Bogdanov-Takens系统在分段低次多项式扰动下极限环个数的上确界

崔文喆，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

1 引言与主要结果

Hamilton 系统在扰动下极限环个数的估计是常微分方程定性理论研究的热门课题之一，它不仅与弱Hilbert 第16 问题密切相关，而且还有很强的实用价值.Bogdanov-Takens 系统在常微分方程定性理论中具有极其重要的地位，相关学者对其扰动系统进行了大量研究[1-9]，如，文献[7]证明了在n 次多项式扰动下，当一阶Melnikov函数M（1h）0 时，极限环个数的上确界为n-1；文献[8]证明了在n 次多项式扰动下，当M（1h）≡0，而M（2h）0 时，极限环个数的最小上界为2n-2（n 为正偶数）或2n-3（n 为大于1 的奇数）；文献[9]证明了当Mk0，而Mi≡0（1≤i≤k - 1）时，M（kh）的零点个数的上界为k（n-1）.近年来，非光滑系统由于在控制理论、冲击摩擦力学等许多领域有重要应用，因而受到相关学者的关注[10-13].文献[10]利用Picard-Fuchs 方程和Chebyshev 准则证明了2 类非连续Hamilton 系统分别可以存在5 个和6 个极限环.文献[11]证明了一类具有双同宿闭轨的分段Hamilton 系统在扰动下可以存在14 个极限环.文献[12]证明了一类分段系统在n 次多项式扰动下最多存在n 个极限环.文献[13]证明了Bogdanov-Takens 系统在分段n 次多项式扰动下极限环个数的上界为12n+6.

本文将平面分为左右2 个区域，研究在分段一次和二次多项式扰动下的Bogdanov-Takens 系统

极限环个数的上确界，其中：0<ε≪1，n=1、2；

当ε=0 时，系统（1）ε=0的Hamilton 函数为

设Γh与y 轴正半轴交于点与y轴负半轴交于点与x 轴正半轴交于点Bh（sh，0）.记B2（j）（B2c（j））为系统（1）ε在（连续）分段j次多项式扰动下极限环个数的上确界.本研究得到如下结论.

定理1对于系统（1）ε，当M1（h）不恒为0 时，有如下结论成立：

（1）当n ＝1 时，2≤B2（1）≤3.

（2）当n=2 时，5≤B2（2）≤7.

定理2对于系统（1）ε，若Pn+（0，y）≡Pn-（0，y），Qn+（0，y）≡Qn-（0，y），则当M1（h）不恒为0 时，有如下结论成立：

（1）当n=1 时，B2c（1）=1.

（2）当n=2 时，3≤B2c（2）≤5.

2 一阶Melnikov函数的计算

引理1I0+′、 I1+′、 I0+″、 I1+″满足Picard-Fuchs 方程组

其中：

证明考虑积分

因为

所以式（4）两边同时对h 求导可得

则有

考虑

因为

所以式（6）两边同时对h 求导可得

则有

联立式（5）和式（7）解方程组可得

因此式（2）成立.

式（5）两边同时对h 求导可得

因此

式（7）两边同时对h 求导可得

因此

分别将式（10）和式（11）带入式（5）和式（7），并解方程组可得

因此式（3）成立.证毕.

与引理1 同理，可得推论1 和推论1*.

推论1I0-′、 I1-′、 I0-″、 I1-″满足Picard-Fuchs 方程组

其中系数多项式的定义同引理1.

推论1*令则I0′、 I1′、 I0″、 I1″满足Picard-Fuchs 方程组

其中系数多项式的定义同引理1.

设x = ρcosθ，y = ρsinθ，代入H（x，y）=h 得ρ2-则h→0+⇔δ→0+，因此，在h=0+附近，ρ 关于δ 的Taylor 展开式可表示为

引理2（1）在h=0+附近，I0＋、I0-满足

（2）在h=0+附近，I1＋、I1-满足

证明令x=ρcosθ，y=ρsinθ，因为（-1+ρcos3θ）dt，所以因此有

将式（14）代入上式，可得δ2的系数为的系数为因此有

由式（12）可得I0＋满足

其对应的齐次方程为

由文献[14]知方程（16）在h=0+邻域内存在收敛的幂级数解因此当时，Y1（h）＞0.由齐次线性微分方程的通解公式可得方程（16）存在另一个基本解

结论（2）同理可证.证毕.

命题系统（1）ε的一阶Melnikov函数为

其中系数ci（i = 1，2，…，6）关于多项式系数pij+、 pij-、qij+、qij-相互独立.

证明当n=1 时，

因此系统（1）ε的一阶Melnikov函数为

故式（17）成立.

当n=2 时，

因此系统（1）ε的一阶Melnikov函数为

3 一阶Melnikov函数零点的估计

引理3[15-16]设Ψk（h）为上的连续函数，且当0

引理4设J 为一个区间，h∈J，P1（h）、P0（h）与R（h）为J 上的连续函数，且方程

存在一个在J 上没有零点的解Ψ1（h），则方程

的任一解在J 上的孤立零点个数不超过2 + r（计重数），其中r 为R（h）在J 上的孤立零点个数.

证明设Ψ2（h）为方程（20）的一个解，令Z（h）=Ψ1（h）Ψ2′（h）-Ψ1′（h）Ψ2（h），则结合式（19）和式（20）可得

因为Q（h）和Ψ1（h）在区间J 上无零点，由此可知Q（h）Ψ1（h）R（h）在J 上的孤立零点个数为r（计重数）.根据文献[17]，Q（h）Z（h）在J 上的孤立零点个数不超过r+1（计重数），即Z（h）在J 上的孤立零点个数不超过r+1（计重数）.

定理1的证明（1）当n=1 时，

由于c1、π（c1+c2）、c1+c2关于ci（1≤i≤3）是满秩的，因此由引理3 知，存在ci（1≤i≤3），使得M1（h）至少存在2 个正变号零点，即存在一次多项式P1＋（x,y）、P1-（x,y）、Q1＋（x,y）和Q1-（x,y），使得扰动系统（1）ε至少存在2 个极限环.

（2）当n=2 时，

则有

其中：

下面估计r1=#（M*（h）），定义二阶微分算子

并令φ（h）=-（6h-1）I0′+5I0，结合推论1*可得φ（h）=由文献[18]可知，当h∈时，I0＞7I1＞0，故#（φ（h））=0，且

因此L2（h）φ（h）=0.

因为

所以

同理可得

所以L2（h）M*（h）=h-3/2w2（h），其中

且deg（w2（h））≤3，则在内有r2=#（h-3/2w2（h））≤3，由引理4 知在内有r1=#（M*（h））≤2+r2≤5，#（M1（h））≤2+r1≤7，即当M1（h）不恒为0 时，系统（1）ε至多存在7 个极限环.综上5≤B2（2）≤7.

定理2的证明（1）当n ＝1 时，在式（17）中，c3=关于独立，即

由引理3 知，M1（h）至少存在1 个正变号零点，即连续系统（1）ε至少存在1 个极限环.

由引理3 知，M1（h）至少存在3个正变号零点，即连续系统（1）ε至少存在3个极限环.同时有