解题呢？

三、玩转函数中的平行

【活动二】师生共同探究，先由学生独立思考后，老师再提问点拨，学生讲解解题方法。

老师可以设计问题串的形式启迪学生思考：

问题1：这里的MN∥BD有何用处？（学生会发现内错角相等、A型相似等，让他们能够迅速的对图形作出分析判断。）

问题2：那么要判定△DNM∽△BMD，它们的边或角还需要满足什么条件？（要么两夹边成比例，要么再找一组对应角相等。）

问题3：如果用两夹边成比例，那么列成的比例式就是[MNDM=DMBD]，这里的DM、BD均可以表示出来。因为MN长度随着M点的移动而变化，难点是如何用M的坐标表示出MN的长度呢？

问题4：根据MN∥BD，得到平行的三角形相似，从而算出MN长度。代入之前的比例式中，得到关于m的方程，你能求解出答案是多少吗？

问题5：根据MN∥BD，在表示MN时，你们有没有别的方法？（根据两条直线平行，[k1=k2]，那么可以求出直线MN表达式：y=-x+m，联立两条直线的表达式得到N坐标，然后再求出MN长度）

问题6：如果我们选择的是方法二：再找另一组角相等，你会找哪一组角？（45°的角相等）

问题7：由这两个45°角相等，结合图形分析，你又有了什么新的发现？（两个锐角相等，它们的正切值也相等，那么构造相似的直角三角形，利用边角倍数关系列出方程，求得答案。这种解题方法非常新颖，计算也很简便，由角相等联系到三角形相似解题，真是从相似中来，回到相似中去。这种方法妙得很！）

问题8：由这两个45°角相等，大家还有没有其他的发现？（分析图形，结合一对45°角和一个公共角，得到两个新的三角形相似，利用对应边的比，可求出AM长度。）

目前为止，我们给出了四种解题方法，这道深圳中考压轴题让我们玩出了新高度，简简单单的平行线，可以承载这么重的分量。让我们欣喜的是，只要抓住平行的基本性质，由平行想到角相等，由平行构造的相似三角形等，就可以像今天这样快速破题。

四、巩固提升

变式1：利用平行构造相似三角形求出边长，再根据边长和平移距离，表示B的坐标。最后带入反比例函数的表达式中求出m的值。

变式2：由平行线之间的距离处处相等进行等积变换，将四边形面积转换为三角形AKB的面积。从而求出面积的最大值。

我们知道题是数学习题课堂的主要载体，从温习题设计到新授题探究，再到巩固题提升，本节课选题准确、题量适中、难度恰当、方法多样。反思本节习题课，授课者从几个方面进行精心设计：解题思路;切入角度;同质变式;异题变式。但数学解题的目标绝不是为了解题，而是通过数学问题解决，获得学生更长远的发展，同时对数学问题进行拓展研究，达到举一反三，融会贯通的目标。因此，习题课不要搞题海战，要设计出“问题串”的题系;习题课不要就题讲题，要讲习题的核心所在，讲试题承载的思想方法。