表格法——数学解题的好帮手

戴 飙

广东省惠州市第一中学 (516007)

表格法就是将题中的相关条件或求解时的数量关系经过整理和总结,将其制成表格并用于解题的一种方法.在有些应用题里，各种数量间的关系比较隐蔽，不容易直接看出，而且条件繁多，变化复杂，遇到这些题目时，可以采用列表法来分析条件.表格法具有醒目、直观、系统和有趣的优点,可以帮助学生准确、完整地理解题意，同时还能够有效地提高学生的解题能力和技巧.本文列举几例巧用表格法解题的范例，权当抛砖引玉.

1.在数列问题中借用表格法

例1 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，求所有不同乘积aiaj(1≤i,j≤n)的和.

解：由乘积作成表如下：

a1a2a3…ana1a21a1a2a1a3…a1ana2a2a1a22a2a3…a2ana3a3a1a3a2a23…a3an︙︙︙︙︙anana1ana2ana3…a2n

设所求和为S，则S为表中对角线右部(或左部)包括对角线上所有项的和，即

评注：本题借用列表，让我们清楚地看到aiaj呈现的规律性，以便我们求所有不同乘积aiaj(1≤i,j≤n)的和.可见，表格法不仅能直观、明了地揭示题中所包含的数量关系，而且能化繁为简，从而帮助学生理清头绪，扫除思维障碍.

2.在方程问题中活用表格法

例2 两个面粉厂产面粉分别为60t和100t，供应三个粮店，甲粮店需45t，乙粮店需75t，丙粮店需40t，从第一面粉厂到三个粮店运面粉的费用分别为每吨10元，5元，6元；从第二面粉厂到三个粮店运面粉的费用分别为每吨4元，8元，15元.试求运费最省的一种运输方案.

解：设第一面粉厂运给三个粮店的面粉分别为x11，x12，x13；第二面粉厂运给三个粮店的面粉分别为x21，x22，x23.可列出产销平衡表如下：

发出点收点甲粮店乙粮店丙粮店发量第一面粉厂x11x12x1360第二面粉厂x21x22x23100收量457540160

发出点收点甲粮店乙粮店丙粮店第一面粉厂02040第二面粉厂45550

评注：本题中的数量关系，纷繁复杂，但活用表格法可将这些数量关系清晰的呈现出来.在解题过程中选用x11,x12来表示其它的变量，使问题变得简洁明了.一般对于有几个量限制的问题，通过表格法我们更容易理清各个量之间的关系，降低思维难度，让我们能快速找到等量关系，列出方程.

3.在概率问题中采用表格法

例3 将一颗均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a,b，则关于x的方程x2+ax+b=0有实根的概率为.

解：因为a,b∈{1,2,…,6},所以基本事件总数为6×6=36.又方程x2+ax+b=0有实根的充要条件是Δ=a2-4b≥0,对a2、4b的值及a2-4b的符号列表如下：

4ba2 48121620241------40-----9++----16+++0--25++++++36++++++

评注：本题中a2∈{1,4,…,36}，4b∈{4,8,…,24}，a2-4b的值有多种且复杂，显然采用列表法直观简捷.通过列表可以培养学生思考问题的条理性，让思维表达更清晰.

4.在统计问题中并用表格法

例4 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是.

第一次抛掷第二次抛掷 012012×1212×1312×16113×1213×1313×16216×1216×1316×16

于是所得向上的数之积的分布列为：

ξ0124p341919136

评注：列表格的方法是统计整理数据的基本方法，其实这就是一张统计表，通过列表格，可以培养学生的概括能力、数据处理能力、分析思维能力.特别是解一些较复杂的问题时更能体现出表格法的优点.

5.在推理问题中巧用表格法

例5 古代一位国王和他的张、王、李、赵、钱五位将军一同外出打猎，各人的箭上都刻有自己的姓氏.打猎中，一只鹿中箭倒下，但不知是何人所射.

张将军说：“或者是我射中的，或者是李将军射中的.”

王将军说：“不是钱将军射中的.”

李将军说：“如果不是赵将军射中的，那么一定是王将军射中的.”

赵将军说：“既不是我射中的，也不是王将军射中的.”

钱将军说：“既不是李将军射中的，也不是张将军射中的.”

国王让人把射中鹿的箭拿来，看了看，说：“五位将军的猜测，只有两个人的话是对的.”请据此判断是哪位将军射中此鹿？

解：由题意利用表格法，列表如下：

张王李赵钱张张李王非钱李王赵赵非王非赵钱非张非李

假设是张将军射中的，则张的话对，王的话也对，赵的话也对，与只有两个人的话是对的矛盾，所以不是张将军射中的；假设是王将军射中的，则李的话对，王的话也对，钱的话也对，与只有两个人的话是对的矛盾，所以不是王将军射中的；假设是李将军射中的，则张的话对，王的话也对，赵的话也对，与只有两个人的话是对的矛盾，所以不是李将军射中的；假设是赵将军射中的，则王的话对，李的话也对，钱的话也对，与只有两个人的话是对的矛盾，所以不是赵将军射中的；假设是钱将军射中的，则只有钱将军与赵将军的话是对的，符合题意.

所以是钱将军射中的.

评注：这道数学应用题中的推理关系，纷繁复杂并且含而不露.巧用表格法能使条件一目了然，其相互之间的关系也显得十分清楚，为推理时推出矛盾或得出结论创造了时机.本题也可以假设某个人的话是对的来推理，还可以从涉及的对象最少的那句话开始，比如，王将军说“不是钱将军射中的”这句话如果对就有四种情况，但这句话如果错，就只有一种情况.所以从王将军的话是错的开始推理最简单.

6.在组合问题中妙用表格法

解：a,b,c要构成三角形的边长，显然均不为0，即a、b、c∈{1,2,…,9}.

a98765432b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,12,12,111

评注：本题对于第二种情况，即非等边三角形的问题，必须弄清能构成三角形的条件，也就是b

表格法是信息的良好载体，直观通俗，可以浓缩分析思路,是数学解题的好帮手.但使用表格法解题要注意两点:一是表格法是教学的一种辅助方法,而不是主要方法；二是设计的表格要因教学内容而定,因题而用,决不能牵强附会.