Qutrit-Qutrit系统纠缠的可提纯性猝死

2019-06-10柴冰冰马新平曹晶晶郭金良

天津师范大学学报（自然科学版） 2019年3期

柴冰冰，孙悦，马新平，曹晶晶，郭金良

（天津师范大学物理与材料科学学院，天津 300387）

量子纠缠[1-5]是量子理论中的一个基本概念，是量子信息处理中的一种重要资源.量子纠缠的产生和演化对于量子信息处理来说具有重要的意义.近年来，有关量子纠缠制备及演化的研究在理论和实验上都取得了较大进展[6-8].然而，系统与环境不可避免的要产生相互作用，由此产生的退相干效应导致系统的纠缠衰减.因此，为了实现某些量子任务，需要对系统的退相干具有一定的了解.在过去的十几年中，一种奇特的量子现象受到了人们的广泛关注，即纠缠的猝死现象（entanglement sudden death ，ESD）.两比特系统与2 个独立环境相互作用，系统的纠缠在有限的时间内完全消失.这一现象最早由Yu 和Eberly[9]提出，尤其在两体系统和多体系统中，该现象与以往随时间指数衰减的退相干过程完全不同，因此得到了广泛关注[10-12].此外，研究表明纠缠态具有2 种不同的类型：第1 种是自由纠缠态，它可以在经典操作和局部操作中被提纯；第2 种是束缚纠缠态，该纠缠态既不能在经典操作和局部操作中被提纯，也不能独立用于量子信息处理，与自由纠缠态不同，束缚纠缠态不能单独用于量子信息处理任务，但这也并不意味它们在量子信息中是没用的资源.对于一些束缚纠缠态，通过激活可以将其应用于量子通信处理[13-14]，且一些束缚纠缠态在提高量子隐形传态的保真度[15]、提纯安全量子密钥[16]并降低通信复杂性[17]方面具有非常重要的作用.可提纯性猝死（distillability sudden death ，DSD）是继纠缠猝死（ESD）后另一种奇特的量子现象.如果在有限的时间内，自由纠缠态演化为束缚纠缠态，就称这种奇特的量子现象为可提纯性猝死（DSD）[18].Ali[9，19]证明了自由纠缠态在单侧或双侧噪声存在下可能成为束缚纠缠态.此后，这一现象被推广到与热库[20]和零温库相互作用的2 个三能级系统[21].此外，人们还研究了外加磁场以及Dzyaloshinski-Moriya（DM）相互作用下，2 个三能级系统在退相干过程中出现的DSD现象[22-23].

本文主要对光晶格中2 个Qutrits 系统在内在退相干的影响下的DSD现象进行研究.首先，给出了系统的哈密顿量并导出随时间演化的Qutrit-Qutrit 系统的密度矩阵，然后对内在退相干影响下系统在演化过程中出现的DSD现象进行演示，重点讨论了系统的相关参数对该现象的影响.

1 哈密顿模型及其解

在由三束相互正交的激光束V(x，y，z)=Vxsin2（Kx）+Vysin2（Ky）+Vzsin2（Kz）（其中K 为激光波矢的大小）形成的晶格中，自旋为1 的玻色子束缚在晶格的势阱中，Vx，y，z与激光束的强度呈正比且可以被单独调节.假设每个势阱中仅包含1 个轨道态，可用Bose-Hubbard形式[24]的有效哈密顿量描述整个系统.当Vx≤Vy，z时，y 和z 方向上的耦合可以忽略，这时系统可以被看作是一维的自旋链，其有效哈密顿量可以表示为

式（2）中：Sα（α =x，y，z）为自旋算符；S1和S2分别表示第1 个原子和第2 个原子在x、y、z 方向上的总自旋算符.J 为自旋相互作用的线性耦合强度；K 为非线性耦合常数.自旋为1的自旋算符的3个分量分别为Six=单位矩阵元为

基态、第1 和第2 激发态分别用|-1〉、|1〉和|0〉表示.为了研究Qutrit-Qutrit 系统的演化，首先需要计算哈密顿量（式（2））的本征值和对应的本征矢.在标准基|-1-1〉，|-10〉，〉00〉|-11〉|0-1〉，|01〉，|1-1〉，|10〉，|11〉下，得到E7=K+J+2B，|ψ7〉=|11〉；E8=K+J-2B，|ψ8〉=|-1-

采用文献[26]中描述内在退相干的主方程

式（3）中：γ 为相位退相干率.上述主方程的形式解[27-28]可表示为

式（4）中：ρ（0）为初始系统的密度算子，Mk（t）=Hkexp

通过进一步计算可以得到密度矩阵的时间演化

式（5）中：En和|ψn〉分别为哈密顿量的特征值和本征矢.本研究中，假定Qutrit-Qutrit 系统初态处于

式（6）中： 2≤α≤3.式（6）为最大纠缠态| ψ+〉 =与可分态|12〉〈12| + |21〉〈21|和|02〉〈02|的混合态.当2≤α≤3 时，ρ（0）为可分离态；当3 ＜α≤4 时，ρ（0）为束缚纠缠态；4 ＜α≤5 时，ρ（0）为自由纠缠[13].由式（6）进行直接计算，得到Qutrit-Qutrit系统的密度矩阵为

2 可提纯性纠缠猝死

2.1 纠缠度的度量方法

在纠缠动力学研究中，度量纠缠度是一个非常重要的问题.对于自旋1/2 的系统，并发度（concurrence）被认为是一种很好的纠缠度量方法[29].为了量化高维Herbert 空间中系统的纠缠，如Qutrit-Qutrit 系统，负度（negativity）被证明是一种有效的度量方法[30].以状态ρ 的部分转置ρT的迹范数为基础，负度被定义为

