非欧几何的产生是认识论的转变

熊易文　

摘 要：非欧几何的产生在数学史上具有划时代的意义。从欧氏几何到非欧几何，几何模型的改变可以看出人们对几何认识的不同。论文以第五公设问题的解决为出发点，通过分析欧氏几何和非欧几何两者几何模型的区别，进而分析非欧几何的产生是欧氏几何的在认识论上的转变。

关键词：非欧几何;几何模型;实在论;建构论

中图分类号：G64          文献标识码：A

文章编号：1673-9132（2019）16-0192-01

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2019.16.176

非欧几何创立于十九世纪初期，非欧几何的产生打破了原有欧氏几何模型思想的束缚，从根本上改变了人们对空间结构的认识。欧氏几何模型是根据经验概括归纳的模型，是实在论的具体体现;非欧几何模型是根据第五公设问题的解决构建的模型，是建构论的具体体现。从平行公设的不同，可以看出欧氏几何和非欧几何的本质区别。几何模型的不同反映了认识论上的区别，模型的转变同时也是认识论转变的具体体现。

一、第五公设引起的几何模型变换

欧几里得的《几何原本》是欧氏几何的集中体现。《几何原本》中记载着九条公理，五条公设。其中公理适用于数和形，公设则是专门讨论形的[1]。《几何原本》因其公理化的历史地位，使人们奉为真理，并认为运用《几何原本》中的公理推演能够探寻真理，从而得到真理。正是出于这种对真理的探求，人们力求《几何原本》的完备性。在对其完备性的证明中，人们发现其中的第五公设既不能和其他公理去证明，也不能用其他公理来证明。这种“不相容”影响了完备性的证明，使《几何原本》相对“不完美”。因此，第五公设成为众多数学家、哲学家争相讨论、证明的公设。

欧氏几何内部的矛盾引发了几何学上的发展。在面对第五公设引发的问题时，人们要不避免使用，要不用其他公理、公设来替代它的作用。这种方法没有从根本上解决第五公设的問题。在第五公设问题解决的路上，罗巴切夫斯基对非欧几何的产生有着至关重要的作用，从第五公设的否命题出发。否命题：其一，过已知直线外的任一点可以作出一条以上的直线同已知直线平行。代替第五公设得出的是罗巴切夫斯基几何（又叫双曲型几何）。其二，过已知直线外的任一点所作的任何一条直线都同已知直线平行。代替第五公设得出的是黎曼几何（又叫椭圆型几何）[2]。第五公设的否命题不仅解决了第五公设的问题，而且引发了几何模型的转变。

二、模型的转变是认识论的体现

欧氏几何的几何模型是平面几何和立体几何。这种几何模型是人们根据现实生活总结归纳，利用抽象思维将质化为体，构造出的欧氏几何模型，方便几何空间的想象和运用。欧氏几何的几何模型是实在论的一种体现。实在论是柏拉图“理念论”的认识思想，是指在世界的背后寻找一种抽象的实在，或以亚里士多德的概念来说是要寻找某种普遍性的“实体”[3]。在以实在论为认识角度的主导下，欧氏几何通过抽象思维，将具体的实际物质转化为几何模型，根据当时社会的二维和三维物质转化为平面几何和立体几何。欧氏几何是由实践归纳而来，符合人们的认知习惯，而且能在现实生活中找到对应的事物进行事实论证。因此，欧氏几何被人们广泛接受并习以为常，以至于出现了第五公设这种用现有体系无法解决的几何公设，人们也不愿相信欧氏几何是错误的，而是用其他公理、公设进行第五公设的替代。在人们的认知领域中，第五公设似乎是一个可以忽略的问题，来保护人们已有的认知领域。

但第五公设的问题仍就存在，等待人们的发现。罗巴切夫斯基从已有的几何知识理论出发，跳出思想的束缚。从否命题的角度出发，发现了非欧几何，从而发现了非欧几何模型。非欧几何的几何模型是建构论的体现。建构论打破原有的理论体系，利用现有的知识为原料，利用逻辑建构出一种新的理论体系。罗巴切夫斯基通过第五公设的否命题替代第五公设，并和欧氏几何中其余的公理、公设进行组合、构建，得出了非欧几何。可以说，非欧几何是在欧氏几何的公理基础上建构出来的几何体系。在建构论的指导下，人们发现可以解决第五公设问题的非欧几何，利用逻辑思维和空间想象，构建出非欧几何的几何模型。

三、认识论转变引发非欧几何的产生

非欧几何的产生之所以没有产生数学危机，在于认识论上的转变。第一次数学危机的产生是由于人们无法接受非整数即无理数的出现。无理数的出现打破了人们已有的整数认识论，从而产生了危机。从欧氏几何到非欧几何，几何模型的转变是直观的表现。模型的转变提供给人们一个新的认知领域，使人们打破原有思想的束缚，在另一个模型中思考问题并以另一个模型的认知领域解决问题。非欧几何是从原有的欧氏几何体系中出发，仅以第五公设的否命题替代第五公设，其余定理不变进行的非欧几何演绎。从人们已知的领域出发进行逻辑推演更易于人们认识论上的转变，从而易于让人们接受。正因如此，非欧几何的产生不但没有产生数学危机，反而因认识论的转变使非欧几何得以产生。

参考文献：

[1]梁东芝.从欧氏几何的公理模式到希尔伯特的公理化思想[D].山西师范大学，2014.

[2]赵晓芬.从非欧几何的产生看数学对人类文化的影响[J].长春师范学院学报，2004（5）.

[3]霍凯旋.柏拉图的概念实在论及其缺陷与影响[D].延安大学，2017.

[责任编辑 张翼翔]

作者简介：熊易文（1994.10— ），女，汉族，辽宁沈阳人，哈尔滨师范大学马克思主义学院科学技术哲学专业硕士研究生在读，研究方向：科学技术哲学。