式（8）中：‖ρT‖为ρT的迹模.根据Peres 可分性准则[31]，负度只能量化部分纠缠态.如果负度为正，意味着负度在部分转置（NPT）下为负，只能说这个量子态是一个纠缠态，但并非一个自由的纠缠态，因为是否所有NPT 量子态都可以被分离仍然是一个悬而未决的问题.同时，对于负度为零的正部分转置（PPT）态，也不能确定其是纠缠的还是可分离的.因此，束缚纠缠态不能用负性来量化和检测.一般情况下，没有唯一的判据可以用来检测所有的束缚纠缠态.在这种情况下，通常采用重排定则[32]来确定某些束缚纠缠态.密度矩阵ρ 的重排定则[33]为

式（10）中：‖ρR‖为ρR的迹模.对于可分离状态ρ，重排定则意味着R（ρ）≤0.对于PPT 态，如N（ρ）= 0，R（ρ）＞0，则该态可以确定为束缚纠缠态.需要注意的是重排定则不能检测到所有的束缚纠缠态.如N（ρ）=0 且R（ρ）=0，则无法确定该态是否为束缚纠缠态.在此基础上，本文采用负性和重排定则方法，研究了非线性耦合光晶格中DSD现象.

2.2 非线性耦合光晶格系统中的DSD现象

图1 为α=4.2，K=1，J=1，B=0.25，γ=1 时，负度N（ρ）和重排定则R（ρ）随时间t 的变化关系.

由于初始状态参数α 满足4 ＜α≤5，因此初态是自由纠缠态.由图1 可以看出，在有限时间t≈1.09时，Qutrit-Qutrit 系统的负度N（ρ）衰减为0； t≈2.89时，重排定则R（ρ）衰减为0.这意味着初始自由纠缠态在有限时间t≈1.09 时变为束缚纠缠态，出现了可提纯性猝死现象（DSD），尽管在t≈2.89 后，重排定则R（ρ）无法检测到可能存在的纠缠，但也能够证明自由纠缠态在光晶格系统中可以出现DSD现象.

图1 负度N（ρ）和重排定则R（ρ）在α=4.2 时随时间t的变化情况Fig.1 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t

2.3 与系统相关的参数对DSD现象的影响

2.3.1 初始状态参数α 对DSD现象的影响

初始状态参数α 对出现束缚纠缠态保持时间的影响如图2 所示.

图2 负度N（ρ）和重排定则R（ρ）在α 取不同值时随时间t的变化情况Fig.2 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of α

由图2 可以看出，当K=1，J=1，B=0.25，γ=1，α 取不同值时，尽管NPT 态在有限时间总是变为PPT 态，但并不是所有初始自由纠缠态都会发生DSD.α 值越大，负度N（ρ）和重排定则R（ρ）的非零值保持的时间就越长，确定束缚纠缠态的时间越短.当α 值足够大时，如α=4.7 时，R（ρ）在N（ρ）消失前衰减为0，这表明此时重排定则R（ρ）无法探测束缚纠缠态.由此可知，是否产生DSD现象在很大程度上取决于初始状态.

2.3.2 磁场B 对DSD现象的影响

磁场B 对负度N（ρ）和重排定则R（ρ）的影响如图3 所示.

图3 负度N（ρ）和重排定则R（ρ）在B 取不同值时随时间t的变化情况Fig.3 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of B

由图3 可以看出，当α=4.2，K=1，J=1，γ=1，B 取不同值时，负度N（ρ）和重排定则R（ρ）均随B 的增加而快速衰减，从而缩短了确定束缚纠缠态的时间.但总是可以用负度N（ρ）和重排定则R（ρ）来检测束缚纠缠态，这表明能否出现DSD现象与磁场B 的值无关.

2.3.3 退相干因子γ 对DSD现象的影响

图4 为内在退相干因子γ 对负度N（ρ）和重排定则R（ρ）的影响.由图4 可以看出，当α=4.2，K=1，J=1，B=0.25，γ 取不同值时，γ 的增大加速了重排定则R（ρ）的衰变时间，同时束缚纠缠态保持的时间也有所缩短.然而，当γ=0.1 时，负度N（ρ）和重排定则R（ρ）总是非零的，说明DSD 和ESD现象在整个演化过程中都没有出现.

2.3.4 非线性耦合常数K 对DSD现象的影响

图5 给出了非线性耦合常数K 对负度N（ρ）和重排定则R（ρ）的影响.

图4 负度N（ρ）和重排定则R（ρ）在γ 取不同值时随时间t的变化情况Fig.4 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of γ

图5 负度N（ρ）和重排定则R（ρ）在Κ 取不同值时随时间t的变化情况Fig.5 Negativity N（ρ）and the realignment criterion R（ρ）versus time t with different values of Κ

由图5 可以看出，当α=4.4，J=1，B=0.25，γ=1，K 取不同值时，K 值越大，负度N（ρ）的非零值和重排定则R（ρ）保持的时间越长，束缚纠缠态时间越短，K 值越小，负度N（ρ）仍处于相对稳定的非零状态.这表明DSD 和ESD现象都没有发生.因此，可以通过控制系统的非线性耦合常数K 避免DSD 和ESD现象，从而获得对环境噪声不受影响的稳定纠缠.纠缠的可提纯性在有限时间内的消失会严重影响量子纠缠在量子信息处理任务中的应用，因此寻找有效干预DSD和ESD现象发生的措施是一项非常有意义的工作.